Номер 250, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 250, страница 431.

Условие.

250 При каких значениях параметра $a \ge 1$ уравнение $\sin \left(\frac{4}{13} x\right) \operatorname{tg} x=0$ имеет ровно 6 различных корней на отрезке $[2a\pi; (a^2 + 1)\pi]$? Укажите эти корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение $\sin\left(\frac{4}{13}x\right) \text{tg}\,x = 0$ можно разбить на совокупность двух уравнений при условии, что тангенс определён, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для всех целых $k$.

1. Нахождение серий решений

Уравнение распадается на два случая:

а) $\text{tg}\,x = 0$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = m\pi$, где $m \in \mathbb{Z}$. Все эти решения удовлетворяют области определения тангенса.

б) $\sin\left(\frac{4}{13}x\right) = 0$.
Решения этого уравнения получаем, когда аргумент синуса равен $n\pi$:
$\frac{4}{13}x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{13n\pi}{4}$.
Теперь необходимо проверить условие $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$:
$\frac{13n\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{13n}{4} \neq \frac{1+2k}{2} \implies 13n \neq 2(1+2k)$.
Правая часть этого неравенства — чётное число, которое не делится на 4. Левая часть $13n$ будет таким числом, если $n$ является чётным числом, не кратным 4 (например, $n = \pm 2, \pm 6, \pm 10, \dots$). Если же $n$ — нечётное число, то $13n$ нечётно, и неравенство всегда выполняется. Если $n$ кратно 4, то $13n$ кратно 4, и неравенство также выполняется. Таким образом, чтобы избежать исключения корней, мы должны рассматривать только те значения $x = \frac{13n\pi}{4}$, для которых $n$ не является чётным, не кратным 4. Проще всего рассмотреть отдельно случаи с чётными и нечётными $n$. Для решения задачи достаточно заметить, что если $n$ — нечётное, то корень всегда существует.

Проверим, могут ли корни этих двух серий совпадать:
$m\pi = \frac{13n\pi}{4} \implies 4m = 13n$.
Так как 4 и 13 — взаимно простые числа, это равенство возможно только если $m$ кратно 13, а $n$ кратно 4. Если мы рассматриваем серию $x = \frac{13n\pi}{4}$ только для нечётных $n$, то пересечений с серией $x = m\pi$ нет.

Итак, мы ищем на отрезке $[2a\pi; (a^2 + 1)\pi]$ корни двух непересекающихся серий:
1. $x_m = m\pi, m \in \mathbb{Z}$
2. $x_n = \frac{13n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ и $n$ — нечётное.

2. Поиск параметра $a$

Найдём количество корней каждого типа на заданном отрезке.
а) Для корней $x_m = m\pi$:
$2a\pi \leq m\pi \leq (a^2 + 1)\pi \implies 2a \leq m \leq a^2 + 1$.
б) Для корней $x_n = \frac{13n\pi}{4}$ (с нечётным $n$):
$2a\pi \leq \frac{13n\pi}{4} \leq (a^2 + 1)\pi \implies \frac{8a}{13} \leq n \leq \frac{4(a^2 + 1)}{13}$.

Нам нужно, чтобы общее число корней было равно 6. Проанализируем ситуацию при целочисленных значениях $a \geq 1$.

• При $a=1$: отрезок $[2\pi, 2\pi]$. Есть один корень $x=2\pi$ ($m=2$). Всего 1 корень.
• При $a=2$: отрезок $[4\pi, 5\pi]$.
  Для $x_m$: $4 \leq m \leq 5$, то есть $m=4, 5$. Два корня.
  Для $x_n$: $\frac{16}{13} \leq n \leq \frac{20}{13} \implies 1,23... \leq n \leq 1,53...$. Нечётных целых $n$ в этом интервале нет. Ноль корней.
  Всего $2+0=2$ корня.
• При $a=3$: отрезок $[6\pi, 10\pi]$.
  Для $x_m$: $6 \leq m \leq 10$, то есть $m=6, 7, 8, 9, 10$. Пять корней.
  Для $x_n$: $\frac{8 \cdot 3}{13} \leq n \leq \frac{4(3^2+1)}{13} \implies \frac{24}{13} \leq n \leq \frac{40}{13} \implies 1,84... \leq n \leq 3,07...$.
  Единственное нечётное целое $n$ в этом интервале — это $n=3$. Один корень.
  Всего $5+1=6$ корней.

Таким образом, значение $a=3$ удовлетворяет условию задачи.

Можно показать, что это решение единственное. Количество корней является неубывающей функцией от $a$. При $a>3$, например $a=4$, отрезок $[8\pi, 17\pi]$, и уже корней вида $x_m=m\pi$ будет $17-8+1=10$, что больше 6. При $a<3$ общее число корней, как показывают расчёты, меньше 6.

Ответ: Уравнение имеет ровно 6 различных корней на указанном отрезке при $a=3$.

Укажите эти корни

При $a=3$ отрезок для поиска корней: $[6\pi, 10\pi]$.
1. Корни вида $x_m = m\pi$:
$m$ принимает целые значения от 6 до 10.
Корни: $6\pi, 7\pi, 8\pi, 9\pi, 10\pi$.
2. Корни вида $x_n = \frac{13n\pi}{4}$ (где $n$ нечётное):
Как было найдено, единственное подходящее значение $n=3$.
Корень: $x = \frac{13 \cdot 3 \pi}{4} = \frac{39\pi}{4}$.
Проверим, что корень $x = \frac{39\pi}{4} = 9,75\pi$ лежит в отрезке $[6\pi, 10\pi]$, что верно.

Ответ: Корни уравнения: $6\pi, 7\pi, 8\pi, 9\pi, 10\pi, \frac{39\pi}{4}$.