Номер 241, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 241, страница 430.

Условие.

241 Для каждого значения параметра b найдите число корней уравнения:

a) $2x^2 + 10x + |6x + 30| = b;$

б) $6x^2 + 18x + |12x + 36| = b;$

в) $4x^2 + 12x + |8x + 24| = b;$

г) $4x^2 + 8x + |24x + 48| = b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $2x^2 + 10x + |6x + 30| = b$. Для нахождения числа корней в зависимости от параметра $b$ исследуем функцию $y(x) = 2x^2 + 10x + |6x + 30|$ и определим, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает ее график.

Раскроем модуль. Выражение $6x+30$ неотрицательно при $6x+30 \ge 0$, то есть при $x \ge -5$.

Таким образом, функция $y(x)$ является кусочно-заданной:$y(x) = \begin{cases}2x^2 + 10x + (6x + 30) = 2x^2 + 16x + 30, & \text{при } x \ge -5 \\2x^2 + 10x - (6x + 30) = 2x^2 + 4x - 30, & \text{при } x < -5\end{cases}$

1. На промежутке $x \ge -5$ график функции совпадает с параболой $y_1(x) = 2x^2 + 16x + 30$, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины этой параболы: $x_v = -\frac{16}{2 \cdot 2} = -4$. Так как $-4 \ge -5$, вершина принадлежит рассматриваемому промежутку. Ордината вершины: $y(-4) = 2(-4)^2 + 16(-4) + 30 = 32 - 64 + 30 = -2$. Это точка локального минимума.

2. На промежутке $x < -5$ график функции совпадает с параболой $y_2(x) = 2x^2 + 4x - 30$, ветви которой направлены вверх. Абсцисса ее вершины $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. Эта точка не принадлежит промежутку $x < -5$. Поскольку $x_v > -5$, на всем промежутке $x < -5$ функция $y_2(x)$ монотонно убывает.

В точке "склейки" $x=-5$ значение функции $y(-5) = 2(-5)^2 + 4(-5) - 30 = 50 - 20 - 30 = 0$.График функции $y(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, -4]$ от $+\infty$ до $-2$ и возрастает на промежутке $[-4, \infty)$ от $-2$ до $+\infty$. Глобальный минимум функции достигается в точке $x=-4$ и равен $-2$.

Анализируя пересечение графика $y(x)$ с прямой $y=b$, получаем:
- если $b < -2$, пересечений нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
- если $b = -2$, прямая касается графика в точке минимума, следовательно, уравнение имеет один корень.
- если $b > -2$, прямая пересекает график в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: если $b < -2$, корней нет; если $b = -2$, один корень; если $b > -2$, два корня.

б)

Рассмотрим уравнение $6x^2 + 18x + |12x + 36| = b$. Исследуем функцию $y(x) = 6x^2 + 18x + |12x + 36|$ и найдем число пересечений ее графика с прямой $y=b$.

Раскроем модуль, исходя из знака выражения $12x + 36$. $12x+36 \ge 0$ при $x \ge -3$.

Функция $y(x)$ задается piecewise:$y(x) = \begin{cases}6x^2 + 18x + (12x + 36) = 6x^2 + 30x + 36, & \text{при } x \ge -3 \\6x^2 + 18x - (12x + 36) = 6x^2 + 6x - 36, & \text{при } x < -3\end{cases}$

1. При $x \ge -3$ имеем параболу $y_1(x) = 6x^2 + 30x + 36$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{30}{2 \cdot 6} = -2.5$. Так как $-2.5 \ge -3$, вершина находится в этой области. Минимальное значение: $y(-2.5) = 6(-2.5)^2 + 30(-2.5) + 36 = 6(6.25) - 75 + 36 = 37.5 - 75 + 36 = -1.5$.

2. При $x < -3$ имеем параболу $y_2(x) = 6x^2 + 6x - 36$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{6}{2 \cdot 6} = -0.5$. Вершина не входит в область $x < -3$. На этом промежутке функция $y_2(x)$ убывает.

В точке $x=-3$ значение функции $y(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 36 = 54 - 18 - 36 = 0$.Функция $y(x)$ убывает на $(-\infty, -2.5]$ и возрастает на $[-2.5, \infty)$. Глобальный минимум равен $-1.5$ при $x=-2.5$.

Число корней уравнения $y(x)=b$:
- если $b < -1.5$, корней нет.
- если $b = -1.5$, один корень.
- если $b > -1.5$, два корня.

Ответ: если $b < -1.5$, корней нет; если $b = -1.5$, один корень; если $b > -1.5$, два корня.

в)

Рассмотрим уравнение $4x^2 + 12x + |8x + 24| = b$. Исследуем функцию $y(x) = 4x^2 + 12x + |8x + 24|$.

Раскроем модуль. $8x+24 \ge 0$ при $x \ge -3$.

Функция $y(x)$ задается следующим образом:$y(x) = \begin{cases}4x^2 + 12x + (8x + 24) = 4x^2 + 20x + 24, & \text{при } x \ge -3 \\4x^2 + 12x - (8x + 24) = 4x^2 + 4x - 24, & \text{при } x < -3\end{cases}$

1. При $x \ge -3$ имеем параболу $y_1(x) = 4x^2 + 20x + 24$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{20}{2 \cdot 4} = -2.5$. Так как $-2.5 \ge -3$, вершина принадлежит области. Минимальное значение: $y(-2.5) = 4(-2.5)^2 + 20(-2.5) + 24 = 4(6.25) - 50 + 24 = 25 - 50 + 24 = -1$.

2. При $x < -3$ имеем параболу $y_2(x) = 4x^2 + 4x - 24$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 4} = -0.5$. Вершина не принадлежит области $x < -3$. На этом промежутке функция $y_2(x)$ убывает.

В точке $x=-3$ значение $y(-3) = 4(-3)^2 + 4(-3) - 24 = 36 - 12 - 24 = 0$.Функция $y(x)$ убывает на $(-\infty, -2.5]$ до значения $-1$ и возрастает на $[-2.5, \infty)$. Глобальный минимум равен $-1$ при $x=-2.5$.

Число корней уравнения $y(x)=b$:
- если $b < -1$, корней нет.
- если $b = -1$, один корень.
- если $b > -1$, два корня.

Ответ: если $b < -1$, корней нет; если $b = -1$, один корень; если $b > -1$, два корня.

г)

Рассмотрим уравнение $4x^2 + 8x + |24x + 48| = b$. Исследуем функцию $y(x) = 4x^2 + 8x + |24x + 48|$.

Раскроем модуль. $24x+48 \ge 0$ при $x \ge -2$.

Функция $y(x)$ имеет вид:$y(x) = \begin{cases}4x^2 + 8x + (24x + 48) = 4x^2 + 32x + 48, & \text{при } x \ge -2 \\4x^2 + 8x - (24x + 48) = 4x^2 - 16x - 48, & \text{при } x < -2\end{cases}$

1. При $x \ge -2$ имеем параболу $y_1(x) = 4x^2 + 32x + 48$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{32}{2 \cdot 4} = -4$. Так как $-4 < -2$, вершина не принадлежит области. На промежутке $x \ge -2$ функция $y_1(x)$ монотонно возрастает.

2. При $x < -2$ имеем параболу $y_2(x) = 4x^2 - 16x - 48$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-16}{2 \cdot 4} = 2$. Так как $2 > -2$, вершина не принадлежит области. На промежутке $x < -2$ функция $y_2(x)$ монотонно убывает.

В точке "склейки" $x=-2$ функция непрерывна и достигает своего минимального значения: $y(-2) = 4(-2)^2 + 32(-2) + 48 = 16 - 64 + 48 = 0$.Таким образом, функция $y(x)$ убывает на $(-\infty, -2]$ и возрастает на $[-2, \infty)$. Глобальный минимум равен $0$ и достигается при $x=-2$.

Число корней уравнения $y(x)=b$:
- если $b < 0$, корней нет.
- если $b = 0$, один корень ($x=-2$).
- если $b > 0$, два корня.

Ответ: если $b < 0$, корней нет; если $b = 0$, один корень; если $b > 0$, два корня.