Страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (190–193):

190 а) $2x > |x| + 1$;

б) $x^2 - 6 \ge |x|$.

а) $2x > |x| + 1$

Для решения этого неравенства необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$2x > x + 1$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$x > 1$

Решение $x > 1$ удовлетворяет исходному условию $x \ge 0$. Таким образом, $x \in (1; +\infty)$ является частью решения.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$2x > -x + 1$

Прибавим $x$ к обеим частям:

$3x > 1$

Разделим на 3:

$x > \frac{1}{3}$

Это решение должно удовлетворять исходному условию $x < 0$. Поскольку не существует значений $x$, которые одновременно меньше 0 и больше $\frac{1}{3}$, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) $x^2 - 6 \ge |x|$

Данное неравенство содержит $|x|$. Удобно использовать свойство $x^2 = |x|^2$ и сделать замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, $t \ge 0$.

Подставим $t$ в неравенство:

$t^2 - 6 \ge t$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 - t - 6 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, получаем:

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Парабола $y = t^2 - t - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 6 \ge 0$ выполняется при $t \le -2$ или $t \ge 3$.

Теперь учтем условие $t \ge 0$. Из двух полученных промежутков этому условию удовлетворяет только $t \ge 3$.

Выполним обратную замену, возвращаясь к переменной $x$:

$|x| \ge 3$

Это неравенство равносильно совокупности:

$x \ge 3$ или $x \le -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

191 a) $\frac{4}{|x + 2|} \geq 3 - x$;

б) $\frac{3}{|x - 1|} \geq 2x + 5$.

а)

Решим неравенство $\frac{4}{|x+2|} \ge 3-x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $|x+2| \ne 0$, следовательно, $x \ne -2$.

Левая часть неравенства $\frac{4}{|x+2|}$ всегда положительна при $x \ne -2$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть неположительна, то есть $3-x \le 0$, что равносильно $x \ge 3$.

В этом случае неравенство `(положительное число) $\ge$ (неположительное число)` всегда является истинным. Следовательно, все значения $x$ из промежутка $[3, +\infty)$ являются решениями. Это не противоречит ОДЗ.

Случай 2: Правая часть положительна, то есть $3-x > 0$, что равносильно $x < 3$.

В этом случае обе части неравенства положительны. Мы можем умножить обе части на положительный знаменатель $|x+2|$, сохранив знак неравенства:

$4 \ge (3-x)|x+2|$

Теперь необходимо раскрыть модуль $|x+2|$, рассмотрев два подслучая.

Подслучай 2.1: $x+2 > 0 \implies x > -2$. С учетом условия $x < 3$ из случая 2, мы рассматриваем интервал $x \in (-2, 3)$.

На этом интервале $|x+2| = x+2$. Неравенство принимает вид:

$4 \ge (3-x)(x+2)$

$4 \ge 3x + 6 - x^2 - 2x$

$4 \ge -x^2 + x + 6$

$x^2 - x - 2 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как парабола $y = x^2 - x - 2$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с рассматриваемым интервалом $(-2, 3)$: $((-\infty, -1] \cup [2, +\infty)) \cap (-2, 3) = (-2, -1] \cup [2, 3)$.

Подслучай 2.2: $x+2 < 0 \implies x < -2$. Это условие автоматически удовлетворяет условию $x < 3$.

В этом случае $|x+2| = -(x+2)$. Неравенство принимает вид:

$4 \ge (3-x)(-(x+2))$

$4 \ge -(3x+6-x^2-2x)$

$4 \ge x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 10 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-10) = 41$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, \frac{1 + \sqrt{41}}{2}]$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < -2$: $[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, \frac{1 + \sqrt{41}}{2}] \cap (-\infty, -2) = [\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, -2)$.

Теперь объединим решения, полученные во всех случаях:

Из случая 1: $[3, +\infty)$.

Из подслучая 2.1: $(-2, -1] \cup [2, 3)$.

Из подслучая 2.2: $[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, -2)$.

Общее решение является объединением этих множеств: $[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, 3) \cup [3, +\infty)$.

Объединяя последние два интервала, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [\frac{1-\sqrt{41}}{2}, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{3}{|x-1|} \ge 2x+5$.

ОДЗ: $x \ne 1$.

Левая часть неравенства всегда положительна. Рассмотрим два случая для правой части.

Случай 1: $2x+5 \le 0 \implies 2x \le -5 \implies x \le -2.5$.

Неравенство `(положительное число) $\ge$ (неположительное число)` всегда верно. Решение для этого случая: $x \in (-\infty, -2.5]$.

Случай 2: $2x+5 > 0 \implies x > -2.5$.

Обе части неравенства положительны, умножим на $|x-1| > 0$:

$3 \ge (2x+5)|x-1|$

Раскроем модуль.

Подслучай 2.1: $x-1 > 0 \implies x > 1$. Рассматриваем интервал $x \in (1, +\infty)$, так как условие $x > -2.5$ выполняется.

Тогда $|x-1| = x-1$. Неравенство принимает вид:

$3 \ge (2x+5)(x-1)$

$3 \ge 2x^2 - 2x + 5x - 5$

$0 \ge 2x^2 + 3x - 8 \implies 2x^2 + 3x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 8 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-8) = 9 + 64 = 73$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{4}$.

Решение неравенства $2x^2 + 3x - 8 \le 0$ есть промежуток $x \in [\frac{-3 - \sqrt{73}}{4}, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$.

Пересечение этого решения с интервалом $(1, +\infty)$ дает $(1, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$.

Подслучай 2.2: $x-1 < 0 \implies x < 1$. С учетом $x > -2.5$, рассматриваем интервал $x \in (-2.5, 1)$.

Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Неравенство принимает вид:

$3 \ge (2x+5)(1-x)$

$3 \ge 2x - 2x^2 + 5 - 5x$

$3 \ge -2x^2 - 3x + 5$

$2x^2 + 3x - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-2) = 25$. Корни: $x_1 = \frac{-3-5}{4}=-2$ и $x_2 = \frac{-3+5}{4}=0.5$.

Решение неравенства $2x^2 + 3x - 2 \ge 0$: $x \in (-\infty, -2] \cup [0.5, +\infty)$.

Пересечение этого решения с интервалом $(-2.5, 1)$ дает $(-2.5, -2] \cup [0.5, 1)$.

Объединим решения всех случаев, не забывая про ОДЗ ($x \ne 1$):

$(-\infty, -2.5] \cup ((-2.5, -2] \cup [0.5, 1)) \cup (1, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$

Объединение первых двух множеств дает $(-\infty, -2]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0.5, 1) \cup (1, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$.

192 a) $\frac{4|2-x|}{4|x|} - |x-2| \le 0$;

б) $|1-x| + \frac{4|x-1|}{|x|-3} \ge 0$.

а) Решим неравенство $\frac{4|2-x|}{4|x|} - |x-2| \le 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $4|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$.
Упростим исходное неравенство. Во-первых, воспользуемся свойством модуля $|a-b| = |b-a|$, откуда $|2-x| = |x-2|$. Во-вторых, сократим дробь на 4:
$\frac{|x-2|}{|x|} - |x-2| \le 0$
Теперь вынесем общий множитель $|x-2|$ за скобки:
$|x-2| \left( \frac{1}{|x|} - 1 \right) \le 0$
Полученное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Произведение неположительно, если множители имеют разные знаки или один из них равен нулю.
Множитель $|x-2|$ всегда неотрицателен, то есть $|x-2| \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:
1. Первый множитель равен нулю: $|x-2| = 0$, что дает $x=2$. При $x=2$ левая часть неравенства обращается в 0, что удовлетворяет условию $\le 0$. Таким образом, $x=2$ является решением.
2. Первый множитель строго положителен ($|x-2| > 0$, т.е. $x \ne 2$), а второй множитель неположителен:
$\frac{1}{|x|} - 1 \le 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$\frac{1}{|x|} \le 1$
Так как по ОДЗ $x \ne 0$, то $|x|$ является положительным числом. Мы можем умножить обе части неравенства на $|x|$, не меняя знака неравенства:
$1 \le |x|$
Это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Решением является объединение промежутков: $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Теперь объединим решения, полученные в обоих случаях. Решение $x=2$ из первого случая уже содержится в промежутке $[1, \infty)$, поэтому итоговое решение совпадает с решением из второго случая. Полученное множество не содержит $x=0$, поэтому ОДЗ выполняется.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

б) Решим неравенство $|1-x| + \frac{4|x-1|}{|x|-3} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $|x|-3 \ne 0$, откуда $|x| \ne 3$. Это значит, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Упростим неравенство. Используя свойство модуля $|1-x| = |x-1|$, перепишем его в виде:
$|x-1| + \frac{4|x-1|}{|x|-3} \ge 0$
Вынесем общий множитель $|x-1|$ за скобки:
$|x-1| \left( 1 + \frac{4}{|x|-3} \right) \ge 0$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$|x-1| \left( \frac{|x|-3+4}{|x|-3} \right) \ge 0$
$|x-1| \frac{|x|+1}{|x|-3} \ge 0$
Рассмотрим это неравенство. Оно выполняется, если левая часть равна нулю или строго больше нуля.
1. Левая часть равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю: $|x-1|(|x|+1)=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$|x-1|=0 \implies x-1=0 \implies x=1$.
$|x|+1=0 \implies |x|=-1$. Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.
Следовательно, $x=1$ является решением, так как при этом значении левая часть неравенства равна 0.
2. Левая часть строго больше нуля: $|x-1| \frac{|x|+1}{|x|-3} > 0$.
Проанализируем знаки множителей:
Множитель $|x-1| > 0$ при всех $x \ne 1$.
Множитель $|x|+1$ всегда строго положителен, так как $|x| \ge 0$, а значит $|x|+1 \ge 1$.
Поскольку множители $|x-1|$ (при $x \ne 1$) и $|x|+1$ положительны, знак всего выражения определяется знаком знаменателя $|x|-3$. Для выполнения неравенства знаменатель должен быть положительным:
$|x|-3 > 0$
$|x| > 3$
Это неравенство эквивалентно совокупности: $x > 3$ или $x < -3$.
Решением является объединение промежутков: $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
Итоговое решение является объединением решений из обоих случаев: изолированной точки $x=1$ и интервалов $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. Решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne \pm 3$).
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup \{1\} \cup (3, \infty)$.

193 $|x^2 - 8x + 15| \leq |15 - x^2|$

Исходное неравенство: $|x^2 - 8x + 15| \le |15 - x^2|$.

Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$. Тогда правую часть неравенства можно переписать: $|15 - x^2| = |-(x^2 - 15)| = |x^2 - 15|$.

Неравенство принимает вид:

$|x^2 - 8x + 15| \le |x^2 - 15|$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(x^2 - 8x + 15)^2 \le (x^2 - 15)^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2 - 8x + 15)^2 - (x^2 - 15)^2 \le 0$

$((x^2 - 8x + 15) - (x^2 - 15)) \cdot ((x^2 - 8x + 15) + (x^2 - 15)) \le 0$

Упростим выражения в каждой из скобок.

Первая скобка: $x^2 - 8x + 15 - x^2 + 15 = -8x + 30$.

Вторая скобка: $x^2 - 8x + 15 + x^2 - 15 = 2x^2 - 8x$.

Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство:

$(-8x + 30)(2x^2 - 8x) \le 0$

Вынесем общие множители из скобок для дальнейшего упрощения:

$-2(4x - 15) \cdot 2x(x - 4) \le 0$

$-4x(4x - 15)(x - 4) \le 0$

Разделим обе части неравенства на $-4$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x(4x - 15)(x - 4) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$x = 0$

$4x - 15 = 0 \implies 4x = 15 \implies x = \frac{15}{4}$

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

Отметим найденные корни ($0$, $\frac{15}{4}$, $4$) на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $x(4x - 15)(x - 4)$ в каждом интервале. Для $x > 4$ выражение положительно. Поскольку все корни имеют кратность 1, знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Знаки на интервалах будут следующими: $(-\infty, 0) \to -$; $(0, \frac{15}{4}) \to +$; $(\frac{15}{4}, 4) \to -$; $(4, +\infty) \to +$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($ \ge 0 $). Это промежутки со знаком «+», включая концы, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $[0, \frac{15}{4}] \cup [4, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, \frac{15}{4}] \cup [4, +\infty)$.

Решите неравенство (194-220):

194 a) $\frac{4^{\frac{1}{x}} - 4}{2 + x} < 0;$

б) $\frac{2^{\frac{1}{x}} - 2}{x - 2} > 0;$

в) $\frac{2^{-\frac{1}{x}} - 2}{x + 2} < 0.$

а) $\frac{4^{\frac{1}{x}} - 4}{2 + x} < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 + x \neq 0 \implies x \neq -2$.
Показатель степени должен быть определен: $\frac{1}{x}$ определен при $x \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Применим метод рационализации. Знак выражения $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x) - g(x))$.
В числителе имеем $4^{\frac{1}{x}} - 4^1$. Здесь $a=4 > 1$, поэтому $a-1 > 0$.
Следовательно, знак выражения $4^{\frac{1}{x}} - 4^1$ совпадает со знаком выражения $\frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$.

Исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству: $\frac{\frac{1-x}{x}}{2+x} < 0$
$\frac{1-x}{x(x+2)} < 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{x-1}{x(x+2)} > 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$, $x=0$, $x=-2$. Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.
При $x > 1$: $\frac{+}{+(+)} > 0$ (верно).
При $0 < x < 1$: $\frac{-}{+(+)} < 0$ (неверно).
При $-2 < x < 0$: $\frac{-}{-(+)} > 0$ (верно).
При $x < -2$: $\frac{-}{-( -)} < 0$ (неверно).
Решением являются интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty)$.

б) $\frac{2^{\frac{1}{x}} - 2}{x - 2} > 0$

Найдем ОДЗ: $x \neq 0$ (из показателя степени) и $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Применим метод рационализации для числителя $2^{\frac{1}{x}} - 2^1$.
Так как основание $a=2 > 1$, то знак выражения $2^{\frac{1}{x}} - 2^1$ совпадает со знаком выражения $\frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$.

Исходное неравенство равносильно неравенству: $\frac{\frac{1-x}{x}}{x-2} > 0$
$\frac{1-x}{x(x-2)} > 0$
Умножим на -1 и изменим знак: $\frac{x-1}{x(x-2)} < 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=1$, $x=0$, $x=2$. Интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$.
При $x > 2$: $\frac{+}{+(+)} > 0$ (неверно).
При $1 < x < 2$: $\frac{+}{+(-)} < 0$ (верно).
При $0 < x < 1$: $\frac{-}{+(-)} > 0$ (неверно).
При $x < 0$: $\frac{-}{-(-)} < 0$ (верно).
Решением являются интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2)$.

в) $\frac{2^{-\frac{1}{x}} - 2}{x + 2} < 0$

Найдем ОДЗ: $x \neq 0$ (из показателя степени) и $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Применим метод рационализации для числителя $2^{-\frac{1}{x}} - 2^1$.
Так как основание $a=2 > 1$, то знак выражения $2^{-\frac{1}{x}} - 2^1$ совпадает со знаком выражения $-\frac{1}{x} - 1 = \frac{-1-x}{x}$.

Исходное неравенство равносильно неравенству: $\frac{\frac{-1-x}{x}}{x+2} < 0$
$\frac{-(x+1)}{x(x+2)} < 0$
Умножим на -1 и изменим знак: $\frac{x+1}{x(x+2)} > 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=-1$, $x=0$, $x=-2$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.
При $x > 0$: $\frac{+}{+(+)} > 0$ (верно).
При $-1 < x < 0$: $\frac{+}{-(+)} < 0$ (неверно).
При $-2 < x < -1$: $\frac{-}{-(+)} > 0$ (верно).
При $x < -2$: $\frac{-}{-(-)} < 0$ (неверно).
Решением являются интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, +\infty)$.

195 a) $\frac{15 - |7x + 8|}{3x^2 - 14x + 17} > 0;$

б) $\frac{13 - |6x + 7|}{5x^2 - 11x + 7} > 0;$

В) $\frac{18 - |4x + 5|}{4x^2 - 13x + 11} > 0;$

Г) $\frac{17 - |11x + 6|}{6x^2 - 15x + 10} > 0.$

а) Решим неравенство $\frac{15 - |7x + 8|}{3x^2 - 14x + 17} > 0$.
Сначала рассмотрим знаменатель дроби: $3x^2 - 14x + 17$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 17 = 196 - 204 = -8$.
Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, то знаменатель $3x^2 - 14x + 17$ положителен при любых значениях $x$.
Поскольку знаменатель всегда положителен, дробь будет положительной тогда и только тогда, когда положителен числитель:
$15 - |7x + 8| > 0$
$|7x + 8| < 15$
Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:
$-15 < 7x + 8 < 15$
Вычтем 8 из всех частей неравенства:
$-15 - 8 < 7x < 15 - 8$
$-23 < 7x < 7$
Разделим все части неравенства на 7:
$-\frac{23}{7} < x < 1$
Ответ: $x \in (-\frac{23}{7}; 1)$.

б) Решим неравенство $\frac{13 - |6x + 7|}{5x^2 - 11x + 7} > 0$.
Рассмотрим знаменатель $5x^2 - 11x + 7$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 121 - 140 = -19$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 5 > 0$, то знаменатель $5x^2 - 11x + 7$ всегда положителен.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству для числителя:
$13 - |6x + 7| > 0$
$|6x + 7| < 13$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-13 < 6x + 7 < 13$
Вычтем 7 из всех частей:
$-13 - 7 < 6x < 13 - 7$
$-20 < 6x < 6$
Разделим все части на 6:
$-\frac{20}{6} < x < \frac{6}{6}$
$-\frac{10}{3} < x < 1$
Ответ: $x \in (-\frac{10}{3}; 1)$.

в) Решим неравенство $\frac{18 - |4x + 5|}{4x^2 - 13x + 11} > 0$.
Рассмотрим знаменатель $4x^2 - 13x + 11$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 169 - 176 = -7$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a = 4 > 0$, знаменатель $4x^2 - 13x + 11$ всегда положителен.
Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству для числителя:
$18 - |4x + 5| > 0$
$|4x + 5| < 18$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-18 < 4x + 5 < 18$
Вычтем 5 из всех частей:
$-18 - 5 < 4x < 18 - 5$
$-23 < 4x < 13$
Разделим все части на 4:
$-\frac{23}{4} < x < \frac{13}{4}$
Ответ: $x \in (-\frac{23}{4}; \frac{13}{4})$.

г) Решим неравенство $\frac{17 - |11x + 6|}{6x^2 - 15x + 10} > 0$.
Рассмотрим знаменатель $6x^2 - 15x + 10$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 225 - 240 = -15$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 6 > 0$, знаменатель $6x^2 - 15x + 10$ всегда положителен.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству для числителя:
$17 - |11x + 6| > 0$
$|11x + 6| < 17$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-17 < 11x + 6 < 17$
Вычтем 6 из всех частей:
$-17 - 6 < 11x < 17 - 6$
$-23 < 11x < 11$
Разделим все части на 11:
$-\frac{23}{11} < x < 1$
Ответ: $x \in (-\frac{23}{11}; 1)$.

196 a) $(x^2 - 9)\sqrt{x+6} > 0;$

B) $\sqrt{x^2 - 9}(x+8) > 0;$

б) $(16 - x^2)\sqrt{8-x} < 0;$

Г) $(x-4)\sqrt{x^2-4} < 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 - 9)\sqrt{x+6} > 0$. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x+6 \ge 0$, откуда $x \ge -6$. Так как неравенство строгое, произведение не может равняться нулю, следовательно, $\sqrt{x+6} \neq 0$, что означает $x+6 > 0$ или $x > -6$. На области $x > -6$ множитель $\sqrt{x+6}$ всегда положителен. Поэтому для выполнения неравенства необходимо, чтобы другой множитель был также положителен: $x^2 - 9 > 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. Нам нужно найти пересечение этого множества с условием $x > -6$. Пересекая $(-6, +\infty)$ и $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-6, -3) \cup (3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(16 - x^2)\sqrt{8-x} < 0$. ОДЗ: $8-x \ge 0$, то есть $x \le 8$. Неравенство строгое, поэтому $\sqrt{8-x} \neq 0$, что означает $8-x > 0$ или $x < 8$. На области $x < 8$ множитель $\sqrt{8-x}$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(16 - x^2)$ был отрицательным: $16 - x^2 < 0$. Это неравенство равносильно $x^2 - 16 > 0$, или $(x-4)(x+4) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$. Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x < 8$. Пересекая $(-\infty, 8)$ и $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, 8)$.

в) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 9}(x+8) > 0$. ОДЗ: $x^2 - 9 \ge 0$, то есть $(x-3)(x+3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$. Неравенство строгое, значит $\sqrt{x^2 - 9} \neq 0$, что равносильно $x^2 - 9 > 0$. Таким образом, ОДЗ сужается до $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. На этой области множитель $\sqrt{x^2 - 9}$ всегда положителен. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x+8)$ был положителен: $x+8 > 0$, то есть $x > -8$. Нам нужно найти пересечение множества $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$ с условием $x > -8$. Пересекая $(-8, +\infty)$ и $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-8, -3) \cup (3, +\infty)$.

г) Решим неравенство $(x-4)\sqrt{x^2 - 4} < 0$. ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0$, то есть $(x-2)(x+2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$. Неравенство строгое, значит $\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$, что равносильно $x^2 - 4 > 0$. Таким образом, ОДЗ сужается до $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. На этой области множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-4)$ был отрицательным: $x-4 < 0$, то есть $x < 4$. Нам нужно найти пересечение множества $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ с условием $x < 4$. Пересекая $(-\infty, 4)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 4)$.

197 а) $ (x-2)(x-3)\sqrt{x-1} \le 0 $;

б) $ (x+2)(x+3)\sqrt{x+11} \le 0 $;

в) $ (x-4)(x+3)\sqrt{x} \ge 0 $;

г) $ (x-8)(x+7)\sqrt{x} \ge 0 $.

а) $(x-2)(x-3)\sqrt{x-1} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

2. Неравенство представляет собой произведение трех множителей. Множитель $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$) в своей области определения. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x-1} = 0$.
Это возможно, если $x-1 = 0$, то есть $x = 1$.
Подставим $x=1$ в исходное неравенство:
$(1-2)(1-3)\sqrt{1-1} = (-1)(-2)\cdot 0 = 0$.
Так как $0 \le 0$ — верное неравенство, то $x=1$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{x-1} > 0$.
Это возможно, если $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.
В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x-1}$, знак неравенства при этом не изменится:
$(x-2)(x-3) \le 0$.
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни выражения $(x-2)(x-3)$ равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Графиком функции $y=(x-2)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю между корнями.
Следовательно, решение этого неравенства: $x \in [2, 3]$.
Это решение удовлетворяет условию $x > 1$.

3. Объединим решения из обоих случаев.
Из первого случая мы получили точку $x=1$. Из второго — отрезок $[2, 3]$.
Общее решение: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$.

б) $(x+2)(x+3)\sqrt{x+11} \le 0$

1. Найдем ОДЗ:
$x + 11 \ge 0 \implies x \ge -11$.
ОДЗ: $x \in [-11, +\infty)$.

2. Множитель $\sqrt{x+11} \ge 0$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x+11} = 0$.
Это возможно при $x+11=0$, то есть $x = -11$.
Подстановка $x=-11$ в исходное неравенство дает $0 \le 0$, что верно. Значит, $x=-11$ — решение.

Случай 2: $\sqrt{x+11} > 0$.
Это возможно при $x+11 > 0$, то есть $x > -11$.
Разделим неравенство на $\sqrt{x+11}$:
$(x+2)(x+3) \le 0$.
Корни выражения $(x+2)(x+3)$ равны $x_1=-2$ и $x_2=-3$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in [-3, -2]$.
Этот интервал удовлетворяет условию $x > -11$.

3. Объединяем полученные решения.
Решение из первого случая: $x=-11$. Решение из второго: $x \in [-3, -2]$.
Общее решение: $x \in \{-11\} \cup [-3, -2]$.

Ответ: $x \in \{-11\} \cup [-3, -2]$.

в) $(x-4)(x+3)\sqrt{x} \ge 0$

1. Найдем ОДЗ:
$x \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

2. Множитель $\sqrt{x} \ge 0$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$.
Это возможно при $x=0$.
Подстановка $x=0$ в исходное неравенство дает $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.

Случай 2: $\sqrt{x} > 0$.
Это возможно при $x > 0$.
Разделим неравенство на $\sqrt{x}$:
$(x-4)(x+3) \ge 0$.
Корни выражения $(x-4)(x+3)$ равны $x_1=4$ и $x_2=-3$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [4, +\infty)$.
Теперь пересечем это решение с условием $x > 0$:
$( (-\infty, -3] \cup [4, +\infty) ) \cap (0, +\infty) = [4, +\infty)$.

3. Объединяем полученные решения.
Решение из первого случая: $x=0$. Решение из второго: $x \in [4, +\infty)$.
Общее решение: $x \in \{0\} \cup [4, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [4, +\infty)$.

г) $(x-8)(x+7)\sqrt{x} \ge 0$

1. Найдем ОДЗ:
$x \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

2. Множитель $\sqrt{x} \ge 0$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$.
Это возможно при $x=0$.
Подстановка $x=0$ в исходное неравенство дает $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.

Случай 2: $\sqrt{x} > 0$.
Это возможно при $x > 0$.
Разделим неравенство на $\sqrt{x}$:
$(x-8)(x+7) \ge 0$.
Корни выражения $(x-8)(x+7)$ равны $x_1=8$ и $x_2=-7$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Решение: $x \in (-\infty, -7] \cup [8, +\infty)$.
Пересекаем это решение с условием $x > 0$:
$( (-\infty, -7] \cup [8, +\infty) ) \cap (0, +\infty) = [8, +\infty)$.

3. Объединяем полученные решения.
Решение из первого случая: $x=0$. Решение из второго: $x \in [8, +\infty)$.
Общее решение: $x \in \{0\} \cup [8, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [8, +\infty)$.

198 $\sqrt[5]{y^5} \geq \sqrt[4]{y^4}$.

Для решения неравенства $\sqrt[5]{y^5} \geq \sqrt[4]{y^4}$ определим область допустимых значений (ОДЗ) и упростим выражения.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).Выражение $\sqrt[5]{y^5}$ (корень нечетной степени) определено для любого действительного значения $y$.Выражение $\sqrt[4]{y^4}$ (корень четной степени) определено, когда подкоренное выражение $y^4 \geq 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $y$.Следовательно, ОДЗ для данного неравенства — все действительные числа, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение неравенства.Используем свойства корней:

• Для корня нечетной степени $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. Таким образом, $\sqrt[5]{y^5} = y$.
• Для корня четной степени $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Таким образом, $\sqrt[4]{y^4} = |y|$.

После упрощения исходное неравенство принимает вид:$y \geq |y|$.

3. Решение неравенства с модулем.Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $y \geq 0$.При этом условии $|y| = y$. Подставляем в неравенство:$y \geq y$.Это неравенство верно для всех значений $y$, удовлетворяющих условию $y \geq 0$. Решением в этом случае является промежуток $[0; +\infty)$.

Случай 2: $y < 0$.При этом условии $|y| = -y$. Подставляем в неравенство:$y \geq -y$.Прибавим $y$ к обеим частям:$2y \geq 0$.Разделим на 2:$y \geq 0$.Мы получили, что $y$ должен быть больше или равен нулю. Однако, этот случай мы рассматриваем при условии $y < 0$. Поскольку условия $y \geq 0$ и $y < 0$ не могут выполняться одновременно, в этом случае решений нет (решение — пустое множество $\emptyset$).

4. Объединение решений.Объединяя решения из двух случаев, получаем решение исходного неравенства: $[0; +\infty) \cup \emptyset = [0; +\infty)$.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

199 а) $\frac{\sqrt{6 + 5x - x^2}}{x - 2} < 0;$

б) $\frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{x - 2} < 0;$

в) $\frac{\sqrt{4 - 3x - x^2}}{x + 3} > 0;$

г) $\frac{1 - x}{\sqrt{2 + x - x^2}} < 0;$

д) $\frac{3x + 2}{\sqrt{2 - x - x^2}} > 0;$

е) $\frac{x - 1}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} < 0.$

а) $\frac{\sqrt{6 + 5x - x^2}}{x - 2} < 0$

Данное неравенство равносильно системе неравенств. Так как числитель $\sqrt{6 + 5x - x^2}$ по определению арифметического квадратного корня не может быть отрицательным (он больше или равен нулю), то для того, чтобы вся дробь была меньше нуля, необходимо, чтобы числитель был строго больше нуля, а знаменатель — строго меньше нуля.

Получаем систему:

$\begin{cases} 6 + 5x - x^2 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $6 + 5x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 5x - 6 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, 6)$.

Решим второе неравенство: $x - 2 < 0$, откуда получаем $x < 2$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $x \in (-1, 6)$ и $x \in (-\infty, 2)$.
Пересечением является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

б) $\frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{x - 2} < 0$

Аналогично предыдущему пункту, числитель должен быть строго положителен, а знаменатель — строго отрицателен.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3 + 2x - x^2 > 0$.
$x^2 - 2x - 3 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-1, 3)$.

Решение второго неравенства: $x < 2$.

Найдем пересечение интервалов $(-1, 3)$ и $(-\infty, 2)$.
Пересечением является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

в) $\frac{\sqrt{4 - 3x - x^2}}{x + 3} > 0$

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Так как числитель $\sqrt{4 - 3x - x^2}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным. Следовательно, и знаменатель должен быть строго положительным.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 4 - 3x - x^2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4 - 3x - x^2 > 0$.
$x^2 + 3x - 4 < 0$.
Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Решение неравенства: $x \in (-4, 1)$.

Решим второе неравенство: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.

Найдем пересечение интервалов $(-4, 1)$ и $(-3, \infty)$.
Пересечением является интервал $(-3, 1)$.

Ответ: $x \in (-3, 1)$.

г) $\frac{1 - x}{\sqrt{2 + x - x^2}} < 0$

Знаменатель дроби $\sqrt{2 + x - x^2}$ должен быть строго больше нуля, так как он находится под корнем и в знаменателе. Если знаменатель положителен, то для выполнения неравенства числитель должен быть отрицательным.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 + x - x^2 > 0 \\ 1 - x < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2 + x - x^2 > 0$.
$x^2 - x - 2 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Решение неравенства: $x \in (-1, 2)$.

Решим второе неравенство: $1 - x < 0$, откуда $x > 1$.

Найдем пересечение интервалов $(-1, 2)$ и $(1, \infty)$.
Пересечением является интервал $(1, 2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

д) $\frac{3x + 2}{\sqrt{2 - x - x^2}} > 0$

Знаменатель $\sqrt{2 - x - x^2}$ должен быть строго больше нуля. Чтобы дробь была положительной, числитель также должен быть строго больше нуля.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 - x - x^2 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2 - x - x^2 > 0$.
$x^2 + x - 2 < 0$.
Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Решение неравенства: $x \in (-2, 1)$.

Решим второе неравенство: $3x + 2 > 0$, откуда $3x > -2$, то есть $x > -2/3$.

Найдем пересечение интервалов $(-2, 1)$ и $(-2/3, \infty)$.
Пересечением является интервал $(-2/3, 1)$.

Ответ: $x \in (-2/3, 1)$.

е) $\frac{x - 1}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} < 0$

Знаменатель $\sqrt{3 + 2x - x^2}$ должен быть строго больше нуля. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго меньше нуля.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ x - 1 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3 + 2x - x^2 > 0$.
$x^2 - 2x - 3 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Решение неравенства: $x \in (-1, 3)$.

Решим второе неравенство: $x - 1 < 0$, откуда $x < 1$.

Найдем пересечение интервалов $(-1, 3)$ и $(-\infty, 1)$.
Пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

200 a) $\frac{(2x-5)(32^{\frac{1}{x}}-4)}{(3^x-8)(x^4+4x+20)} \ge 0;$

б) $\frac{(2x-3)(27^{\frac{1}{x}}-9)}{(2^x-5)(x^4-2x+10)} \le 0.$

а)

Рассмотрим неравенство:

$\frac{(2x - 5)(32^{\frac{1}{x}} - 4)}{(3^x - 8)(x^4 + 4x + 20)} \ge 0$

1. Найдем область определения (ОДЗ).
Знаменатель не должен быть равен нулю, и выражение под степенью с переменной в знаменателе должно быть определено.
1) $x \ne 0$ из-за члена $32^{\frac{1}{x}}$.
2) $3^x - 8 \ne 0 \implies 3^x \ne 8 \implies x \ne \log_3 8$.
3) Рассмотрим множитель $x^4 + 4x + 20$. Найдем его наименьшее значение с помощью производной. Пусть $f(x) = x^4 + 4x + 20$.
$f'(x) = 4x^3 + 4 = 4(x^3 + 1)$.
$f'(x) = 0$ при $x = -1$. Это точка минимума, так как при $x < -1$ производная отрицательна (функция убывает), а при $x > -1$ производная положительна (функция возрастает).
Минимальное значение функции: $f(-1) = (-1)^4 + 4(-1) + 20 = 1 - 4 + 20 = 17$.
Так как наименьшее значение выражения $x^4 + 4x + 20$ равно 17 (положительное число), то $x^4 + 4x + 20 > 0$ при всех действительных $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \log_3 8) \cup (\log_3 8, +\infty)$.

2. Упростим неравенство.
Поскольку $x^4 + 4x + 20$ всегда положителен, мы можем умножить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$\frac{(2x - 5)(32^{\frac{1}{x}} - 4)}{3^x - 8} \ge 0$.

3. Применим метод рационализации (метод замены множителей).
Знак выражения $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x) - g(x))$.
- Для множителя $(32^{\frac{1}{x}} - 4) = ((2^5)^{\frac{1}{x}} - 2^2) = (2^{\frac{5}{x}} - 2^2)$, основание $a=2 > 1$. Его знак совпадает со знаком выражения $(\frac{5}{x} - 2) = \frac{5-2x}{x}$.
- Для множителя $(3^x - 8) = (3^x - 3^{\log_3 8})$, основание $a=3 > 1$. Его знак совпадает со знаком выражения $(x - \log_3 8)$.
Исходное неравенство на ОДЗ эквивалентно следующему:
$\frac{(2x - 5) \cdot \frac{5-2x}{x}}{x - \log_3 8} \ge 0$
$\frac{(2x - 5) \cdot \frac{-(2x-5)}{x}}{x - \log_3 8} \ge 0$
$\frac{-(2x - 5)^2}{x(x - \log_3 8)} \ge 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{(2x - 5)^2}{x(x - \log_3 8)} \le 0$.

4. Решим полученное рациональное неравенство.
Неравенство выполняется в двух случаях:
а) Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю:
$(2x - 5)^2 = 0 \implies 2x - 5 = 0 \implies x = 2.5$.
Проверим, входит ли $x=2.5$ в ОДЗ. $2.5 \ne 0$ и $2.5 \ne \log_3 8$ (так как $\log_3 9 = 2$, а $\log_3 3 = 1$, то $1 < \log_3 8 < 2$, следовательно $2.5 \ne \log_3 8$). Значит, $x=2.5$ является решением.
б) Дробь меньше нуля. Так как числитель $(2x - 5)^2$ всегда неотрицателен, для $x \ne 2.5$ он строго положителен. Следовательно, знаменатель должен быть строго отрицательным:
$x(x - \log_3 8) < 0$.
Корни знаменателя: $x=0$ и $x=\log_3 8$. Решая методом интервалов, получаем:
$0 < x < \log_3 8$.

5. Объединим найденные решения.
Решением является интервал $(0, \log_3 8)$ и изолированная точка $x=2.5$.
Ответ: $(0, \log_3 8) \cup \{2.5\}$.

б)

Рассмотрим неравенство:

$\frac{(2x - 3)(27^{\frac{1}{x}} - 9)}{(2^x - 5)(x^4 - 2x + 10)} \le 0$

1. Найдем область определения (ОДЗ).
1) $x \ne 0$ из-за члена $27^{\frac{1}{x}}$.
2) $2^x - 5 \ne 0 \implies 2^x \ne 5 \implies x \ne \log_2 5$.
3) Рассмотрим множитель $x^4 - 2x + 10$. Найдем его наименьшее значение. Пусть $g(x) = x^4 - 2x + 10$.
$g'(x) = 4x^3 - 2 = 2(2x^3 - 1)$.
$g'(x) = 0$ при $2x^3 = 1 \implies x^3 = 1/2 \implies x = \sqrt[3]{1/2}$. Это точка минимума.
Минимальное значение функции: $g(\sqrt[3]{1/2}) = (\sqrt[3]{1/2})^4 - 2\sqrt[3]{1/2} + 10 = (\frac{1}{2})^{4/3} - 2(\frac{1}{2})^{1/3} + 10 = \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}} - 2\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 10 = 10 - \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 10 - \frac{3}{\sqrt[3]{16}}$.
Так как $\sqrt[3]{16} > \sqrt[3]{8} = 2$, то $\frac{3}{\sqrt[3]{16}} < \frac{3}{2} = 1.5$. Следовательно, $10 - \frac{3}{\sqrt[3]{16}} > 10 - 1.5 = 8.5 > 0$.
Значит, $x^4 - 2x + 10 > 0$ при всех действительных $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \log_2 5) \cup (\log_2 5, +\infty)$.

2. Упростим неравенство.
Так как $x^4 - 2x + 10 > 0$ для всех $x$, неравенство равносильно:
$\frac{(2x - 3)(27^{\frac{1}{x}} - 9)}{2^x - 5} \le 0$.

3. Применим метод рационализации.
- Множитель $(27^{\frac{1}{x}} - 9) = ((3^3)^{\frac{1}{x}} - 3^2) = (3^{\frac{3}{x}} - 3^2)$. Знак совпадает со знаком $(\frac{3}{x} - 2) = \frac{3-2x}{x}$.
- Множитель $(2^x - 5) = (2^x - 2^{\log_2 5})$. Знак совпадает со знаком $(x - \log_2 5)$.
Неравенство на ОДЗ эквивалентно:
$\frac{(2x - 3) \cdot \frac{3-2x}{x}}{x - \log_2 5} \le 0$
$\frac{(2x - 3) \cdot \frac{-(2x-3)}{x}}{x - \log_2 5} \le 0$
$\frac{-(2x - 3)^2}{x(x - \log_2 5)} \le 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{(2x - 3)^2}{x(x - \log_2 5)} \ge 0$.

4. Решим полученное неравенство.
Неравенство выполняется в двух случаях:
а) Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю:
$(2x - 3)^2 = 0 \implies 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$.
Проверим, входит ли $x=1.5$ в ОДЗ. $1.5 \ne 0$ и $1.5 \ne \log_2 5$ (так как $\log_2 4 = 2$, то $\log_2 5 > 2$, следовательно $1.5 \ne \log_2 5$). Значит, $x=1.5$ является решением.
б) Дробь больше нуля. Так как числитель $(2x - 3)^2$ всегда неотрицателен, для $x \ne 1.5$ он строго положителен. Следовательно, знаменатель должен быть строго положительным:
$x(x - \log_2 5) > 0$.
Корни знаменателя: $x=0$ и $x=\log_2 5$. Решая методом интервалов, получаем, что выражение положительно при $x$ вне отрезка $[0, \log_2 5]$:
$x < 0$ или $x > \log_2 5$.
Это соответствует объединению интервалов $(-\infty, 0) \cup (\log_2 5, +\infty)$.

5. Объединим найденные решения.
Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (\log_2 5, +\infty)$ и изолированной точки $x=1.5$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup \{1.5\} \cup (\log_2 5, +\infty)$.

201 a) $\frac{|x - 3| + 2}{|2x - 3| - 5} \le 0;$

б) $\frac{\frac{1}{x - 1} - 1}{1 - \frac{1}{x - 7}} \ge 0.$

а)

Решим неравенство $\frac{|x-3|+2}{|2x-3|-5} \le 0$.

1. Рассмотрим числитель дроби: $|x-3|+2$.
По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|x-3| \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, выражение в числителе $|x-3|+2 \ge 0+2=2$. Таким образом, числитель дроби всегда строго положителен.

2. Так как числитель дроби всегда положителен, для того чтобы вся дробь была неположительной (меньше или равна нулю), знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю дробь достичь не может).
Получаем неравенство:
$|2x-3|-5 < 0$

3. Решим это неравенство с модулем:
$|2x-3| < 5$
Данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$-5 < 2x-3 < 5$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-5+3 < 2x < 5+3$
$-2 < 2x < 8$
Разделим все части неравенства на 2:
$-1 < x < 4$

4. Учтем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$|2x-3|-5 \ne 0 \implies |2x-3| \ne 5$
Это означает, что $2x-3 \ne 5$ и $2x-3 \ne -5$.
Из $2x-3 \ne 5$ получаем $2x \ne 8$, то есть $x \ne 4$.
Из $2x-3 \ne -5$ получаем $2x \ne -2$, то есть $x \ne -1$.
Полученный интервал $(-1; 4)$ не включает в себя граничные точки, поэтому ОДЗ полностью соблюдено.

Ответ: $x \in (-1; 4)$.

б)

Решим неравенство $\frac{\frac{1}{x-1}-1}{1-\frac{1}{x-7}} \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все знаменатели в выражении не должны равняться нулю.
$x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$
$x-7 \ne 0 \implies x \ne 7$
$1 - \frac{1}{x-7} \ne 0 \implies 1 \ne \frac{1}{x-7} \implies x-7 \ne 1 \implies x \ne 8$
Итак, ОДЗ: $x \ne 1, x \ne 7, x \ne 8$.

2. Упростим числитель и знаменатель основной дроби.
Числитель: $\frac{1}{x-1}-1 = \frac{1-(x-1)}{x-1} = \frac{1-x+1}{x-1} = \frac{2-x}{x-1}$.
Знаменатель: $1-\frac{1}{x-7} = \frac{(x-7)-1}{x-7} = \frac{x-8}{x-7}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство:
$\frac{\frac{2-x}{x-1}}{\frac{x-8}{x-7}} \ge 0$
Преобразуем многоэтажную дробь, "перевернув" знаменатель:
$\frac{2-x}{x-1} \cdot \frac{x-7}{x-8} \ge 0$
$\frac{(2-x)(x-7)}{(x-1)(x-8)} \ge 0$

4. Для удобства решения методом интервалов, вынесем минус из скобки $(2-x)$: $\frac{-(x-2)(x-7)}{(x-1)(x-8)} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{(x-2)(x-7)}{(x-1)(x-8)} \le 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя: $x=2, x=7$. Эти точки могут быть решениями, так как неравенство нестрогое ($\le$).
Корни знаменателя: $x=1, x=8$. Эти точки не могут быть решениями (выколотые точки).
Отметим точки 1, 2, 7, 8 на числовой оси и определим знаки выражения в получившихся интервалах:

- Интервал $(-\infty; 1)$: Возьмем $x=0$. $\frac{(-)(-)_}{(-)(-)} = +$.
- Интервал $(1; 2]$: Возьмем $x=1.5$. $\frac{(-)(-)}{(+)(-)} = -$. Интервал подходит.
- Интервал $[2; 7]$: Возьмем $x=3$. $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} = +$.
- Интервал $[7; 8)$: Возьмем $x=7.5$. $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$. Интервал подходит.
- Интервал $(8; +\infty)$: Возьмем $x=10$. $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.

6. Объединяя подходящие интервалы, получаем решение $x \in (1; 2] \cup [7; 8)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (1; 2] \cup [7; 8)$.

202 a) $(9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2 3x \ge 0;$

б) $(20x - 25x^2 - 3) \cdot \log_3 5x \le 0.$

а)

Решим неравенство $(9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2(3x) \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3x > 0 \implies x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Произведение двух множителей неотрицательно, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны). Это равносильно совокупности двух систем неравенств.

Система 1: $\begin{cases} 9x^2 - 9x + 2 \ge 0 \\ \log_2(3x) \ge 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} 9x^2 - 9x + 2 \le 0 \\ \log_2(3x) \le 0 \end{cases}$

3. Решим первую систему. Для первого неравенства $9x^2 - 9x + 2 \ge 0$ найдем корни квадратного трехчлена $9x^2 - 9x + 2 = 0$. Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 = 3^2$. Корни: $x_1 = \frac{9 - 3}{18} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Коэффициент при $x^2$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства является $x \in (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Для второго неравенства $\log_2(3x) \ge 0$, так как основание логарифма $2 > 1$, то $3x \ge 2^0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$.

Пересечение решений для первой системы: $( (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty) ) \cap [\frac{1}{3}, +\infty)$. Решением первой системы является множество $\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

4. Решим вторую систему. Решением неравенства $9x^2 - 9x + 2 \le 0$ является отрезок между корнями: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$.

Для второго неравенства $\log_2(3x) \le 0$, получаем $0 < 3x \le 2^0 \implies 0 < 3x \le 1 \implies 0 < x \le \frac{1}{3}$. (Условие $3x > 0$ взято из ОДЗ).

Пересечение решений для второй системы: $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap (0, \frac{1}{3}]$. Решением второй системы является точка $x = \frac{1}{3}$.

5. Объединим решения обеих систем, чтобы получить окончательный ответ: $(\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)) \cup \{\frac{1}{3}\} = \{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Ответ: $\{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(20x - 25x^2 - 3) \cdot \log_3(5x) \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $5x > 0 \implies x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Произведение двух множителей неположительно, когда множители имеют разные знаки (один неположителен, а другой неотрицателен). Это равносильно совокупности двух систем неравенств.

Система 1: $\begin{cases} 20x - 25x^2 - 3 \ge 0 \\ \log_3(5x) \le 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} 20x - 25x^2 - 3 \le 0 \\ \log_3(5x) \ge 0 \end{cases}$

3. Решим первую систему. Для первого неравенства $20x - 25x^2 - 3 \ge 0$ (или $-25x^2 + 20x - 3 \ge 0$) найдем корни уравнения $25x^2 - 20x + 3 = 0$. Дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 3 = 400 - 300 = 100 = 10^2$. Корни: $x_1 = \frac{20 - 10}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$, $x_2 = \frac{20 + 10}{50} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-25$), ветви параболы направлены вниз. Решением неравенства $-25x^2 + 20x - 3 \ge 0$ является $x \in [\frac{1}{5}, \frac{3}{5}]$.

Для второго неравенства $\log_3(5x) \le 0$, так как основание $3 > 1$, то $0 < 5x \le 3^0 \implies 0 < 5x \le 1 \implies 0 < x \le \frac{1}{5}$.

Пересечение решений для первой системы: $[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}] \cap (0, \frac{1}{5}]$. Решением первой системы является точка $x = \frac{1}{5}$.

4. Решим вторую систему. Решением неравенства $20x - 25x^2 - 3 \le 0$ является $x \in (-\infty, \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.

Для второго неравенства $\log_3(5x) \ge 0$, получаем $5x \ge 3^0 \implies 5x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{5}$.

Пересечение решений для второй системы: $( (-\infty, \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{5}, +\infty) ) \cap [\frac{1}{5}, +\infty)$. Решением второй системы является множество $\{\frac{1}{5}\} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.

5. Объединим решения обеих систем: $\{ \frac{1}{5} \} \cup (\{ \frac{1}{5} \} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)) = \{ \frac{1}{5} \} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.

Ответ: $\{\frac{1}{5}\} \cup [\frac{3}{5}, +\infty)$.

203 a) $\frac{\sqrt{2x^2 - 5x - 3}}{6 + 3\sqrt{3x - 2x^2}} \ge 0;$

б) $\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} \ge 0.$

Рассмотрим неравенство $\frac{\sqrt{2x^2 - 5x - 3}}{6 + 3\sqrt{3x - 2x^2}} \geq 0$.

Проанализируем числитель и знаменатель дроби. Числитель $\sqrt{2x^2 - 5x - 3}$ является арифметическим квадратным корнем, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $\geq 0$.

Знаменатель $6 + 3\sqrt{3x - 2x^2}$ представляет собой сумму положительного числа 6 и неотрицательного выражения $3\sqrt{3x - 2x^2}$ (поскольку корень также неотрицателен). Таким образом, знаменатель всегда строго положителен, то есть $6 + 3\sqrt{3x - 2x^2} \geq 6 > 0$.

Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель строго положителен, будет неотрицательной ($\geq 0$) всегда, когда она определена. Следовательно, решение исходного неравенства сводится к нахождению его области допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется системой неравенств, исходя из того, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x^2 - 5x - 3 \geq 0 \\ 3x - 2x^2 \geq 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 - 5x - 3 \geq 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$; $x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Парабола $y = 2x^2 - 5x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \leq -0.5$ или $x \geq 3$. Решение: $x \in (-\infty, -0.5] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $3x - 2x^2 \geq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(3 - 2x) \geq 0$.
Корни: $x_1 = 0$; $x_2 = 1.5$.
Парабола $y = 3x - 2x^2$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in [0, 1.5]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти общие значения для множеств $x \in (-\infty, -0.5] \cup [3, +\infty)$ и $x \in [0, 1.5]$.
Промежуток $(-\infty, -0.5]$ не имеет общих точек с промежутком $[0, 1.5]$.
Промежуток $[3, +\infty)$ также не имеет общих точек с промежутком $[0, 1.5]$.
Следовательно, пересечение этих множеств пусто. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых оба подкоренных выражения были бы неотрицательны одновременно.

Так как область допустимых значений пуста, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Рассмотрим неравенство $\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} \geq 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Для этого должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 + 5x - 84 \geq 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 7 \neq 0$.

Решим первое условие: $x^2 + 5x - 84 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 84 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 19}{2} = -12$; $x_2 = \frac{-5 + 19}{2} = 7$.
Парабола $y = x^2 + 5x - 84$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -12] \cup [7, +\infty)$.

Второе условие: $x \neq 7$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -12] \cup (7, \infty)$.

Теперь решим неравенство на его ОДЗ. Неравенство $\geq 0$ выполняется в двух случаях: когда дробь равна 0 или когда она строго больше 0.

Случай 1: Дробь равна 0.

$\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} = 0$.
Это возможно только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
$\sqrt{x^2 + 5x - 84} = 0 \implies x^2 + 5x - 84 = 0$.
Корни этого уравнения: $x = -12$ и $x = 7$.
Корень $x = 7$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Корень $x = -12$ входит в ОДЗ. Следовательно, $x = -12$ является решением.

Случай 2: Дробь строго больше 0.

$\frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} > 0$.
Числитель $\sqrt{x^2 + 5x - 84}$ всегда неотрицателен. Чтобы он был строго положителен, нужно, чтобы $x^2 + 5x - 84 > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -12) \cup (7, \infty)$.
Для того чтобы вся дробь была положительной, при положительном числителе знаменатель также должен быть положительным.
$x - 7 > 0 \implies x > 7$.
Найдем пересечение условий для этого случая: $(x \in (-\infty, -12) \cup (7, \infty))$ и $(x > 7)$.
Пересечением является промежуток $(7, \infty)$.

Итоговое решение.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1: $x = -12$.
Из случая 2: $x \in (7, \infty)$.
Общее решение неравенства: $x \in \{-12\} \cup (7, \infty)$.

Ответ: $x \in \{-12\} \cup (7, \infty)$.

204 а) $\frac{|x - 4| - \sqrt{x - 2}}{4\sqrt{10 - x} + x - 13} \ge 0;$

б) $\frac{x - 11 + 5\sqrt{7 - x}}{|x - 1| - \sqrt{x + 1}} \le 0;$

в) $\frac{|x - 5| - \sqrt{x - 3}}{2\sqrt{11 - x} + x - 12} \ge 0;$

г) $\frac{x + 2 - 7\sqrt{6 - x}}{|x - 3| - \sqrt{x + 3}} \le 0.$

а)

Решим неравенство $ \frac{|x-4| - \sqrt{x-2}}{4\sqrt{10-x} + x - 13} \ge 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Система условий:
$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \\ 4\sqrt{10-x} + x - 13 \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств получаем $ x \ge 2 $ и $ x \le 10 $, то есть $ x \in [2, 10] $.
Решим уравнение знаменателя: $ 4\sqrt{10-x} + x - 13 = 0 \implies 4\sqrt{10-x} = 13-x $. Возводим в квадрат обе части (при условии $ 13-x \ge 0 $, что выполняется для $ x \le 10 $):
$ 16(10-x) = (13-x)^2 $
$ 160 - 16x = 169 - 26x + x^2 $
$ x^2 - 10x + 9 = 0 $
Корни этого уравнения $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 9 $. Корень $ x=1 $ не входит в промежуток $ [2, 10] $. Корень $ x=9 $ входит. Значит, $ x \ne 9 $.
ОДЗ: $ x \in [2, 9) \cup (9, 10] $.

2. Найдем нули числителя.
$ |x-4| - \sqrt{x-2} = 0 \implies |x-4| = \sqrt{x-2} $. Возводим в квадрат:
$ (x-4)^2 = x-2 $
$ x^2 - 8x + 16 = x-2 $
$ x^2 - 9x + 18 = 0 $
Корни $ x_1=3 $ и $ x_2=6 $. Оба корня входят в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Нанесем на числовую прямую точки из ОДЗ, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $ 3, 6, 9 $. Эти точки разбивают ОДЗ $ [2, 10] $ на интервалы.
Определим знаки числителя $ f(x) = |x-4| - \sqrt{x-2} $ и знаменателя $ g(x) = 4\sqrt{10-x} + x - 13 $ на каждом интервале.
- Интервал $ [2, 3] $: $ f(2.5) = 1.5 - \sqrt{0.5} > 0 $. $ g(2) = 8\sqrt{2}-11 > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ [3, 6] $: $ f(4) = -\sqrt{2} < 0 $. $ g(4) = 4\sqrt{6}-9 > 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{+} = - $. - Интервал $ [6, 9) $: $ f(7) = 3 - \sqrt{5} > 0 $. $ g(7) = 4\sqrt{3}-6 > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ (9, 10] $: $ f(10) = 6-\sqrt{8} > 0 $. $ g(10) = -3 < 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{-} = - $.

Неравенство имеет вид $ \ge 0 $, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "+", а также точки, где числитель равен нулю ($x=3, x=6$).
Объединяя результаты, получаем решение: $ [2, 3] \cup [6, 9) $.

Ответ: $ [2, 3] \cup [6, 9) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{x - 11 + 5\sqrt{7-x}}{|x-1| - \sqrt{x+1}} \le 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Система условий:
$ \begin{cases} 7 - x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ |x-1| - \sqrt{x+1} \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств: $ x \le 7 $ и $ x \ge -1 $, то есть $ x \in [-1, 7] $.
Решим уравнение знаменателя: $ |x-1| = \sqrt{x+1} $. Возводим в квадрат: $ (x-1)^2 = x+1 \implies x^2 - 2x + 1 = x+1 \implies x^2 - 3x = 0 $. Корни $ x_1=0 $ и $ x_2=3 $. Оба корня входят в промежуток $ [-1, 7] $, их нужно исключить. ОДЗ: $ x \in [-1, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 7] $.

2. Найдем нули числителя.
$ x - 11 + 5\sqrt{7-x} = 0 \implies 5\sqrt{7-x} = 11-x $. Возводим в квадрат (при $ 11-x \ge 0 $, т.е. $ x \le 11 $, что верно для ОДЗ):
$ 25(7-x) = (11-x)^2 $
$ 175 - 25x = 121 - 22x + x^2 $
$ x^2 + 3x - 54 = 0 $
Корни: $ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(-54)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2} $.
$ x_1 = 6 $, $ x_2 = -9 $. Корень $ x_2 = -9 $ не входит в ОДЗ. Корень $ x_1 = 6 $ входит в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Критические точки: $ 0, 3, 6 $. Определим знаки числителя $ f(x) $ и знаменателя $ g(x) $.
- Интервал $ [-1, 0) $: $ f(-1) = -12+5\sqrt{8} > 0 $. $ g(-0.5) = 1.5 - \sqrt{0.5} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ (0, 3) $: $ f(1) = -10+5\sqrt{6} > 0 $. $ g(1) = -\sqrt{2} < 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{-} = - $. - Интервал $ (3, 6] $: $ f(4) = -7+5\sqrt{3} > 0 $. $ g(4) = 3-\sqrt{5} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{+} = + $. - Интервал $ [6, 7] $: $ f(7) = -4 < 0 $. $ g(7) = 6 - \sqrt{8} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{+} = - $.

Неравенство имеет вид $ \le 0 $, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "-", а также точка, где числитель равен нулю ($x=6$).
Объединяя результаты, получаем решение: $ (0, 3) \cup [6, 7] $.

Ответ: $ (0, 3) \cup [6, 7] $.

в)

Решим неравенство $ \frac{|x-5| - \sqrt{x-3}}{2\sqrt{11-x} + x - 12} \ge 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Система условий:
$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 11 - x \ge 0 \\ 2\sqrt{11-x} + x - 12 \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств: $ x \ge 3 $ и $ x \le 11 $, то есть $ x \in [3, 11] $.
Решим уравнение знаменателя: $ 2\sqrt{11-x} = 12-x $. Возводим в квадрат (при $ 12-x \ge 0 $, т.е. $ x \le 12 $, что верно для ОДЗ):
$ 4(11-x) = (12-x)^2 \implies 44 - 4x = 144 - 24x + x^2 \implies x^2 - 20x + 100 = 0 $. $ (x-10)^2 = 0 \implies x=10 $. Этот корень нужно исключить. ОДЗ: $ x \in [3, 10) \cup (10, 11] $.

2. Найдем нули числителя.
$ |x-5| - \sqrt{x-3} = 0 \implies |x-5| = \sqrt{x-3} $. Возводим в квадрат: $ (x-5)^2 = x-3 \implies x^2 - 10x + 25 = x-3 \implies x^2 - 11x + 28 = 0 $. Корни $ x_1=4 $ и $ x_2=7 $. Оба корня входят в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Критические точки: $ 4, 7, 10 $. Знаменатель $ g(x) = 2\sqrt{11-x} + x - 12 $. Мы нашли, что $ g(x)=0 $ только при $ x=10 $. Так как $ g(x) $ является результатом возведения в квадрат выражения $ (x-10)^2=0 $, а $g(x)$ непрерывна, проверим знак в любой точке, например, $ g(3) = 2\sqrt{8}-9 < 0 $. Значит, $ g(x) \le 0 $ на всей ОДЗ. Поскольку знаменатель отрицателен всюду на ОДЗ (кроме точки $x=10$), исходное неравенство $ \frac{f(x)}{g(x)} \ge 0 $ эквивалентно неравенству $ f(x) \le 0 $ на ОДЗ.
Решаем $ |x-5| - \sqrt{x-3} \le 0 $.
Нули этого выражения: $ x=4 $ и $ x=7 $. Возьмем пробную точку $ x=5 $ из интервала $ (4, 7) $: $ |5-5|-\sqrt{5-3} = -\sqrt{2} < 0 $. Следовательно, решение неравенства $ f(x) \le 0 $ есть отрезок $ [4, 7] $. Этот отрезок полностью входит в ОДЗ $ [3, 10) \cup (10, 11] $.

Ответ: $ [4, 7] $.

г)

Решим неравенство $ \frac{x + 2 - 7\sqrt{6-x}}{|x-3| - \sqrt{x+3}} \le 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Система условий:
$ \begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \\ |x-3| - \sqrt{x+3} \ne 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств: $ x \le 6 $ и $ x \ge -3 $, то есть $ x \in [-3, 6] $.
Решим уравнение знаменателя: $ |x-3| = \sqrt{x+3} $. Возводим в квадрат: $ (x-3)^2 = x+3 \implies x^2 - 6x + 9 = x+3 \implies x^2 - 7x + 6 = 0 $. Корни $ x_1=1 $ и $ x_2=6 $. Оба корня входят в промежуток $ [-3, 6] $, их нужно исключить. ОДЗ: $ x \in [-3, 1) \cup (1, 6) $.

2. Найдем нули числителя.
$ x + 2 - 7\sqrt{6-x} = 0 \implies x+2 = 7\sqrt{6-x} $. Возводим в квадрат (при $ x+2 \ge 0 $, т.е. $ x \ge -2 $, что сужает ОДЗ для этого шага до $ [-2, 1) \cup (1, 6) $):
$ (x+2)^2 = 49(6-x) \implies x^2 + 4x + 4 = 294 - 49x \implies x^2 + 53x - 290 = 0 $.
Корни: $ x = \frac{-53 \pm \sqrt{53^2 - 4(-290)}}{2} = \frac{-53 \pm \sqrt{3969}}{2} = \frac{-53 \pm 63}{2} $.
$ x_1 = 5 $, $ x_2 = -58 $. Корень $ x_2 = -58 $ является посторонним ($ -58 < -2 $). Корень $ x_1 = 5 $ входит в ОДЗ.

3. Применим метод интервалов. Критические точки: $ 1, 5 $. Определим знаки числителя $ f(x) $ и знаменателя $ g(x) $ на интервалах ОДЗ.
- Интервал $ [-3, 1) $: $ f(-3) = -1-7\sqrt{9} < 0 $. $ g(0) = 3-\sqrt{3} > 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{+} = - $. - Интервал $ (1, 5] $: $ f(2) = 4-7\sqrt{4} < 0 $. $ g(2) = 1-\sqrt{5} < 0 $. Знак дроби: $ \frac{-}{-} = + $. - Интервал $ [5, 6) $: $ f(5.5) = 7.5-7\sqrt{0.5} > 0 $. $ g(5.5) = 2.5-\sqrt{8.5} < 0 $. Знак дроби: $ \frac{+}{-} = - $.

Неравенство имеет вид $ \le 0 $, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "-", а также точка, где числитель равен нулю ($x=5$).
Объединяя результаты, получаем решение: $ [-3, 1) \cup [5, 6) $.

Ответ: $ [-3, 1) \cup [5, 6) $.