Номер 242, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 242, страница 430.

Условие.

242 Для каждого значения параметра c решите уравнение:

а) $\sqrt{\frac{x}{4} + 2} = c + \sqrt{\frac{x}{4} - 3}$;

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = c - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$;

в) $\sin\left(c\sqrt{x} - 1 + \frac{\pi}{6}\right) = 0.5$;

г) $(2^{-x} + 4 + 3c)(5 - c - 2^{-x}) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{4}+2} = c + \sqrt{\frac{x}{4}-3}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\frac{x}{4}+2 \ge 0 \implies \frac{x}{4} \ge -2 \implies x \ge -8$
$\frac{x}{4}-3 \ge 0 \implies \frac{x}{4} \ge 3 \implies x \ge 12$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 12$.

2. Преобразуем уравнение: $\sqrt{\frac{x}{4}+2} - \sqrt{\frac{x}{4}-3} = c$.
Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = \sqrt{\frac{x}{4}+2} - \sqrt{\frac{x}{4}-3}$.
Так как для $x \ge 12$ выполняется $\frac{x}{4}+2 > \frac{x}{4}-3 \ge 0$, то $f(x) > 0$. Следовательно, для существования решений необходимо, чтобы $c>0$.

3. Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Ее производная: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{4}+2}} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{4}-3}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}+2}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}-3}} \right)$.
Поскольку $\sqrt{\frac{x}{4}+2} > \sqrt{\frac{x}{4}-3}$, то $\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}+2}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{4}-3}}$, значит $f'(x) < 0$.
Функция $f(x)$ строго убывает на всей своей области определения $[12, +\infty)$.

4. Найдем множество значений функции $f(x)$.
Максимальное значение достигается при $x=12$: $f(12) = \sqrt{\frac{12}{4}+2} - \sqrt{\frac{12}{4}-3} = \sqrt{5} - \sqrt{0} = \sqrt{5}$.
Найдем предел при $x \to +\infty$:
$\lim_{x\to\infty} \left( \sqrt{\frac{x}{4}+2} - \sqrt{\frac{x}{4}-3} \right) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\frac{x}{4}+2) - (\frac{x}{4}-3)}{\sqrt{\frac{x}{4}+2} + \sqrt{\frac{x}{4}-3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{5}{\sqrt{\frac{x}{4}+2} + \sqrt{\frac{x}{4}-3}} = 0$.
Таким образом, множество значений $f(x)$ есть интервал $(0, \sqrt{5}]$.
Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $c$ принадлежит этому множеству, то есть $0 < c \le \sqrt{5}$. При этом, так как функция строго монотонна, решение будет единственным.

5. Решим уравнение относительно $x$.
Перенесем один из корней и возведем в квадрат (это возможно, т.к. $c>0$):
$\sqrt{\frac{x}{4}+2} = c + \sqrt{\frac{x}{4}-3}$
$\frac{x}{4}+2 = c^2 + 2c\sqrt{\frac{x}{4}-3} + \frac{x}{4}-3$
$5-c^2 = 2c\sqrt{\frac{x}{4}-3}$
Так как правая часть неотрицательна, должно выполняться $5-c^2 \ge 0$, что с учетом $c>0$ дает $0 < c \le \sqrt{5}$. Это совпадает с найденным нами условием существования корней.
Возведем в квадрат еще раз:
$(5-c^2)^2 = 4c^2(\frac{x}{4}-3)$
$25 - 10c^2 + c^4 = c^2x - 12c^2$
$c^2x = c^4 + 2c^2 + 25$
$x = \frac{c^4 + 2c^2 + 25}{c^2} = c^2 + 2 + \frac{25}{c^2}$.

Ответ:
если $c \in (0, \sqrt{5}]$, то $x = c^2 + 2 + \frac{25}{c^2}$;
если $c \notin (0, \sqrt{5}]$, то корней нет.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = c - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$.

1. Упростим подкоренные выражения, используя формулы полного квадрата:
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
Уравнение принимает вид: $\sqrt{(x-2)^2} = c - \sqrt{(x+3)^2}$.

2. Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:
$|x-2| = c - |x+3|$
$|x-2| + |x+3| = c$.

3. Рассмотрим функцию в левой части $g(x) = |x-2| + |x+3|$. Для нахождения ее множества значений, раскроем модули на трех промежутках, определяемых точками $x=-3$ и $x=2$.
- При $x < -3$: $g(x) = -(x-2) - (x+3) = -x+2-x-3 = -2x-1$.
- При $-3 \le x \le 2$: $g(x) = -(x-2) + (x+3) = -x+2+x+3 = 5$.
- При $x > 2$: $g(x) = (x-2) + (x+3) = 2x+1$.
Минимальное значение функции $g(x)$ равно 5. При $x \to \pm\infty$, $g(x) \to +\infty$.
Следовательно, множество значений функции $g(x)$ есть $[5, +\infty)$.

4. Уравнение $g(x)=c$ имеет решение только если $c \ge 5$.
- Если $c < 5$, решений нет.
- Если $c = 5$, уравнение $|x-2|+|x+3|=5$ выполняется для всех $x$ из отрезка $[-3, 2]$.
- Если $c > 5$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
1) Из промежутка $x < -3$: $-2x-1=c \implies -2x = c+1 \implies x = -\frac{c+1}{2}$. Проверим условие $x<-3$: $-\frac{c+1}{2} < -3 \implies c+1 > 6 \implies c > 5$. Условие выполнено.
2) Из промежутка $x > 2$: $2x+1=c \implies 2x = c-1 \implies x = \frac{c-1}{2}$. Проверим условие $x>2$: $\frac{c-1}{2} > 2 \implies c-1 > 4 \implies c > 5$. Условие выполнено.

Ответ:
если $c < 5$, то корней нет;
если $c = 5$, то $x \in [-3, 2]$;
если $c > 5$, то $x_1 = -\frac{c+1}{2}$, $x_2 = \frac{c-1}{2}$.

в)

Исходное уравнение: $\sin(c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6}) = 0,5$.

1. ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Решим тригонометрическое уравнение $\sin(A) = 0,5$. Это дает две серии решений:
$A = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$A = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

3. Подставим $A = c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6}$ и рассмотрим различные случаи для параметра $c$.

Случай 1: $c = 0$.
Уравнение принимает вид $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, то есть $0,5=0,5$. Это верное равенство, не зависящее от $x$. Следовательно, решением является любое $x$ из ОДЗ.
Решение: $x \in [1, +\infty)$.

Случай 2: $c \ne 0$.
Из первой серии решений для $A$:
$c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies c\sqrt{x-1} = 2\pi n$.
Из второй серии решений для $A$:
$c\sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies c\sqrt{x-1} = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi(3n+1)}{3}$.
В обоих случаях, так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, знак выражения в правой части должен совпадать со знаком $c$, либо выражение должно быть равно нулю.

Подслучай 2а: $c > 0$.
Из $c\sqrt{x-1} = 2\pi n$ следует, что $n \ge 0$. Получаем $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi n}{c}$.
Из $c\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(3n+1)}{3}$ следует, что $3n+1 \ge 0 \implies n \ge -1/3$, то есть $n \ge 0$. Получаем $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(3n+1)}{3c}$.
Возводя в квадрат, получаем две серии решений для $x$ при $n \in \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, ...\}$:
$x = 1 + \left(\frac{2\pi n}{c}\right)^2$ и $x = 1 + \left(\frac{2\pi(3n+1)}{3c}\right)^2$.

Подслучай 2б: $c < 0$.
Из $c\sqrt{x-1} = 2\pi n$ следует, что $n \le 0$. Обозначим $k = -n$, где $k \ge 0$. Тогда $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(-k)}{c} = \frac{-2\pi k}{c}$.
Из $c\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(3n+1)}{3}$ следует, что $3n+1 \le 0 \implies n \le -1$. Обозначим $k = -n-1$, где $k \ge 0$. Тогда $3n+1 = 3(-k-1)+1 = -3k-2$. Получаем $\sqrt{x-1} = \frac{2\pi(-3k-2)}{3c}$.
Возводя в квадрат, получаем две серии решений для $x$ при $k \in \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, ...\}$:
$x = 1 + \left(\frac{-2\pi k}{c}\right)^2 = 1 + \frac{4\pi^2 k^2}{c^2}$ и $x = 1 + \left(\frac{2\pi(-3k-2)}{3c}\right)^2 = 1 + \frac{4\pi^2(3k+2)^2}{9c^2}$.

Ответ:
если $c=0$, то $x \in [1, +\infty)$;
если $c>0$, то $x = 1 + \frac{4\pi^2 n^2}{c^2}$ или $x = 1 + \frac{4\pi^2 (3n+1)^2}{9c^2}$, где $n \in \mathbb{N}_0$;
если $c<0$, то $x = 1 + \frac{4\pi^2 k^2}{c^2}$ или $x = 1 + \frac{4\pi^2 (3k+2)^2}{9c^2}$, где $k \in \mathbb{N}_0$.

г)

Исходное уравнение: $(2^{-x} + 4 + 3c)(5 - c - 2^{-x}) = 0$.

1. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $2^{-x} + 4 + 3c = 0$
2) $5 - c - 2^{-x} = 0$

2. Сделаем замену $t = 2^{-x}$. Так как показательная функция $y=a^u$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Получаем два уравнения для $t$:
1) $t + 4 + 3c = 0 \implies t_1 = -4 - 3c$
2) $5 - c - t = 0 \implies t_2 = 5 - c$

3. Для существования решения $x$ необходимо, чтобы хотя бы одно из значений $t_1, t_2$ было положительным.
- Условие $t_1 > 0$: $-4 - 3c > 0 \implies -3c > 4 \implies c < -4/3$.
- Условие $t_2 > 0$: $5 - c > 0 \implies c < 5$.

4. Проанализируем решения в зависимости от значения параметра $c$.
- Если $c \ge 5$: Условие $c < -4/3$ не выполнено, $t_1 \le -4-3(5)=-19 < 0$.
Условие $c < 5$ не выполнено, $t_2 \le 0$.
Положительных корней для $t$ нет, следовательно, решений для $x$ нет. - Если $-4/3 \le c < 5$: Условие $c < -4/3$ не выполнено, $t_1 \le 0$.
Условие $c < 5$ выполнено, $t_2 > 0$.
Есть один положительный корень $t = 5-c$. Тогда $2^{-x} = 5-c$, откуда $x = -\log_2(5-c)$. - Если $c < -4/3$: Условие $c < -4/3$ выполнено, $t_1 > 0$.
Условие $c < 5$ также выполнено, $t_2 > 0$.
Имеем два положительных корня для $t$: $t_1 = -4-3c$ и $t_2 = 5-c$.
Это дает два решения для $x$: $x_1 = -\log_2(-4-3c)$ и $x_2 = -\log_2(5-c)$.
Проверим, могут ли эти решения совпасть: $t_1=t_2 \implies -4-3c = 5-c \implies -9 = 2c \implies c = -4.5$.
При $c=-4.5$ (что удовлетворяет условию $c < -4/3$), корни совпадают и имеется одно решение: $t=9.5$, $x = -\log_2(9.5)$.

Ответ:
если $c \ge 5$, то корней нет;
если $c \in [-4/3, 5)$, то $x = -\log_2(5-c)$;
если $c < -4/3$, то $x_1 = -\log_2(-4-3c)$, $x_2 = -\log_2(5-c)$ (при $c=-4.5$ эти корни совпадают).