Номер 192, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 192, страница 426.

Условие.

192 a) $\frac{4|2-x|}{4|x|} - |x-2| \le 0$;

б) $|1-x| + \frac{4|x-1|}{|x|-3} \ge 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{4|2-x|}{4|x|} - |x-2| \le 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $4|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$.
Упростим исходное неравенство. Во-первых, воспользуемся свойством модуля $|a-b| = |b-a|$, откуда $|2-x| = |x-2|$. Во-вторых, сократим дробь на 4:
$\frac{|x-2|}{|x|} - |x-2| \le 0$
Теперь вынесем общий множитель $|x-2|$ за скобки:
$|x-2| \left( \frac{1}{|x|} - 1 \right) \le 0$
Полученное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Произведение неположительно, если множители имеют разные знаки или один из них равен нулю.
Множитель $|x-2|$ всегда неотрицателен, то есть $|x-2| \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:
1. Первый множитель равен нулю: $|x-2| = 0$, что дает $x=2$. При $x=2$ левая часть неравенства обращается в 0, что удовлетворяет условию $\le 0$. Таким образом, $x=2$ является решением.
2. Первый множитель строго положителен ($|x-2| > 0$, т.е. $x \ne 2$), а второй множитель неположителен:
$\frac{1}{|x|} - 1 \le 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$\frac{1}{|x|} \le 1$
Так как по ОДЗ $x \ne 0$, то $|x|$ является положительным числом. Мы можем умножить обе части неравенства на $|x|$, не меняя знака неравенства:
$1 \le |x|$
Это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Решением является объединение промежутков: $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Теперь объединим решения, полученные в обоих случаях. Решение $x=2$ из первого случая уже содержится в промежутке $[1, \infty)$, поэтому итоговое решение совпадает с решением из второго случая. Полученное множество не содержит $x=0$, поэтому ОДЗ выполняется.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

б) Решим неравенство $|1-x| + \frac{4|x-1|}{|x|-3} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $|x|-3 \ne 0$, откуда $|x| \ne 3$. Это значит, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Упростим неравенство. Используя свойство модуля $|1-x| = |x-1|$, перепишем его в виде:
$|x-1| + \frac{4|x-1|}{|x|-3} \ge 0$
Вынесем общий множитель $|x-1|$ за скобки:
$|x-1| \left( 1 + \frac{4}{|x|-3} \right) \ge 0$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$|x-1| \left( \frac{|x|-3+4}{|x|-3} \right) \ge 0$
$|x-1| \frac{|x|+1}{|x|-3} \ge 0$
Рассмотрим это неравенство. Оно выполняется, если левая часть равна нулю или строго больше нуля.
1. Левая часть равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю: $|x-1|(|x|+1)=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$|x-1|=0 \implies x-1=0 \implies x=1$.
$|x|+1=0 \implies |x|=-1$. Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.
Следовательно, $x=1$ является решением, так как при этом значении левая часть неравенства равна 0.
2. Левая часть строго больше нуля: $|x-1| \frac{|x|+1}{|x|-3} > 0$.
Проанализируем знаки множителей:
Множитель $|x-1| > 0$ при всех $x \ne 1$.
Множитель $|x|+1$ всегда строго положителен, так как $|x| \ge 0$, а значит $|x|+1 \ge 1$.
Поскольку множители $|x-1|$ (при $x \ne 1$) и $|x|+1$ положительны, знак всего выражения определяется знаком знаменателя $|x|-3$. Для выполнения неравенства знаменатель должен быть положительным:
$|x|-3 > 0$
$|x| > 3$
Это неравенство эквивалентно совокупности: $x > 3$ или $x < -3$.
Решением является объединение промежутков: $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
Итоговое решение является объединением решений из обоих случаев: изолированной точки $x=1$ и интервалов $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. Решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne \pm 3$).
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup \{1\} \cup (3, \infty)$.