Номер 234, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 234, страница 429.

Условие.

234 $\begin{cases}9 \cdot 2^x \cdot 5^y - 5 \cdot 3^y + x = 3^x \cdot 5^y \\2^{x-2} \cdot 3^{y-x+1} \cdot 5^{1-y} = 1\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

234

Дана система показательных уравнений: $$ \begin{cases} 9 \cdot 2^x \cdot 5^y - 5 \cdot 3^{y+x} = 3^x \cdot 5^y \\ 2^{x-2} \cdot 3^{y-x+1} \cdot 5^{1-y} = 1 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Учитывая, что $9 = 3^2$ и $3^{y+x} = 3^y \cdot 3^x$, перепишем уравнение: $$3^2 \cdot 2^x \cdot 5^y - 5 \cdot 3^y \cdot 3^x = 3^x \cdot 5^y$$ Разделим обе части уравнения на выражение $3^x \cdot 5^y$. Так как показательные функции всегда положительны ($3^x > 0$ и $5^y > 0$), это преобразование является равносильным. $$\frac{9 \cdot 2^x \cdot 5^y}{3^x \cdot 5^y} - \frac{5 \cdot 3^y \cdot 3^x}{3^x \cdot 5^y} = \frac{3^x \cdot 5^y}{3^x \cdot 5^y}$$ После сокращения получаем: $$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^y = 1$$

Теперь преобразуем второе уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$: $$2^{x-2} \cdot 3^{y-x+1} \cdot 5^{1-y} = 1$$ $$\frac{2^x}{2^2} \cdot \frac{3^y \cdot 3^1}{3^x} \cdot \frac{5^1}{5^y} = 1$$ Сгруппируем множители: $$\frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{2^x}{3^x} \cdot \frac{3^y}{5^y} = 1$$ $$\frac{15}{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^y = 1$$

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $a = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ и $b = \left(\frac{3}{5}\right)^y$. Поскольку основания степеней положительны, то $a > 0$ и $b > 0$. После замены система уравнений принимает вид: $$ \begin{cases} 9a - 5b = 1 \\ \frac{15}{4} ab = 1 \end{cases} $$

Решим полученную алгебраическую систему. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $$5b = 9a - 1 \implies b = \frac{9a - 1}{5}$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$\frac{15}{4} a \left(\frac{9a - 1}{5}\right) = 1$$ Упростим уравнение: $$\frac{3}{4} a (9a - 1) = 1$$ $$27a^2 - 3a - 4 = 0$$ Получили квадратное уравнение для $a$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-4) = 9 + 432 = 441 = 21^2$$ Корни уравнения: $$a_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{3 + 21}{2 \cdot 27} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9}$$ $$a_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{3 - 21}{2 \cdot 27} = \frac{-18}{54} = -\frac{1}{3}$$ Условию $a > 0$ удовлетворяет только корень $a_1 = \frac{4}{9}$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$. Найдем $x$ из $a = \left(\frac{2}{3}\right)^x$: $$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{4}{9} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^2$$ Следовательно, $x=2$.

Найдем соответствующее значение $b$ при $a = 4/9$: $$b = \frac{9a - 1}{5} = \frac{9 \cdot (4/9) - 1}{5} = \frac{4 - 1}{5} = \frac{3}{5}$$ Найдем $y$ из $b = \left(\frac{3}{5}\right)^y$: $$\left(\frac{3}{5}\right)^y = \frac{3}{5} \implies \left(\frac{3}{5}\right)^y = \left(\frac{3}{5}\right)^1$$ Следовательно, $y=1$.

Решением системы является пара чисел $(2, 1)$. Выполним проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения.

Для первого уравнения: $9 \cdot 2^2 \cdot 5^1 - 5 \cdot 3^{1+2} = 3^2 \cdot 5^1$. Левая часть: $9 \cdot 4 \cdot 5 - 5 \cdot 27 = 180 - 135 = 45$. Правая часть: $9 \cdot 5 = 45$. Равенство $45 = 45$ верно.

Для второго уравнения: $2^{2-2} \cdot 3^{1-2+1} \cdot 5^{1-1} = 1$. Левая часть: $2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $(2, 1)$.