Номер 230, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 230, страница 429.

Условие.

230 $\begin{cases} |x+y| + \log_2^2(|x|-y+5) - 12 = 0 \\ (x+y)^2 - 5(x+y) \cdot \log_2(|x|-y+5) + 4\log_2^2(|x|-y+5) = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данной системы уравнений введем замену переменных. Исходная система:

$$ \begin{cases} |x+y| + \log_2^2(|x|-y+5) - 12 = 0 \\ (x+y)^2 - 5(x+y)\log_2(|x|-y+5) + 4\log_2^2(|x|-y+5) = 0 \end{cases} $$

Заметим, что $(x+y)^2 = |x+y|^2$. Сделаем замену:

Пусть $a = |x+y|$ и $b = \log_2(|x|-y+5)$.

По определению модуля $a \ge 0$. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, т.е. $|x|-y+5 > 0$.

С новыми переменными система уравнений принимает вид:

$$ \begin{cases} a + b^2 - 12 = 0 \\ a^2 - 5ab + 4b^2 = 0 \end{cases} $$

Второе уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $a$ и $b$. Разложим его левую часть на множители:

$a^2 - ab - 4ab + 4b^2 = 0$

$a(a-b) - 4b(a-b) = 0$

$(a-b)(a-4b) = 0$

Отсюда следует, что либо $a=b$, либо $a=4b$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a=b$

Подставим $a=b$ в первое уравнение $a + b^2 - 12 = 0$:

$b + b^2 - 12 = 0 \implies b^2 + b - 12 = 0$.

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $b_1 = 3$ и $b_2 = -4$.

Если $b = -4$, то $a = b = -4$. Это противоречит условию $a \ge 0$, поэтому данное решение для пары $(a,b)$ не подходит.

Если $b = 3$, то $a = b = 3$. Это решение удовлетворяет условию $a \ge 0$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$ для найденной пары $(a,b)=(3,3)$:

$$ \begin{cases} |x+y| = 3 \\ \log_2(|x|-y+5) = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем: $|x|-y+5 = 2^3 = 8$, откуда $|x|-y=3$, то есть $y = |x|-3$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$|x + (|x|-3)| = 3 \implies |x+|x|-3| = 3$.

Далее рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $x$.

1.1. Если $x \ge 0$, то $|x|=x$. Уравнение принимает вид $|x+x-3|=3$, то есть $|2x-3|=3$. Это уравнение эквивалентно двум: $2x-3=3$ или $2x-3=-3$. В первом случае $2x=6$, $x=3$. Тогда $y=x-3=3-3=0$. Получаем решение $(3,0)$. Во втором случае $2x=0$, $x=0$. Тогда $y=x-3=0-3=-3$. Получаем решение $(0,-3)$.

1.2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$. Уравнение принимает вид $|x+(-x)-3|=3$, то есть $|-3|=3$. Это верное равенство, которое выполняется для любого $x < 0$. Это означает, что все пары $(x,y)$, где $x<0$ и $y=|x|-3=-x-3$, являются решениями системы.

Объединяя результаты для $x \ge 0$ и $x < 0$, получаем, что решениями в первом случае являются точка $(3,0)$ и все точки на луче $y = -x - 3$ при $x \le 0$ (этот луч включает в себя точку $(0,-3)$).

Случай 2: $a=4b$

Подставим $a=4b$ в первое уравнение $a + b^2 - 12 = 0$:

$4b + b^2 - 12 = 0 \implies b^2 + 4b - 12 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $b_1 = 2$ и $b_2 = -6$.

Если $b = -6$, то $a = 4b = 4(-6) = -24$. Это решение не подходит, так как $a \ge 0$.

Если $b = 2$, то $a = 4b = 4(2) = 8$. Это решение подходит.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$ для пары $(a,b)=(8,2)$:

$$ \begin{cases} |x+y| = 8 \\ \log_2(|x|-y+5) = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения: $|x|-y+5 = 2^2 = 4$, откуда $|x|-y=-1$, то есть $y = |x|+1$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$|x + (|x|+1)| = 8 \implies |x+|x|+1| = 8$.

2.1. Если $x \ge 0$, то $|x|=x$. Уравнение принимает вид $|x+x+1|=8$, то есть $|2x+1|=8$. Так как $x \ge 0$, то $2x+1 > 0$, поэтому $2x+1=8$. Отсюда $2x=7$ и $x=3.5$. Тогда $y=|x|+1=3.5+1=4.5$. Получаем решение $(3.5, 4.5)$.

2.2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$. Уравнение принимает вид $|x+(-x)+1|=8$, то есть $|1|=8$. Это неверное равенство, поэтому в этом подслучае решений нет.

Проверим, что для всех найденных решений выполняется условие области определения логарифма $|x|-y+5>0$.

Для $(3,0)$: $|3|-0+5 = 8 > 0$.

Для $y=-x-3, x \le 0$: $|x|-(-x-3)+5 = -x+x+3+5 = 8 > 0$.

Для $(3.5, 4.5)$: $|3.5|-4.5+5 = 4 > 0$.

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3,0)$; $(3.5, 4.5)$; все пары чисел $(x,y)$, удовлетворяющие условию $y=-x-3$ при $x \le 0$.