Номер 227, страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 227, страница 428.

Условие.

227 a) $ \begin{cases} 3x^2 - 2xy = 1 \\ 2 \log_3 (y + 2) = \log_3 (5x - 2); \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2y^2 - 3xy = 1 \\ 2 \log_2 (x + 1) = \log_2 (3y - 5). \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3^{x^2 - 2xy} = 1 \\ 2\log_3(y+2) = \log_3(5x-2) \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$ \begin{cases} y+2 > 0 \\ 5x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > -2 \\ x > \frac{2}{5} \end{cases} $$

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $3^{x^2 - 2xy} = 1$.

Поскольку $1 = 3^0$, мы можем приравнять показатели степени:

$x^2 - 2xy = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2y) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1) $x = 0$

2) $x - 2y = 0 \implies x = 2y$

Рассмотрим случай $x=0$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ ($x > \frac{2}{5}$), поэтому этот случай не дает решений.

Рассмотрим второй случай: $x = 2y$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:

$2\log_3(y+2) = \log_3(5x-2)$

$\log_3((y+2)^2) = \log_3(5x-2)$

Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания равны:

$(y+2)^2 = 5x-2$

Теперь подставим $x = 2y$ в полученное уравнение:

$(y+2)^2 = 5(2y)-2$

$y^2 + 4y + 4 = 10y - 2$

$y^2 - 6y + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$y_1 = \frac{-(-6) + 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2} = 3 + \sqrt{3}$

$y_2 = \frac{-(-6) - 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{2} = 3 - \sqrt{3}$

Найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x = 2y$:

Для $y_1 = 3 + \sqrt{3}$, $x_1 = 2(3 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3}$.

Для $y_2 = 3 - \sqrt{3}$, $x_2 = 2(3 - \sqrt{3}) = 6 - 2\sqrt{3}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные пары $(x, y)$ ОДЗ: $x > \frac{2}{5}$ и $y > -2$.

Пара $(6 + 2\sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})$: $x_1 = 6 + 2\sqrt{3} > \frac{2}{5}$ и $y_1 = 3 + \sqrt{3} > -2$. Решение подходит.

Пара $(6 - 2\sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})$: $x_2 = 6 - 2\sqrt{3} \approx 6 - 3.46 = 2.54 > \frac{2}{5}$ и $y_2 = 3 - \sqrt{3} \approx 3 - 1.73 = 1.27 > -2$. Решение подходит.

Ответ: $(6 + 2\sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}), (6 - 2\sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2^{y^2 - 3xy} = 1 \\ 2\log_2(x+1) = \log_2(3y-5) \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

$$ \begin{cases} x+1 > 0 \\ 3y-5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ y > \frac{5}{3} \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение системы: $2^{y^2 - 3xy} = 1$.

Так как $1 = 2^0$, приравниваем показатели степени:

$y^2 - 3xy = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 3x) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1) $y = 0$

2) $y - 3x = 0 \implies y = 3x$

Рассмотрим случай $y=0$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ ($y > \frac{5}{3}$), поэтому этот случай не дает решений.

Рассмотрим второй случай: $y = 3x$.

Преобразуем второе уравнение системы:

$2\log_2(x+1) = \log_2(3y-5)$

$\log_2((x+1)^2) = \log_2(3y-5)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x+1)^2 = 3y-5$

Подставим $y = 3x$ в это уравнение:

$(x+1)^2 = 3(3x) - 5$

$x^2 + 2x + 1 = 9x - 5$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

Найдем соответствующие значения $y$ из соотношения $y = 3x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 3 \cdot 6 = 18$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные пары $(x, y)$ ОДЗ: $x > -1$ и $y > \frac{5}{3}$.

Пара $(1, 3)$: $1 > -1$ и $3 > \frac{5}{3}$ (так как $3 = \frac{9}{3}$). Решение подходит.

Пара $(6, 18)$: $6 > -1$ и $18 > \frac{5}{3}$. Решение подходит.

Ответ: $(1, 3), (6, 18)$.