Номер 249, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 249, страница 431.

Условие.

249 Для каждого значения параметра a решите уравнение

$\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x + \sin 3x) + \cos x - \cos 3x + 2a^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Преобразуем данное уравнение. Заметим, что выражение $ \cos x - \cos 3x $ можно упростить, используя формулу разности косинусов:

$ \cos x - \cos 3x = -2 \sin \frac{x+3x}{2} \sin \frac{x-3x}{2} = -2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin x \sin 2x $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x + \sin 3x) + 2 \sin x \sin 2x + 2a^2 = 0 $.

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Обратим внимание на члены $ \sin^2 x, \sin^2 2x $ и $ 2 \sin x \sin 2x $.

$ (\sin^2 x + 2 \sin x \sin 2x + \sin^2 2x) + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x + \sin 3x) + 2a^2 = 0 $.

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:

$ (\sin x + \sin 2x)^2 + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x) - 2a\sin 3x + 2a^2 = 0 $.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить квадраты относительно параметра $a$. Представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$.

$ [(\sin x + \sin 2x)^2 - 2a(\sin x + \sin 2x) + a^2] + [\sin^2 3x - 2a\sin 3x + a^2] = 0 $.

Это выражение является суммой двух полных квадратов:

$ (\sin x + \sin 2x - a)^2 + (\sin 3x - a)^2 = 0 $.

Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} \sin x + \sin 2x - a = 0 \\ \sin 3x - a = 0 \end{cases} $

Из этой системы следует, что для существования решения необходимо, чтобы выполнялось равенство:

$ \sin x + \sin 2x = \sin 3x $.

Решим это тригонометрическое уравнение:

$ \sin 3x - \sin x - \sin 2x = 0 $.

Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $ к первым двум членам:

$ 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} - \sin 2x = 0 $

$ 2\sin x \cos 2x - \sin 2x = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos 2x - 2 \sin x \cos x = 0 $

$ 2\sin x (\cos 2x - \cos x) = 0 $.

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin x = 0 $, откуда $ x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 2x - \cos x = 0 $, или $ \cos 2x = \cos x $. Это уравнение равносильно совокупности:

$ \begin{cases} 2x = x + 2n\pi \\ 2x = -x + 2n\pi \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2n\pi \\ 3x = 2n\pi \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2n\pi}{3}, n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Решения $ x = 2n\pi $ являются частным случаем решений $ x = k\pi $ (при четных $k$).

Итак, множество всех значений $x$, при которых может существовать решение, задается совокупностью $ x = k\pi $ и $ x = \frac{2n\pi}{3} $, где $k, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем, каким должно быть значение параметра $a$. Из системы уравнений мы имеем $ a = \sin 3x $. Подставим найденные значения $x$ в это выражение.

Если $ x = k\pi $, то $ a = \sin(3k\pi) = 0 $.

Если $ x = \frac{2n\pi}{3} $, то $ a = \sin(3 \cdot \frac{2n\pi}{3}) = \sin(2n\pi) = 0 $.

В обоих случаях мы получаем, что $ a = 0 $. Это означает, что исходное уравнение может иметь решения только при $ a = 0 $. Если $ a \neq 0 $, то система уравнений, а следовательно, и исходное уравнение, решений не имеют.

Таким образом, получаем окончательный результат.

Ответ:

Если $ a = 0 $, то решениями уравнения являются $ x = k\pi $, $ k \in \mathbb{Z} $, и $ x = \frac{2n\pi}{3} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Если $ a \neq 0 $, то уравнение не имеет решений.