Страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

237 a) $ \begin{cases} \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{4} \\ \cos x \ge 0 \\ \cos x \sin y = \frac{\sqrt{6}}{4}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \cos^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2} \\ \sin x \cos y = \frac{3}{4}. \end{cases} $

Дана система уравнений и неравенств:

$ \begin{cases} \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{4} \\ \cos x \ge 0 \\ \cos x \sin y = \frac{\sqrt{6}}{4} \end{cases} $

Введем новые переменные: пусть $a = \cos x$ и $b = \sin y$.

Из условия $\cos x \ge 0$ следует, что $a \ge 0$.

Третье уравнение системы принимает вид $ab = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выразим $\sin^2 x$ и $\cos^2 y$ через $a$ и $b$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - a^2$

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - b^2$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы $\sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{4}$:

$(1 - a^2) + (1 - b^2) = \frac{3}{4}$

$2 - (a^2 + b^2) = \frac{3}{4}$

$a^2 + b^2 = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

Таким образом, мы получили систему алгебраических уравнений относительно $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = \frac{5}{4} \\ ab = \frac{\sqrt{6}}{4} \end{cases} $

Решим ее. Из второго уравнения выразим $b = \frac{\sqrt{6}}{4a}$ (поскольку $ab \neq 0$, то $a \neq 0$) и подставим в первое:

$a^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{4a}\right)^2 = \frac{5}{4}$

$a^2 + \frac{6}{16a^2} = \frac{5}{4}$

Умножим обе части уравнения на $16a^2$:

$16a^4 + 6 = 20a^2$

$16a^4 - 20a^2 + 6 = 0$

Разделим на 2:

$8a^4 - 10a^2 + 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = a^2$, где $z > 0$:

$8z^2 - 10z + 3 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$z_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{16}$

$z_1 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$z_2 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительные, поэтому оба подходят. Вернемся к переменной $a$.

Случай 1: $a^2 = \frac{3}{4}$.

Так как $a = \cos x \ge 0$, то $a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $b = \frac{\sqrt{6}}{4a} = \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, мы получили систему тригонометрических уравнений:

$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $a^2 = \frac{1}{2}$.

Так как $a = \cos x \ge 0$, то $a = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $b = \frac{\sqrt{6}}{4a} = \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы получили другую систему тригонометрических уравнений:

$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n )$; $( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \cos^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2} \\ \sin x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $

Введем новые переменные: пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$.

Тогда второе уравнение системы примет вид: $uv = \frac{3}{4}$.

Преобразуем первое уравнение. Используя основное тригонометрическое тождество, выразим члены первого уравнения через $u$ и $v$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u^2$

$\sin^2 y = 1 - \cos^2 y = 1 - v^2$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$(1 - u^2) + (1 - v^2) = \frac{1}{2}$

$2 - (u^2 + v^2) = \frac{1}{2}$

$u^2 + v^2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Таким образом, мы получили систему алгебраических уравнений относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = \frac{3}{2} \\ uv = \frac{3}{4} \end{cases} $

Решим эту систему. Рассмотрим выражение $(u-v)^2$:

$(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2 = (u^2+v^2) - 2uv$

Подставим известные значения:

$(u-v)^2 = \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$

Из этого следует, что $u-v=0$, то есть $u=v$.

Подставим $u=v$ во второе уравнение системы $uv = \frac{3}{4}$:

$u \cdot u = \frac{3}{4} \implies u^2 = \frac{3}{4}$

Отсюда $u = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $v=u$, получаем два случая:

Случай 1: $u = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $v = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Возвращаясь к исходным переменным:

$ \begin{cases} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $u = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $v = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Возвращаясь к исходным переменным:

$ \begin{cases} \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $( (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n )$; $( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

238 При каких значениях $c \in \mathbf{R}$ для действительных корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + (4c - c^2 - 1)x + 2c^2 - 1 = 0$ выполняется равенство $x_1 + x_2 = 6$?

Дано квадратное уравнение $x^2 + (4c - c^2 - 1)x + 2c^2 - 1 = 0$. Для выполнения условий задачи необходимо, чтобы одновременно соблюдались два требования: 1. Уравнение должно иметь действительные корни, что означает, что его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). 2. Сумма этих корней $x_1 + x_2$ должна равняться 6.

Начнем со второго требования. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком. В нашем случае: $x_1 + x_2 = -(4c - c^2 - 1) = c^2 - 4c + 1$.

Приравниваем это выражение к 6, как того требует условие: $c^2 - 4c + 1 = 6$ $c^2 - 4c - 5 = 0$ Решаем полученное квадратное уравнение относительно $c$. Его корни можно найти, разложив на множители: $(c-5)(c+1)=0$ Отсюда получаем два потенциальных значения для $c$: $c_1=5$ и $c_2=-1$.

Теперь проверим первое требование: наличие действительных корней. Дискриминант $D$ исходного уравнения должен быть неотрицательным: $D = (4c - c^2 - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2c^2 - 1) \ge 0$. Из второго требования мы уже знаем, что для искомых значений $c$ выражение $(4c - c^2 - 1)$ должно быть равно $-6$. Подставим это в формулу дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4(2c^2 - 1) = 36 - 8c^2 + 4 = 40 - 8c^2$. Условие $D \ge 0$ превращается в неравенство: $40 - 8c^2 \ge 0$ $8c^2 \le 40$ $c^2 \le 5$ Это означает, что $c$ должно находиться в промежутке $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Нам нужно выбрать те значения из $c_1=5$ и $c_2=-1$, которые удовлетворяют условию $c \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$. Поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236$, то значение $c=5$ не входит в этот промежуток. Значение $c=-1$ входит в этот промежуток, так как $-\sqrt{5} \le -1 \le \sqrt{5}$. Следовательно, единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $c = -1$.

Ответ: $c=-1$.

239 a) Постройте график квадратного трёхчлена $y = x^2 + 3x + a$, если известно, что его корни связаны соотношением $x_1^2 + x_2^2 = 5$.

б) Постройте график квадратного трёхчлена $y = x^2 - x - a$, если известно, что его корни связаны соотношением $x_1^3 + x_2^3 = 4$.

а)

Для того чтобы построить график квадратного трёхчлена $y = x^2 + 3x + a$, необходимо сначала найти значение параметра $a$.

Корни трёхчлена $x_1$ и $x_2$ являются решениями уравнения $x^2 + 3x + a = 0$. Согласно теореме Виета для этого уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3$

Произведение корней: $x_1 x_2 = a$

В условии дано соотношение $x_1^2 + x_2^2 = 5$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения в это выражение:

$5 = (-3)^2 - 2a$

$5 = 9 - 2a$

$2a = 9 - 5$

$2a = 4$

$a = 2$

Таким образом, уравнение квадратного трёхчлена имеет вид: $y = x^2 + 3x + 2$.

Для построения графика этой функции (параболы) найдём её ключевые точки.

1. Вершина параболы. Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\\frac{b}{2a_{коэф}} = -\\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Координата $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение: $y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$. Вершина находится в точке $(-1.5; -0.25)$.

2. Точки пересечения с осями координат. С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$. С осью OX (при $y=0$): $x^2 + 3x + 2 = 0$. Решая уравнение (например, разложением на множители $(x+1)(x+2)=0$), находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Точки $(-2; 0)$ и $(-1; 0)$.

3. Дополнительные точки. Парабола симметрична относительно оси $x = -1.5$. Точка, симметричная точке $(0; 2)$ относительно оси симметрии, имеет координаты $(-3; 2)$.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину параболы $(-1.5; -0.25)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$ и симметричную ей точку $(-3; 2)$, после чего соединить их плавной линией.

б)

Рассмотрим квадратный трёхчлен $y = x^2 - x - a$. Сначала найдём значение параметра $a$.

Корни $x_1$ и $x_2$ этого трёхчлена удовлетворяют уравнению $x^2 - x - a = 0$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$

Произведение корней: $x_1 x_2 = -a$

По условию $x_1^3 + x_2^3 = 4$. Используем формулу суммы кубов, выраженную через сумму и произведение корней:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$

Подставим значения из теоремы Виета:

$4 = (1)((1)^2 - 3(-a))$

$4 = 1 + 3a$

$3a = 3$

$a = 1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = x^2 - x - 1$.

Построим график этой параболы, найдя её ключевые точки.

1. Вершина параболы. Координата $x_v = -\\frac{b}{2a_{коэф}} = -\\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. Координата $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 1 = 0.25 - 0.5 - 1 = -1.25$. Вершина находится в точке $(0.5; -1.25)$.

2. Точки пересечения с осями координат. С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$. С осью OX (при $y=0$): $x^2 - x - 1 = 0$. Решаем через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$. Корни $x_{1,2} = \\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Точки пересечения: $(\\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0) \approx (-0.62; 0)$ и $(\\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 0) \approx (1.62; 0)$.

3. Дополнительные точки. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$. Точка, симметричная точке $(0; -1)$, будет иметь координаты $(1; -1)$.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0.5; -1.25)$, точки пересечения с осями $(0; -1)$, $(\\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0)$, $(\\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 0)$ и точку $(1; -1)$, после чего соединить их плавной параболической кривой.

240 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:

a) $2|x + 1| - 2|x - 2| + |x - 6| = x + 3a$ имеет ровно один корень;

б) $2|x + 3| - 2|x - 2| + |x - 4| = x + 2a$ имеет ровно два корня;

в) $|x^2 - 8x - a| = 4x$ имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 11,5;

г) $|x^2 - 4x + a| = x$ имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 4.

а)

Рассмотрим уравнение $2|x+1| - 2|x-2| + |x-6| = x + 3a$.

Перепишем его в виде $f(x) = g(x)$, где $f(x) = 2|x+1| - 2|x-2| + |x-6|$ и $g(x) = x + 3a$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

Функция $f(x)$ является кусочно-линейной. Раскроем модули, рассмотрев четыре промежутка, определяемых точками $x=-1$, $x=2$, $x=6$.

1. При $x < -1$: $f(x) = -2(x+1) + 2(x-2) - (x-6) = -2x-2+2x-4-x+6 = -x$.
2. При $-1 \le x < 2$: $f(x) = 2(x+1) + 2(x-2) - (x-6) = 2x+2+2x-4-x+6 = 3x+4$.
3. При $2 \le x < 6$: $f(x) = 2(x+1) - 2(x-2) - (x-6) = 2x+2-2x+4-x+6 = -x+12$.
4. При $x \ge 6$: $f(x) = 2(x+1) - 2(x-2) + (x-6) = 2x+2-2x+4+x-6 = x$.

Таким образом, $f(x) = \begin{cases} -x, & x < -1 \\ 3x+4, & -1 \le x < 2 \\ -x+12, & 2 \le x < 6 \\ x, & x \ge 6 \end{cases}$.

График функции $y=f(x)$ представляет собой ломаную с вершинами в точках $(-1, 1)$, $(2, 10)$, $(6, 6)$.

График функции $y=g(x) = x+3a$ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $3a$ отвечает за сдвиг прямой по оси $y$.

При $x \ge 6$ функция $f(x)=x$ имеет угловой коэффициент 1, такой же, как у прямой $y=x+3a$. Следовательно, при $3a=0$ (т.е. $a=0$) прямая $y=x$ совпадает с лучом графика $f(x)$ на промежутке $[6, \infty)$, что дает бесконечное число корней. При $a \ne 0$ прямая $y=x+3a$ параллельна этому лучу и не пересекает его.

Таким образом, для $a \ne 0$ корни могут существовать только при $x<6$. Нам нужно найти такие $a$, при которых прямая $y=x+3a$ пересекает ломаную $y=f(x)$ на интервале $(-\infty, 6)$ ровно в одной точке.

Рассмотрим граничные положения прямой $y=x+C$ (где $C=3a$), когда она проходит через вершины ломаной:

• Прямая проходит через точку $(-1, 1)$: $1 = -1 + C \Rightarrow C=2$. Уравнение прямой $y=x+2$. Это соответствует $3a=2 \Rightarrow a=2/3$. Найдем точки пересечения:
  • $3x+4 = x+2 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1$.
  • $-x+12 = x+2 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5$.
  При $a=2/3$ имеем два корня: $x=-1$ и $x=5$.
• Прямая проходит через точку $(2, 10)$: $10 = 2 + C \Rightarrow C=8$. Уравнение прямой $y=x+8$. Это соответствует $3a=8 \Rightarrow a=8/3$. Найдем точки пересечения:
  • $-x = x+8 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4$.
  • $3x+4 = x+8 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$.
  При $a=8/3$ имеем два корня: $x=-4$ и $x=2$.

Проанализируем количество корней в зависимости от значения $C=3a$:

• Если $C > 8$ (т.е. $a > 8/3$), прямая $y=x+C$ находится выше прямой $y=x+8$. Она пересекает только луч $y=-x$ (при $x<-1$), так как $-x=x+C \Rightarrow x=-C/2 < -4$. Это дает один корень.
• Если $2 < C < 8$ (т.е. $2/3 < a < 8/3$), прямая пересекает все три участка ломаной на $(-\infty, 6)$, что дает три корня.
• Если $0 < C < 2$ (т.е. $0 < a < 2/3$), прямая пересекает только участок $y=-x+12$ (при $2 \le x < 6$), так как $-x+12=x+C \Rightarrow x=(12-C)/2$, что дает $5 < x < 6$. Это дает один корень.
• Если $C < 0$ (т.е. $a < 0$), пересечений нет.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень при $a \in (0, 2/3) \cup (8/3, \infty)$.

Ответ: $a \in (0, 2/3) \cup (8/3, \infty)$.

б)

Перенесем $x$ в левую часть и рассмотрим функцию $h(x) = 2|x+3| - 2|x-2| + |x-4| - x$. Уравнение примет вид $h(x) = 2a$. Нам нужно найти, при каких $a$ горизонтальная прямая $y=2a$ пересекает график $y=h(x)$ ровно в двух точках.

Раскроем модули в выражении для $h(x)$ на промежутках, определяемых точками $x=-3, x=2, x=4$.

1. При $x < -3$: $h(x) = -2(x+3) + 2(x-2) - (x-4) - x = -2x-6+2x-4-x+4-x = -2x-6$.
2. При $-3 \le x < 2$: $h(x) = 2(x+3) + 2(x-2) - (x-4) - x = 2x+6+2x-4-x+4-x = 2x+6$.
3. При $2 \le x < 4$: $h(x) = 2(x+3) - 2(x-2) - (x-4) - x = 2x+6-2x+4-x+4-x = -2x+14$.
4. При $x \ge 4$: $h(x) = 2(x+3) - 2(x-2) + (x-4) - x = 2x+6-2x+4+x-4-x = 6$.

Итак, $h(x) = \begin{cases} -2x-6, & x < -3 \\ 2x+6, & -3 \le x < 2 \\ -2x+14, & 2 \le x < 4 \\ 6, & x \ge 4 \end{cases}$.

Построим эскиз графика функции $y=h(x)$.

• На $(-\infty, -3)$ функция убывает от $+\infty$ до $h(-3)=0$.
• На $[-3, 2)$ функция возрастает от $h(-3)=0$ до $h(2)=10$.
• На $[2, 4)$ функция убывает от $h(2)=10$ до $h(4)=6$.
• На $[4, \infty)$ функция постоянна и равна 6.

График имеет локальный минимум в точке $(-3, 0)$ и локальный максимум в точке $(2, 10)$.

Проанализируем количество решений уравнения $h(x)=2a$ в зависимости от значения $2a$.

• Если $2a > 10$, прямая $y=2a$ пересекает убывающий участок на $(-\infty, -3)$ один раз. Один корень.
• Если $2a = 10$, прямая касается графика в точке максимума $x=2$ и пересекает убывающий участок на $(-\infty, -3)$ в точке $x=-8$. Два корня.
• Если $6 < 2a < 10$, прямая пересекает график в трех точках. Три корня.
• Если $2a = 6$, прямая пересекает график в точке $x=0$ и на всем луче $[4, \infty)$. Бесконечно много корней.
• Если $0 < 2a < 6$, прямая пересекает убывающий участок на $(-\infty, -3)$ и возрастающий на $[-3, 2)$. Два корня.
• Если $2a = 0$, прямая касается графика в точке минимума $x=-3$. Один корень.
• Если $2a < 0$, пересечений нет. Нет корней.

Уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1. $2a = 10 \Rightarrow a=5$.
2. $0 < 2a < 6 \Rightarrow 0 < a < 3$.

Объединяя эти случаи, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in (0, 3) \cup \{5\}$.

в)

Уравнение $|x^2 - 8x - a| = 4x$ равносильно системе:

$\begin{cases} 4x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} x^2 - 8x - a = 4x \\ x^2 - 8x - a = -4x \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} a = x^2 - 12x \\ a = x^2 - 4x \end{array} \end{cases}$

Задача сводится к нахождению таких значений $a$, при которых горизонтальная прямая $y=a$ пересекает совокупность графиков функций $f_1(x) = x^2 - 12x$ и $f_2(x) = x^2 - 4x$ (при $x \ge 0$) таким образом, что выполняется условие: ровно одна точка пересечения с абсциссой $x \in [0, 1)$ и хотя бы одна точка пересечения с абсциссой $x \in (11,5, \infty)$.

Рассмотрим поведение функций на заданных интервалах.

На интервале $x \in [0, 1)$:

• $f_1(x) = x^2-12x$: $f_1(0)=0, f_1(1)=-11$. На $[0,1)$ функция убывает, ее значения лежат в промежутке $(-11, 0]$.
• $f_2(x) = x^2-4x$: $f_2(0)=0, f_2(1)=-3$. На $[0,1)$ функция убывает, ее значения лежат в промежутке $(-3, 0]$.

Условие 1: ровно один корень в $[0, 1)$.

• При $a=0$ прямая $y=0$ пересекает оба графика в точке $x=0$. Это один корень в $[0,1)$.
• При $-3 < a < 0$ прямая $y=a$ пересекает оба графика на $(0,1)$. Два корня.
• При $a=-3$ прямая $y=-3$ пересекает график $f_2(x)$ в точке $x=1$ (не входит в $[0,1)$) и пересекает график $f_1(x)$ в одной точке на $(0,1)$. Один корень.
• При $-11 < a < -3$ прямая $y=a$ пересекает только график $f_1(x)$ на $(0,1)$. Один корень.
• При $a \le -11$ или $a>0$ корней в $[0,1)$ нет.

Таким образом, первое условие выполняется при $a \in (-11, -3] \cup \{0\}$.

На интервале $x \in (11,5, \infty)$:

• $f_1(x) = x^2-12x$: $f_1(11,5) = 11,5^2 - 12 \cdot 11,5 = -5,75$. Вершина параболы в $x=6$, так что на $(11,5, \infty)$ функция возрастает. Значения лежат в $(-5,75, \infty)$.
• $f_2(x) = x^2-4x$: $f_2(11,5) = 11,5^2 - 4 \cdot 11,5 = 86,25$. Вершина в $x=2$, на $(11,5, \infty)$ функция возрастает. Значения лежат в $(86,25, \infty)$.

Условие 2: хотя бы один корень в $(11,5, \infty)$.

Объединение множеств значений $f_1(x)$ и $f_2(x)$ на $(11,5, \infty)$ есть $(-5,75, \infty)$. Прямая $y=a$ должна пересекать это множество, т.е. $a > -5,75$.

Итоговый результат.

Нам нужно найти пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям:

$a \in ((-11, -3] \cup \{0\}) \cap (-5,75, \infty) = (-5,75, -3] \cup \{0\}$.

Ответ: $a \in (-5,75; -3] \cup \{0\}$.

г)

Уравнение $|x^2 - 4x + a| = x$ равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} x^2 - 4x + a = x \\ x^2 - 4x + a = -x \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ [ \begin{array}{l} a = -x^2 + 5x \\ a = -x^2 + 3x \end{array} \end{cases}$

Решим задачу графически. Ищем значения $a$, при которых прямая $y=a$ пересекает графики парабол $f_1(x) = -x^2 + 5x$ и $f_2(x) = -x^2 + 3x$ (при $x \ge 0$) так, что есть ровно один корень в $[0, 1)$ и хотя бы один корень в $(4, \infty)$.

Рассмотрим поведение функций на заданных интервалах.

На интервале $x \in [0, 1)$:

• $f_1(x) = -x^2+5x$: $f_1(0)=0, f_1(1)=4$. На $[0,1)$ функция возрастает, ее значения лежат в $[0, 4)$.
• $f_2(x) = -x^2+3x$: $f_2(0)=0, f_2(1)=2$. На $[0,1)$ функция возрастает, ее значения лежат в $[0, 2)$.

Условие 1: ровно один корень в $[0, 1)$.

• При $a=0$: один корень $x=0$.
• При $0 < a < 2$: прямая $y=a$ пересекает оба графика. Два корня.
• При $a=2$: прямая $y=2$ пересекает график $f_2(x)$ в точке $x=1$ (не входит в $[0,1)$) и пересекает $f_1(x)$ в одной точке на $(0,1)$, т.к. $f_1(x)=2 \Rightarrow x=(5-\sqrt{17})/2 \in (0,1)$. Один корень.
• При $2 < a < 4$: прямая $y=a$ пересекает только график $f_1(x)$. Один корень.
• При $a \ge 4$: корней в $[0,1)$ нет.

Таким образом, первое условие выполняется при $a \in [2, 4) \cup \{0\}$.

На интервале $x \in (4, \infty)$:

• $f_1(x) = -x^2+5x$: $f_1(4)=4$. Вершина в $x=2,5$, на $(4, \infty)$ функция убывает. Значения лежат в $(-\infty, 4)$.
• $f_2(x) = -x^2+3x$: $f_2(4)=-4$. Вершина в $x=1,5$, на $(4, \infty)$ функция убывает. Значения лежат в $(-\infty, -4)$.

Условие 2: хотя бы один корень в $(4, \infty)$.

Объединение множеств значений $f_1(x)$ и $f_2(x)$ на $(4, \infty)$ есть $(-\infty, 4)$. Прямая $y=a$ должна пересекать это множество, т.е. $a < 4$.

Итоговый результат.

Нам нужно найти пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям:

$a \in ([2, 4) \cup \{0\}) \cap (-\infty, 4)$.

Поскольку множество $[2, 4) \cup \{0\}$ полностью содержится во множестве $(-\infty, 4)$, их пересечение равно $[2, 4) \cup \{0\}$.

Ответ: $a \in \{0\} \cup [2, 4)$.

241 Для каждого значения параметра b найдите число корней уравнения:

a) $2x^2 + 10x + |6x + 30| = b;$

б) $6x^2 + 18x + |12x + 36| = b;$

в) $4x^2 + 12x + |8x + 24| = b;$

г) $4x^2 + 8x + |24x + 48| = b.$

а)

Рассмотрим уравнение $2x^2 + 10x + |6x + 30| = b$. Для нахождения числа корней в зависимости от параметра $b$ исследуем функцию $y(x) = 2x^2 + 10x + |6x + 30|$ и определим, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает ее график.

Раскроем модуль. Выражение $6x+30$ неотрицательно при $6x+30 \ge 0$, то есть при $x \ge -5$.

Таким образом, функция $y(x)$ является кусочно-заданной:$y(x) = \begin{cases}2x^2 + 10x + (6x + 30) = 2x^2 + 16x + 30, & \text{при } x \ge -5 \\2x^2 + 10x - (6x + 30) = 2x^2 + 4x - 30, & \text{при } x < -5\end{cases}$

1. На промежутке $x \ge -5$ график функции совпадает с параболой $y_1(x) = 2x^2 + 16x + 30$, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины этой параболы: $x_v = -\frac{16}{2 \cdot 2} = -4$. Так как $-4 \ge -5$, вершина принадлежит рассматриваемому промежутку. Ордината вершины: $y(-4) = 2(-4)^2 + 16(-4) + 30 = 32 - 64 + 30 = -2$. Это точка локального минимума.

2. На промежутке $x < -5$ график функции совпадает с параболой $y_2(x) = 2x^2 + 4x - 30$, ветви которой направлены вверх. Абсцисса ее вершины $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. Эта точка не принадлежит промежутку $x < -5$. Поскольку $x_v > -5$, на всем промежутке $x < -5$ функция $y_2(x)$ монотонно убывает.

В точке "склейки" $x=-5$ значение функции $y(-5) = 2(-5)^2 + 4(-5) - 30 = 50 - 20 - 30 = 0$.График функции $y(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, -4]$ от $+\infty$ до $-2$ и возрастает на промежутке $[-4, \infty)$ от $-2$ до $+\infty$. Глобальный минимум функции достигается в точке $x=-4$ и равен $-2$.

Анализируя пересечение графика $y(x)$ с прямой $y=b$, получаем:
- если $b < -2$, пересечений нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
- если $b = -2$, прямая касается графика в точке минимума, следовательно, уравнение имеет один корень.
- если $b > -2$, прямая пересекает график в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: если $b < -2$, корней нет; если $b = -2$, один корень; если $b > -2$, два корня.

б)

Рассмотрим уравнение $6x^2 + 18x + |12x + 36| = b$. Исследуем функцию $y(x) = 6x^2 + 18x + |12x + 36|$ и найдем число пересечений ее графика с прямой $y=b$.

Раскроем модуль, исходя из знака выражения $12x + 36$. $12x+36 \ge 0$ при $x \ge -3$.

Функция $y(x)$ задается piecewise:$y(x) = \begin{cases}6x^2 + 18x + (12x + 36) = 6x^2 + 30x + 36, & \text{при } x \ge -3 \\6x^2 + 18x - (12x + 36) = 6x^2 + 6x - 36, & \text{при } x < -3\end{cases}$

1. При $x \ge -3$ имеем параболу $y_1(x) = 6x^2 + 30x + 36$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{30}{2 \cdot 6} = -2.5$. Так как $-2.5 \ge -3$, вершина находится в этой области. Минимальное значение: $y(-2.5) = 6(-2.5)^2 + 30(-2.5) + 36 = 6(6.25) - 75 + 36 = 37.5 - 75 + 36 = -1.5$.

2. При $x < -3$ имеем параболу $y_2(x) = 6x^2 + 6x - 36$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{6}{2 \cdot 6} = -0.5$. Вершина не входит в область $x < -3$. На этом промежутке функция $y_2(x)$ убывает.

В точке $x=-3$ значение функции $y(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 36 = 54 - 18 - 36 = 0$.Функция $y(x)$ убывает на $(-\infty, -2.5]$ и возрастает на $[-2.5, \infty)$. Глобальный минимум равен $-1.5$ при $x=-2.5$.

Число корней уравнения $y(x)=b$:
- если $b < -1.5$, корней нет.
- если $b = -1.5$, один корень.
- если $b > -1.5$, два корня.

Ответ: если $b < -1.5$, корней нет; если $b = -1.5$, один корень; если $b > -1.5$, два корня.

в)

Рассмотрим уравнение $4x^2 + 12x + |8x + 24| = b$. Исследуем функцию $y(x) = 4x^2 + 12x + |8x + 24|$.

Раскроем модуль. $8x+24 \ge 0$ при $x \ge -3$.

Функция $y(x)$ задается следующим образом:$y(x) = \begin{cases}4x^2 + 12x + (8x + 24) = 4x^2 + 20x + 24, & \text{при } x \ge -3 \\4x^2 + 12x - (8x + 24) = 4x^2 + 4x - 24, & \text{при } x < -3\end{cases}$

1. При $x \ge -3$ имеем параболу $y_1(x) = 4x^2 + 20x + 24$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{20}{2 \cdot 4} = -2.5$. Так как $-2.5 \ge -3$, вершина принадлежит области. Минимальное значение: $y(-2.5) = 4(-2.5)^2 + 20(-2.5) + 24 = 4(6.25) - 50 + 24 = 25 - 50 + 24 = -1$.

2. При $x < -3$ имеем параболу $y_2(x) = 4x^2 + 4x - 24$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 4} = -0.5$. Вершина не принадлежит области $x < -3$. На этом промежутке функция $y_2(x)$ убывает.

В точке $x=-3$ значение $y(-3) = 4(-3)^2 + 4(-3) - 24 = 36 - 12 - 24 = 0$.Функция $y(x)$ убывает на $(-\infty, -2.5]$ до значения $-1$ и возрастает на $[-2.5, \infty)$. Глобальный минимум равен $-1$ при $x=-2.5$.

Число корней уравнения $y(x)=b$:
- если $b < -1$, корней нет.
- если $b = -1$, один корень.
- если $b > -1$, два корня.

Ответ: если $b < -1$, корней нет; если $b = -1$, один корень; если $b > -1$, два корня.

г)

Рассмотрим уравнение $4x^2 + 8x + |24x + 48| = b$. Исследуем функцию $y(x) = 4x^2 + 8x + |24x + 48|$.

Раскроем модуль. $24x+48 \ge 0$ при $x \ge -2$.

Функция $y(x)$ имеет вид:$y(x) = \begin{cases}4x^2 + 8x + (24x + 48) = 4x^2 + 32x + 48, & \text{при } x \ge -2 \\4x^2 + 8x - (24x + 48) = 4x^2 - 16x - 48, & \text{при } x < -2\end{cases}$

1. При $x \ge -2$ имеем параболу $y_1(x) = 4x^2 + 32x + 48$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{32}{2 \cdot 4} = -4$. Так как $-4 < -2$, вершина не принадлежит области. На промежутке $x \ge -2$ функция $y_1(x)$ монотонно возрастает.

2. При $x < -2$ имеем параболу $y_2(x) = 4x^2 - 16x - 48$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-16}{2 \cdot 4} = 2$. Так как $2 > -2$, вершина не принадлежит области. На промежутке $x < -2$ функция $y_2(x)$ монотонно убывает.

В точке "склейки" $x=-2$ функция непрерывна и достигает своего минимального значения: $y(-2) = 4(-2)^2 + 32(-2) + 48 = 16 - 64 + 48 = 0$.Таким образом, функция $y(x)$ убывает на $(-\infty, -2]$ и возрастает на $[-2, \infty)$. Глобальный минимум равен $0$ и достигается при $x=-2$.

Число корней уравнения $y(x)=b$:
- если $b < 0$, корней нет.
- если $b = 0$, один корень ($x=-2$).
- если $b > 0$, два корня.

Ответ: если $b < 0$, корней нет; если $b = 0$, один корень; если $b > 0$, два корня.

242 Для каждого значения параметра c решите уравнение:

а) $\sqrt{\frac{x}{4} + 2} = c + \sqrt{\frac{x}{4} - 3}$;

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = c - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$;

в) $\sin\left(c\sqrt{x} - 1 + \frac{\pi}{6}\right) = 0.5$;

г) $(2^{-x} + 4 + 3c)(5 - c - 2^{-x}) = 0.$

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{4}+2} = c + \sqrt{\frac{x}{4}-3}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\frac{x}{4}+2 \ge 0 \implies \frac{x}{4} \ge -2 \implies x \ge -8$
$\frac{x}{4}-3 \ge 0 \implies \frac{x}{4} \ge 3 \implies x \ge 12$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 12$.

2. Преобразуем уравнение: $\sqrt{\frac{x}{4}+2} - \sqrt{\frac{x}{4}-3} = c$.
Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = \sqrt{\frac{x}{4}+2} - \sqrt{\frac{x}{4}-3}$.
Так как для $x \ge 12$ выполняется $\frac{x}{4}+2 > \frac{x}{4}-3 \ge 0$, то $f(x) > 0$. Следовательно, для существования решений необходимо, чтобы $c>0$.

3. Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Ее производная: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{4}+2}} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{4}-3}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}+2}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}-3}} \right)$.
Поскольку $\sqrt{\frac{x}{4}+2} > \sqrt{\frac{x}{4}-3}$, то $\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}+2}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}-3}}$, значит $f'(x) < 0$.
Функция $f(x)$ строго убывает на всей своей области определения $[12, +\infty)$.

4. Найдем множество значений функции $f(x)$.
Максимальное значение достигается при $x=12$: $f(12) = \sqrt{\frac{12}{4}+2} - \sqrt{\frac{12}{4}-3} = \sqrt{5} - \sqrt{0} = \sqrt{5}$.
Найдем предел при $x \to +\infty$:
$\lim_{x\to\infty} \left( \sqrt{\frac{x}{4}+2} - \sqrt{\frac{x}{4}-3} \right) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\frac{x}{4}+2) - (\frac{x}{4}-3)}{\sqrt{\frac{x}{4}+2} + \sqrt{\frac{x}{4}-3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{5}{\sqrt{\frac{x}{4}+2} + \sqrt{\frac{x}{4}-3}} = 0$.
Таким образом, множество значений $f(x)$ есть интервал $(0, \sqrt{5}]$.
Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $c$ принадлежит этому множеству, то есть $0 < c \le \sqrt{5}$. При этом, так как функция строго монотонна, решение будет единственным.

5. Решим уравнение относительно $x$.
Перенесем один из корней и возведем в квадрат (это возможно, т.к. $c>0$):
$\sqrt{\frac{x}{4}+2} = c + \sqrt{\frac{x}{4}-3}$
$\frac{x}{4}+2 = c^2 + 2c\sqrt{\frac{x}{4}-3} + \frac{x}{4}-3$
$5-c^2 = 2c\sqrt{\frac{x}{4}-3}$
Так как правая часть неотрицательна, должно выполняться $5-c^2 \ge 0$, что с учетом $c>0$ дает $0 < c \le \sqrt{5}$. Это совпадает с найденным нами условием существования корней.
Возведем в квадрат еще раз:
$(5-c^2)^2 = 4c^2(\frac{x}{4}-3)$
$25 - 10c^2 + c^4 = c^2x - 12c^2$
$c^2x = c^4 + 2c^2 + 25$
$x = \frac{c^4 + 2c^2 + 25}{c^2} = c^2 + 2 + \frac{25}{c^2}$.

Ответ:
если $c \in (0, \sqrt{5}]$, то $x = c^2 + 2 + \frac{25}{c^2}$;
если $c \notin (0, \sqrt{5}]$, то корней нет.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = c - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$.

1. Упростим подкоренные выражения, используя формулы полного квадрата:
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
Уравнение принимает вид: $\sqrt{(x-2)^2} = c - \sqrt{(x+3)^2}$.

2. Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:
$|x-2| = c - |x+3|$
$|x-2| + |x+3| = c$.

3. Рассмотрим функцию в левой части $g(x) = |x-2| + |x+3|$. Для нахождения ее множества значений, раскроем модули на трех промежутках, определяемых точками $x=-3$ и $x=2$.
- При $x < -3$: $g(x) = -(x-2) - (x+3) = -x+2-x-3 = -2x-1$.
- При $-3 \le x \le 2$: $g(x) = -(x-2) + (x+3) = -x+2+x+3 = 5$.
- При $x > 2$: $g(x) = (x-2) + (x+3) = 2x+1$.
Минимальное значение функции $g(x)$ равно 5. При $x \to \pm\infty$, $g(x) \to +\infty$.
Следовательно, множество значений функции $g(x)$ есть $[5, +\infty)$.

4. Уравнение $g(x)=c$ имеет решение только если $c \ge 5$.
- Если $c < 5$, решений нет.
- Если $c = 5$, уравнение $|x-2|+|x+3|=5$ выполняется для всех $x$ из отрезка $[-3, 2]$.
- Если $c > 5$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
1) Из промежутка $x < -3$: $-2x-1=c \implies -2x = c+1 \implies x = -\frac{c+1}{2}$. Проверим условие $x<-3$: $-\frac{c+1}{2} < -3 \implies c+1 > 6 \implies c > 5$. Условие выполнено.
2) Из промежутка $x > 2$: $2x+1=c \implies 2x = c-1 \implies x = \frac{c-1}{2}$. Проверим условие $x>2$: $\frac{c-1}{2} > 2 \implies c-1 > 4 \implies c > 5$. Условие выполнено.

Ответ:
если $c < 5$, то корней нет;
если $c = 5$, то $x \in [-3, 2]$;
если $c > 5$, то $x_1 = -\frac{c+1}{2}$, $x_2 = \frac{c-1}{2}$.

в)

Исходное уравнение: $\sin(c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6}) = 0,5$.

1. ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Решим тригонометрическое уравнение $\sin(A) = 0,5$. Это дает две серии решений:
$A = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$A = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

3. Подставим $A = c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6}$ и рассмотрим различные случаи для параметра $c$.

Случай 1: $c = 0$.
Уравнение принимает вид $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, то есть $0,5=0,5$. Это верное равенство, не зависящее от $x$. Следовательно, решением является любое $x$ из ОДЗ.
Решение: $x \in [1, +\infty)$.

Случай 2: $c \ne 0$.
Из первой серии решений для $A$:
$c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies c\sqrt{x-1} = 2\pi n$.
Из второй серии решений для $A$:
$c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies c\sqrt{x-1} = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi(3n+1)}{3}$.
В обоих случаях, так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, знак выражения в правой части должен совпадать со знаком $c$, либо выражение должно быть равно нулю.

Подслучай 2а: $c > 0$.
Из $c\sqrt{x-1} = 2\pi n$ следует, что $n \ge 0$. Получаем $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi n}{c}$.
Из $c\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(3n+1)}{3}$ следует, что $3n+1 \ge 0 \implies n \ge -1/3$, то есть $n \ge 0$. Получаем $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(3n+1)}{3c}$.
Возводя в квадрат, получаем две серии решений для $x$ при $n \in \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, ...\}$:
$x = 1 + \left(\frac{2\pi n}{c}\right)^2$ и $x = 1 + \left(\frac{2\pi(3n+1)}{3c}\right)^2$.

Подслучай 2б: $c < 0$.
Из $c\sqrt{x-1} = 2\pi n$ следует, что $n \le 0$. Обозначим $k = -n$, где $k \ge 0$. Тогда $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(-k)}{c} = \frac{-2\pi k}{c}$.
Из $c\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(3n+1)}{3}$ следует, что $3n+1 \le 0 \implies n \le -1$. Обозначим $k = -n-1$, где $k \ge 0$. Тогда $3n+1 = 3(-k-1)+1 = -3k-2$. Получаем $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(-3k-2)}{3c}$.
Возводя в квадрат, получаем две серии решений для $x$ при $k \in \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, ...\}$:
$x = 1 + \left(\frac{-2\pi k}{c}\right)^2 = 1 + \frac{4\pi^2 k^2}{c^2}$ и $x = 1 + \left(\frac{2\pi(-3k-2)}{3c}\right)^2 = 1 + \frac{4\pi^2(3k+2)^2}{9c^2}$.

Ответ:
если $c=0$, то $x \in [1, +\infty)$;
если $c>0$, то $x = 1 + \frac{4\pi^2 n^2}{c^2}$ или $x = 1 + \frac{4\pi^2 (3n+1)^2}{9c^2}$, где $n \in \mathbb{N}_0$;
если $c<0$, то $x = 1 + \frac{4\pi^2 k^2}{c^2}$ или $x = 1 + \frac{4\pi^2 (3k+2)^2}{9c^2}$, где $k \in \mathbb{N}_0$.

г)

Исходное уравнение: $(2^{-x} + 4 + 3c)(5 - c - 2^{-x}) = 0$.

1. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $2^{-x} + 4 + 3c = 0$
2) $5 - c - 2^{-x} = 0$

2. Сделаем замену $t = 2^{-x}$. Так как показательная функция $y=a^u$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Получаем два уравнения для $t$:
1) $t + 4 + 3c = 0 \implies t_1 = -4 - 3c$
2) $5 - c - t = 0 \implies t_2 = 5 - c$

3. Для существования решения $x$ необходимо, чтобы хотя бы одно из значений $t_1, t_2$ было положительным.
- Условие $t_1 > 0$: $-4 - 3c > 0 \implies -3c > 4 \implies c < -4/3$.
- Условие $t_2 > 0$: $5 - c > 0 \implies c < 5$.

4. Проанализируем решения в зависимости от значения параметра $c$.
- Если $c \ge 5$: Условие $c < -4/3$ не выполнено, $t_1 \le -4-3(5)=-19 < 0$.
Условие $c < 5$ не выполнено, $t_2 \le 0$.
Положительных корней для $t$ нет, следовательно, решений для $x$ нет. - Если $-4/3 \le c < 5$: Условие $c < -4/3$ не выполнено, $t_1 \le 0$.
Условие $c < 5$ выполнено, $t_2 > 0$.
Есть один положительный корень $t = 5-c$. Тогда $2^{-x} = 5-c$, откуда $x = -\log_2(5-c)$. - Если $c < -4/3$: Условие $c < -4/3$ выполнено, $t_1 > 0$.
Условие $c < 5$ также выполнено, $t_2 > 0$.
Имеем два положительных корня для $t$: $t_1 = -4-3c$ и $t_2 = 5-c$.
Это дает два решения для $x$: $x_1 = -\log_2(-4-3c)$ и $x_2 = -\log_2(5-c)$.
Проверим, могут ли эти решения совпасть: $t_1=t_2 \implies -4-3c = 5-c \implies -9 = 2c \implies c = -4.5$.
При $c=-4.5$ (что удовлетворяет условию $c < -4/3$), корни совпадают и имеется одно решение: $t=9.5$, $x = -\log_2(9.5)$.

Ответ:
если $c \ge 5$, то корней нет;
если $c \in [-4/3, 5)$, то $x = -\log_2(5-c)$;
если $c < -4/3$, то $x_1 = -\log_2(-4-3c)$, $x_2 = -\log_2(5-c)$ (при $c=-4.5$ эти корни совпадают).

243 При каких значениях параметра $b$ уравнение $|2 \cos x - 4b + 3| = |3 \cos x - b|$ имеет на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ только одно решение?

Исходное уравнение $|2\cos x - 4b + 3| = |3\cos x - b|$ равносильно совокупности двух уравнений, так как равенство модулей $|A|=|B|$ эквивалентно тому, что $A=B$ или $A=-B$.

1) $2\cos x - 4b + 3 = 3\cos x - b$

2) $2\cos x - 4b + 3 = -(3\cos x - b)$

Преобразуем каждое уравнение, выразив $\cos x$:

1) $2\cos x - 3\cos x = 4b - b - 3 \implies -\cos x = 3b - 3 \implies \cos x = 3 - 3b$

2) $2\cos x + 3\cos x = b + 4b - 3 \implies 5\cos x = 5b - 3 \implies \cos x = b - \frac{3}{5}$

Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений параметра $b$, при которых совокупность уравнений

$\left[\begin{array}{l}\cos x = 3 - 3b \\\cos x = b - \frac{3}{5}\end{array}\right.$

имеет ровно одно решение на промежутке $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. На промежутке $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\cos x$ является положительной и принимает значения из промежутка $t \in (0; 1]$.

Проанализируем количество решений уравнения $\cos x = t$ на заданном промежутке в зависимости от значения $t$:

• Если $t=1$, уравнение $\cos x = 1$ имеет одно решение: $x=0$.
• Если $t \in (0; 1)$, уравнение $\cos x = t$ имеет два решения: $x = \arccos t$ и $x = -\arccos t$.
• Если $t \le 0$ или $t > 1$, уравнение $\cos x = t$ не имеет решений на данном промежутке.

Чтобы исходное уравнение имело только одно решение для $x$, необходимо, чтобы совокупность уравнений для $t$:

$\left[\begin{array}{l}t = 3 - 3b \\t = b - \frac{3}{5}\end{array}\right.$

давала ровно одно значение $t=1$ из промежутка $(0; 1]$. Все остальные возможные корни для $t$ должны лежать вне этого промежутка. Обозначим $t_1 = 3 - 3b$ и $t_2 = b - \frac{3}{5}$.

Рассмотрим возможные случаи, при которых это условие выполняется.

Первый случай: $t_1 = 1$ и $t_2 \notin (0, 1]$.

Из $t_1 = 1$ получаем $3 - 3b = 1 \implies 3b = 2 \implies b = \frac{2}{3}$.

Подставим это значение $b$ в выражение для $t_2$:$t_2 = \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10 - 9}{15} = \frac{1}{15}$.

Поскольку $t_2 = \frac{1}{15}$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, условие $t_2 \notin (0, 1]$ не выполняется. В этом случае у нас есть корень $t=1$ (дает одно решение для $x$) и корень $t=\frac{1}{15}$ (дает два решения для $x$). Суммарно 3 решения, что не удовлетворяет условию задачи.

Второй случай: $t_2 = 1$ и $t_1 \notin (0, 1]$.

Из $t_2 = 1$ получаем $b - \frac{3}{5} = 1 \implies b = 1 + \frac{3}{5} \implies b = \frac{8}{5}$.

Подставим это значение $b$ в выражение для $t_1$:$t_1 = 3 - 3 \cdot \frac{8}{5} = 3 - \frac{24}{5} = \frac{15 - 24}{5} = -\frac{9}{5}$.

Значение $t_1 = -\frac{9}{5}$ не принадлежит промежутку $(0; 1]$ (так как $t_1 \le 0$). Это удовлетворяет нашему условию. В этом случае корень $t=1$ дает одно решение для $x$, а корень $t=-\frac{9}{5}$ не дает решений. Итого, одно решение. Следовательно, $b = \frac{8}{5}$ является решением задачи.

Третий случай: $t_1 = t_2$.

Это приводит к уравнению $3 - 3b = b - \frac{3}{5} \implies 4b = 3 + \frac{3}{5} \implies 4b = \frac{18}{5} \implies b = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$.

При $b = \frac{9}{10}$ оба уравнения для $t$ дают одно и то же значение:$t = \frac{9}{10} - \frac{3}{5} = \frac{9 - 6}{10} = \frac{3}{10}$.

Поскольку $t = \frac{3}{10} \in (0; 1)$, уравнение $\cos x = \frac{3}{10}$ имеет два решения на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $b = \frac{8}{5}$.

Ответ: $b = \frac{8}{5}$.

244 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x - 1 = \sqrt{(1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2}$ на промежутке $(-\infty; 5]$ имеет только одно решение.

Исходное уравнение: $x - 1 = \sqrt{(1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2}$. Требуется найти все значения параметра $a$, при которых это уравнение имеет ровно одно решение на промежутке $(-\infty; 5]$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $(1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2 \ge 0$.

Во-вторых, правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

По условию задачи, решения ищутся на промежутке $x \in (-\infty; 5]$.

Объединяя условия $x \ge 1$ и $x \le 5$, получаем, что решения уравнения должны принадлежать отрезку $[1; 5]$.

2. Преобразуем и решим уравнение.

При условии $x \ge 1$ можно возвести обе части уравнения в квадрат: $(x - 1)^2 = (1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2$ $x^2 - 2x + 1 = (1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 - 2x - (1 - a)x + 1 + 1 - 3a - 2a^2 = 0$ $x^2 + (-2 - 1 + a)x + (2 - 3a - 2a^2) = 0$ $x^2 + (a - 3)x - (2a^2 + 3a - 2) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (a - 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 + 3a - 2))$ $D = a^2 - 6a + 9 + 8a^2 + 12a - 8$ $D = 9a^2 + 6a + 1 = (3a + 1)^2$

Дискриминант является полным квадратом, $D \ge 0$ при любых значениях $a$. Найдем корни уравнения: $x = \frac{-(a - 3) \pm \sqrt{(3a + 1)^2}}{2} = \frac{3 - a \pm (3a + 1)}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{3 - a + (3a + 1)}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2$ $x_2 = \frac{3 - a - (3a + 1)}{2} = \frac{2 - 4a}{2} = 1 - 2a$

3. Проанализируем полученные корни.

Мы ищем решения, принадлежащие отрезку $[1; 5]$. Проверим, при каких значениях параметра $a$ каждый из корней попадает в этот отрезок.

Для корня $x_1 = a + 2$: $1 \le a + 2 \le 5$ Вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем: $-1 \le a \le 3$ Таким образом, $x_1$ является решением исходного уравнения на заданном промежутке при $a \in [-1; 3]$.

Для корня $x_2 = 1 - 2a$: $1 \le 1 - 2a \le 5$ Вычитая 1 из всех частей неравенства: $0 \le -2a \le 4$ Делим на -2 и меняем знаки неравенства: $0 \ge a \ge -2$ То есть, $-2 \le a \le 0$. Таким образом, $x_2$ является решением исходного уравнения на заданном промежутке при $a \in [-2; 0]$.

4. Определим значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение имеет ровно одно решение в следующих случаях: 1) Только один из двух корней, $x_1$ или $x_2$, принадлежит отрезку $[1; 5]$. 2) Корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, и это общее значение принадлежит отрезку $[1; 5]$.

Случай 1: Только один корень подходит. Это происходит, когда значение $a$ принадлежит одному из интервалов $[-1; 3]$ или $[-2; 0]$, но не их пересечению. - $x_1$ является решением, а $x_2$ — нет: $a \in [-1; 3]$ и $a \notin [-2; 0]$. Это соответствует $a \in (0; 3]$. - $x_2$ является решением, а $x_1$ — нет: $a \in [-2; 0]$ и $a \notin [-1; 3]$. Это соответствует $a \in [-2; -1)$. Объединяя эти два подслучая, получаем $a \in [-2; -1) \cup (0; 3]$.

Случай 2: Корни совпадают. Найдем, при каком $a$ корни равны: $x_1 = x_2 \implies a + 2 = 1 - 2a \implies 3a = -1 \implies a = -1/3$. При $a = -1/3$ оба выражения для корней дают одно и то же значение: $x = -1/3 + 2 = 5/3$. Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку $[1; 5]$: $1 \le 5/3 \le 5$. Неравенство верное. Значит, при $a = -1/3$ уравнение имеет ровно одно решение $x=5/3$. Заметим, что значение $a = -1/3$ входит в пересечение интервалов $[-1; 3]$ и $[-2; 0]$, где мы ожидали два различных корня. Но так как корни совпали, решение одно.

Итог. Объединим все найденные значения параметра $a$: $a \in [-2; -1) \cup (0; 3] \cup \{-1/3\}$. Запишем в порядке возрастания: $a \in [-2; -1) \cup \{-1/3\} \cup (0; 3]$.

Ответ: $a \in [-2; -1) \cup \{-1/3\} \cup (0; 3]$.

245 Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $8 + 4p(x - 2) = (x - |x|)x$ имеет единственное решение. Найдите все решения при каждом p.

Для решения уравнения $8 + 4p(x-2) = (x-|x|)x$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $x$, так как в уравнении присутствует модуль $|x|$.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$. Уравнение преобразуется к виду:
$8 + 4p(x-2) = (x-x)x$
$8 + 4p(x-2) = 0$
$8 + 4px - 8p = 0$
$4px = 8p - 8$
$px = 2(p-1)$

Проанализируем полученное линейное уравнение относительно $x$:
– Если $p=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$. Это равенство неверно, следовательно, при $p=0$ в данном случае решений нет.
– Если $p \ne 0$, то $x = \frac{2(p-1)}{p} = 2 - \frac{2}{p}$.

Найденный корень должен удовлетворять условию $x \ge 0$. Проверим это:
$2 - \frac{2}{p} \ge 0 \implies 2 \ge \frac{2}{p}$.
– Если $p > 0$, умножаем на $p$: $2p \ge 2 \implies p \ge 1$.
– Если $p < 0$, умножаем на $p$ и меняем знак неравенства: $2p \le 2 \implies p \le 1$. Это условие выполняется для всех $p < 0$.
Таким образом, в случае $x \ge 0$ уравнение имеет одно решение $x_1 = 2 - \frac{2}{p}$ при $p \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль раскрывается как $|x| = -x$. Уравнение преобразуется к виду:
$8 + 4p(x-2) = (x-(-x))x$
$8 + 4px - 8p = 2x^2$
$2x^2 - 4px + 8p - 8 = 0$
$x^2 - 2px + 4p - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант:
$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4p - 4) = 4p^2 - 16p + 16 = 4(p^2 - 4p + 4) = 4(p-2)^2$.
Поскольку $D = (2(p-2))^2 \ge 0$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Корни уравнения: $x = \frac{2p \pm \sqrt{4(p-2)^2}}{2} = \frac{2p \pm 2|p-2|}{2} = p \pm |p-2|$.

Рассмотрим два подслучая в зависимости от знака выражения под модулем:
– Если $p \ge 2$, то $|p-2|=p-2$. Корни: $x = p + (p-2) = 2p-2$ и $x = p - (p-2) = 2$. Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$, так как $x=2 > 0$ и $x=2p-2 \ge 2(2)-2 = 2 > 0$. Значит, при $p \ge 2$ решений в этом случае нет.
– Если $p < 2$, то $|p-2|=-(p-2)=2-p$. Корни: $x = p + (2-p) = 2$ и $x = p - (2-p) = 2p-2$. Корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x < 0$. Для корня $x=2p-2$ проверим условие $x < 0$: $2p-2 < 0 \implies 2p < 2 \implies p < 1$.
Следовательно, при $p < 1$ уравнение имеет одно решение $x_2 = 2p-2$ в области $x < 0$.

Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $8 + 4p(x-2) = (x-|x|)x$ имеет единственное решение.

Объединим результаты анализа для определения количества решений в зависимости от $p$.
– При $p < 0$: есть одно решение $x_1 = 2 - 2/p$ (так как $x_1 > 0$) и одно решение $x_2 = 2p-2$ (так как $x_2 < 0$). Итого два решения.
– При $p = 0$: нет решений для $x \ge 0$, но есть одно решение $x_2 = 2(0)-2 = -2$ для $x < 0$. Итого одно решение.
– При $0 < p < 1$: нет решений для $x \ge 0$ (так как $x_1 = 2 - 2/p < 0$), но есть одно решение $x_2 = 2p-2$ для $x < 0$. Итого одно решение.
– При $p = 1$: есть одно решение $x_1 = 2 - 2/1 = 0$ для $x \ge 0$. Для $x < 0$ решений нет (корень $x_2=0$ не удовлетворяет $x<0$). Итого одно решение.
– При $p > 1$: есть одно решение $x_1 = 2 - 2/p$ для $x \ge 0$ (так как $x_1 > 0$). Для $x < 0$ решений нет (так как $p \not< 1$). Итого одно решение.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение при всех $p \ge 0$.
Ответ: $p \in [0, \infty)$.

Найдите все решения при каждом p.

На основе проведенного анализа, выпишем решения для каждого значения $p$, при котором решение единственно.
– при $p=0$ единственное решение $x=-2$;
– при $p \in (0, 1)$ единственное решение $x=2p-2$;
– при $p=1$ единственное решение $x=0$;
– при $p > 1$ единственное решение $x=2 - \frac{2}{p}$.
Заметим, что при $p=1$ формула для интервала $(0, 1)$ дает $x=2(1)-2=0$. Таким образом, случаи $p \in (0, 1)$ и $p=1$ можно объединить.
Ответ:
при $p=0$, $x=-2$;
при $p \in (0, 1]$, $x=2p-2$;
при $p > 1$, $x=2 - \frac{2}{p}$.