Номер 237, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 237, страница 430.

Условие.

237 a) $ \begin{cases} \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{4} \\ \cos x \ge 0 \\ \cos x \sin y = \frac{\sqrt{6}}{4}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \cos^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2} \\ \sin x \cos y = \frac{3}{4}. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений и неравенств:

$ \begin{cases} \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{4} \\ \cos x \ge 0 \\ \cos x \sin y = \frac{\sqrt{6}}{4} \end{cases} $

Введем новые переменные: пусть $a = \cos x$ и $b = \sin y$.

Из условия $\cos x \ge 0$ следует, что $a \ge 0$.

Третье уравнение системы принимает вид $ab = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выразим $\sin^2 x$ и $\cos^2 y$ через $a$ и $b$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - a^2$

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - b^2$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы $\sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{4}$:

$(1 - a^2) + (1 - b^2) = \frac{3}{4}$

$2 - (a^2 + b^2) = \frac{3}{4}$

$a^2 + b^2 = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

Таким образом, мы получили систему алгебраических уравнений относительно $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = \frac{5}{4} \\ ab = \frac{\sqrt{6}}{4} \end{cases} $

Решим ее. Из второго уравнения выразим $b = \frac{\sqrt{6}}{4a}$ (поскольку $ab \neq 0$, то $a \neq 0$) и подставим в первое:

$a^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{4a}\right)^2 = \frac{5}{4}$

$a^2 + \frac{6}{16a^2} = \frac{5}{4}$

Умножим обе части уравнения на $16a^2$:

$16a^4 + 6 = 20a^2$

$16a^4 - 20a^2 + 6 = 0$

Разделим на 2:

$8a^4 - 10a^2 + 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = a^2$, где $z > 0$:

$8z^2 - 10z + 3 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$z_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{16}$

$z_1 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$z_2 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительные, поэтому оба подходят. Вернемся к переменной $a$.

Случай 1: $a^2 = \frac{3}{4}$.

Так как $a = \cos x \ge 0$, то $a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $b = \frac{\sqrt{6}}{4a} = \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, мы получили систему тригонометрических уравнений:

$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $a^2 = \frac{1}{2}$.

Так как $a = \cos x \ge 0$, то $a = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $b = \frac{\sqrt{6}}{4a} = \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы получили другую систему тригонометрических уравнений:

$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n )$; $( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \cos^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2} \\ \sin x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $

Введем новые переменные: пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$.

Тогда второе уравнение системы примет вид: $uv = \frac{3}{4}$.

Преобразуем первое уравнение. Используя основное тригонометрическое тождество, выразим члены первого уравнения через $u$ и $v$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u^2$

$\sin^2 y = 1 - \cos^2 y = 1 - v^2$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$(1 - u^2) + (1 - v^2) = \frac{1}{2}$

$2 - (u^2 + v^2) = \frac{1}{2}$

$u^2 + v^2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Таким образом, мы получили систему алгебраических уравнений относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = \frac{3}{2} \\ uv = \frac{3}{4} \end{cases} $

Решим эту систему. Рассмотрим выражение $(u-v)^2$:

$(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2 = (u^2+v^2) - 2uv$

Подставим известные значения:

$(u-v)^2 = \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$

Из этого следует, что $u-v=0$, то есть $u=v$.

Подставим $u=v$ во второе уравнение системы $uv = \frac{3}{4}$:

$u \cdot u = \frac{3}{4} \implies u^2 = \frac{3}{4}$

Отсюда $u = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $v=u$, получаем два случая:

Случай 1: $u = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $v = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Возвращаясь к исходным переменным:

$ \begin{cases} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $u = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $v = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Возвращаясь к исходным переменным:

$ \begin{cases} \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решениями этих уравнений являются:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $( (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n )$; $( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.