Номер 257, страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 257, страница 432.

Условие.

257 Решите предыдущую задачу, если известно, что цены вина за литр различны, но неизвестны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Данная задача является уточнением к предыдущей задаче (№256), условия которой следующие: в погребе имеется 15 бутылок вина одного сорта и 10 бутылок другого. Из них случайно выбирают 6 бутылок. Новое условие, что «цены вина за литр различны, но неизвестны», не меняет постановку и решение задачи. Это связано с тем, что выбор бутылок является случайным и не зависит от их цены. Вероятности событий определяются количеством возможных комбинаций выбора, а не стоимостными характеристиками. Тот факт, что цены различны, лишь подтверждает, что мы имеем дело с двумя разными категориями объектов (сортами вина). Поскольку цены неизвестны, их нельзя использовать в расчетах. Таким образом, задача решается с помощью классического определения вероятности и формул комбинаторики.

Обозначим исходные данные:

• $N_1 = 15$ – количество бутылок вина первого сорта.
• $N_2 = 10$ – количество бутылок вина второго сорта.
• $N = N_1 + N_2 = 25$ – общее количество бутылок.
• $k = 6$ – количество бутылок, которые нужно выбрать.

Общее число исходов – это количество способов выбрать 6 бутылок из 25 имеющихся. Оно равно числу сочетаний из 25 по 6: $C_{25}^6 = \frac{25!}{6!(25-6)!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 177100$. Это общее число всех возможных элементарных исходов.

а) поровну бутылок того и другого сорта
Для того чтобы бутылок было поровну, необходимо выбрать 3 бутылки первого сорта и 3 бутылки второго. Число способов выбрать 3 бутылки из 15 бутылок первого сорта: $C_{15}^3 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455$. Число способов выбрать 3 бутылки из 10 бутылок второго сорта: $C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$. Общее число благоприятных исходов для этого события (согласно правилу произведения в комбинаторике): $m_a = C_{15}^3 \cdot C_{10}^3 = 455 \cdot 120 = 54600$. Вероятность данного события: $P(a) = \frac{m_a}{C_{25}^6} = \frac{54600}{177100} = \frac{546}{1771} = \frac{78}{253}$.
Ответ: $\frac{78}{253}$.

б) бутылок первого сорта будет вдвое больше, чем второго
Пусть $k_1$ – количество выбранных бутылок первого сорта, а $k_2$ – второго. По условию, $k_1 + k_2 = 6$ и $k_1 = 2k_2$. Решая эту систему уравнений, получаем $2k_2 + k_2 = 6 \Rightarrow 3k_2 = 6 \Rightarrow k_2=2$, и тогда $k_1=4$. Следовательно, нужно выбрать 4 бутылки первого сорта и 2 бутылки второго. Число способов выбрать 4 бутылки из 15: $C_{15}^4 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365$. Число способов выбрать 2 бутылки из 10: $C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$. Общее число благоприятных исходов: $m_b = C_{15}^4 \cdot C_{10}^2 = 1365 \cdot 45 = 61425$. Вероятность данного события: $P(b) = \frac{m_b}{C_{25}^6} = \frac{61425}{177100} = \frac{2457}{7084} = \frac{351}{1012}$.
Ответ: $\frac{351}{1012}$.

в) по крайней мере одна бутылка каждого сорта
Это событие является противоположным событию «все 6 выбранных бутылок одного сорта». Проще найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы. Противоположное событие наступает в двух случаях: 1. Все 6 бутылок — первого сорта. Число способов: $C_{15}^6 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5005$. 2. Все 6 бутылок — второго сорта. Число способов: $C_{10}^6 = C_{10}^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$. Общее число исходов, благоприятствующих противоположному событию: $m_{\bar{c}} = C_{15}^6 + C_{10}^6 = 5005 + 210 = 5215$. Вероятность противоположного события: $P(\bar{c}) = \frac{m_{\bar{c}}}{C_{25}^6} = \frac{5215}{177100} = \frac{1043}{35420} = \frac{149}{5060}$. Искомая вероятность события «по крайней мере одна бутылка каждого сорта» равна: $P(c) = 1 - P(\bar{c}) = 1 - \frac{149}{5060} = \frac{5060 - 149}{5060} = \frac{4911}{5060}$.
Ответ: $\frac{4911}{5060}$.