Номер 232, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 232, страница 429.

Условие.

232 $\begin{cases} |\sin y| \sin y = \frac{|\cos x|}{\cos x} \\ |\cos x - 1|^2 + |\sin y|^2 = 4. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Проанализируем данную систему уравнений:

$\begin{cases}\sin y |\sin y| = \frac{|\cos x|}{\cos x} \\|\cos x - 1|^2 + |\sin y|^2 = 4\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Оно определено при $\cos x \neq 0$. Выражение в правой части, $\frac{|\cos x|}{\cos x}$, равно $1$ при $\cos x > 0$ и $-1$ при $\cos x < 0$.

Выражение в левой части, $\sin y |\sin y|$, равно $\sin^2 y$ при $\sin y \ge 0$ и $-\sin^2 y$ при $\sin y < 0$. Так как правая часть не может быть равна нулю, то $\sin y \neq 0$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x > 0$

Первое уравнение принимает вид $\sin y |\sin y| = 1$. Это означает, что $\sin y > 0$ и $\sin^2 y = 1$, откуда следует $\sin y = 1$.

Подставим это значение во второе уравнение: $|\cos x - 1|^2 + |1|^2 = 4$.

Поскольку $|a|^2 = a^2$ для любого действительного числа $a$, уравнение можно переписать как $(\cos x - 1)^2 + 1 = 4$, или $(\cos x - 1)^2 = 3$.

Отсюда $\cos x - 1 = \sqrt{3}$ или $\cos x - 1 = -\sqrt{3}$. Получаем два возможных значения для $\cos x$: $\cos x = 1 + \sqrt{3}$ и $\cos x = 1 - \sqrt{3}$.

Первое значение $\cos x = 1 + \sqrt{3}$ больше $1$, поэтому оно невозможно. Второе значение $\cos x = 1 - \sqrt{3}$ является отрицательным, что противоречит условию данного случая ($\cos x > 0$).

Таким образом, в первом случае решений нет.

Случай 2: $\cos x < 0$

Первое уравнение принимает вид $\sin y |\sin y| = -1$. Это означает, что $\sin y < 0$ и $-\sin^2 y = -1$, что равносильно $\sin^2 y = 1$. Учитывая, что $\sin y < 0$, получаем $\sin y = -1$.

Подставим это значение во второе уравнение: $|\cos x - 1|^2 + |-1|^2 = 4$.

Упрощая, получаем $(\cos x - 1)^2 + 1 = 4$, или $(\cos x - 1)^2 = 3$.

Это снова приводит к двум возможным значениям для $\cos x$: $\cos x = 1 + \sqrt{3}$ (невозможно) и $\cos x = 1 - \sqrt{3}$.

Значение $\cos x = 1 - \sqrt{3}$ является отрицательным ($1 - \sqrt{3} \approx -0.732$), что соответствует условию данного случая ($\cos x < 0$).

Следовательно, решения системы должны удовлетворять следующим условиям:

$\cos x = 1 - \sqrt{3}$

$\sin y = -1$

Находим общие решения для $x$ и $y$.

Из $\sin y = -1$ следует $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos x = 1 - \sqrt{3}$ следует $x = \pm \arccos(1 - \sqrt{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(1 - \sqrt{3}) + 2\pi n, y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.