Номер 264, страница 433 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 264, страница 433.

Условие.

264 a) В озеро впадают две реки. На первой реке, в 35 км от устья, расположен пункт А. На второй реке, в 60 км от устья, расположен пункт С. Расстояние между устьями рек 15 км. Моторная лодка прошла путь от А до С за 10 ч 25 мин, а обратно за 8 ч 45 мин. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения во второй реке в 1,5 раза больше скорости течения в первой реке?

б) Из порта вышли два корабля. Они двигаются с постоянной скоростью, причём первый в 2 раза быстрее второго. Через некоторое время от второго корабля отошёл быстроходный катер, догнал первый корабль и возвратился обратно, затратив на путь в оба конца 5 ч. Затем он снова догнал первый корабль и возвратился, затратив всего 9 ч. Сколько времени догонял катер первый корабль в свой первый рейс?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Обозначим искомые величины:

• $v_л$ – собственная скорость лодки (в стоячей воде), км/ч.
• $v_1$ – скорость течения в первой реке, км/ч.
• $v_2$ – скорость течения во второй реке, км/ч.

По условию задачи, скорость течения во второй реке в 1,5 раза больше скорости течения в первой: $v_2 = 1.5 v_1$.

Рассмотрим путь лодки из пункта А в пункт С. Он состоит из трех участков:

1. 35 км по течению первой реки. Скорость лодки: $v_л + v_1$. Время: $t_{A \to у1} = \frac{35}{v_л + v_1}$.
2. 15 км по озеру (течения нет). Скорость лодки: $v_л$. Время: $t_{озеро} = \frac{15}{v_л}$.
3. 60 км против течения второй реки. Скорость лодки: $v_л - v_2 = v_л - 1.5 v_1$. Время: $t_{у2 \to C} = \frac{60}{v_л - 1.5 v_1}$.

Общее время в пути из А в С составляет 10 ч 25 мин. Переведем это время в часы: $t_{АС} = 10 \text{ ч } 25 \text{ мин} = 10 + \frac{25}{60} = 10 + \frac{5}{12} = \frac{125}{12}$ часа.

Составим первое уравнение: $$ \frac{35}{v_л + v_1} + \frac{15}{v_л} + \frac{60}{v_л - 1.5 v_1} = \frac{125}{12} \quad (1) $$

Теперь рассмотрим обратный путь из С в А. Он также состоит из трех участков:

1. 60 км по течению второй реки. Скорость лодки: $v_л + v_2 = v_л + 1.5 v_1$. Время: $t_{C \to у2} = \frac{60}{v_л + 1.5 v_1}$.
2. 15 км по озеру. Время: $t_{озеро} = \frac{15}{v_л}$.
3. 35 км против течения первой реки. Скорость лодки: $v_л - v_1$. Время: $t_{у1 \to A} = \frac{35}{v_л - v_1}$.

Общее время в пути из С в А составляет 8 ч 45 мин. Переведем это время в часы: $t_{СА} = 8 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 8 + \frac{45}{60} = 8 + \frac{3}{4} = \frac{35}{4}$ часа.

Составим второе уравнение: $$ \frac{60}{v_л + 1.5 v_1} + \frac{15}{v_л} + \frac{35}{v_л - v_1} = \frac{35}{4} \quad (2) $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Преобразуем ее. Вычтем из уравнения (1) уравнение (2). Время движения по озеру одинаково и сократится. $$ \left(\frac{35}{v_л + v_1} + \frac{60}{v_л - 1.5 v_1}\right) - \left(\frac{60}{v_л + 1.5 v_1} + \frac{35}{v_л - v_1}\right) = \frac{125}{12} - \frac{35}{4} $$ Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{35}{4} = \frac{105}{12}$. $$ \frac{125}{12} - \frac{105}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} $$ Сгруппируем слагаемые в левой части: $$ \left(\frac{35}{v_л + v_1} - \frac{35}{v_л - v_1}\right) + \left(\frac{60}{v_л - 1.5 v_1} - \frac{60}{v_л + 1.5 v_1}\right) = \frac{5}{3} $$ Приведем к общему знаменателю выражения в скобках: $$ 35 \frac{(v_л - v_1) - (v_л + v_1)}{(v_л + v_1)(v_л - v_1)} + 60 \frac{(v_л + 1.5 v_1) - (v_л - 1.5 v_1)}{(v_л - 1.5 v_1)(v_л + 1.5 v_1)} = \frac{5}{3} $$ $$ 35 \frac{-2v_1}{v_л^2 - v_1^2} + 60 \frac{3v_1}{v_л^2 - (1.5 v_1)^2} = \frac{5}{3} $$ $$ \frac{-70v_1}{v_л^2 - v_1^2} + \frac{180v_1}{v_л^2 - 2.25v_1^2} = \frac{5}{3} $$ Вынесем $v_1$ за скобки (так как $v_1 \ne 0$): $$ v_1 \left( \frac{180}{v_л^2 - 2.25v_1^2} - \frac{70}{v_л^2 - v_1^2} \right) = \frac{5}{3} $$

Решение этой системы уравнений в общем виде довольно громоздко. Однако в задачах такого типа скорости часто являются целыми числами. Попробуем предположить, что скорость течения $v_1$ является небольшим целым числом, например $v_1=2$ км/ч. Подставим это значение в полученное уравнение: $$ 2 \left( \frac{180}{v_л^2 - 2.25 \cdot 2^2} - \frac{70}{v_л^2 - 2^2} \right) = \frac{5}{3} $$ $$ \frac{180}{v_л^2 - 9} - \frac{70}{v_л^2 - 4} = \frac{5}{6} $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{180(v_л^2 - 4) - 70(v_л^2 - 9)}{(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4)} = \frac{5}{6} $$ $$ \frac{180v_л^2 - 720 - 70v_л^2 + 630}{(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4)} = \frac{5}{6} $$ $$ \frac{110v_л^2 - 90}{(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4)} = \frac{5}{6} $$ $$ 6(110v_л^2 - 90) = 5(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4) $$ $$ 660v_л^2 - 540 = 5(v_л^4 - 13v_л^2 + 36) $$ $$ 660v_л^2 - 540 = 5v_л^4 - 65v_л^2 + 180 $$ $$ 5v_л^4 - 725v_л^2 + 720 = 0 $$ Разделим уравнение на 5: $$ v_л^4 - 145v_л^2 + 144 = 0 $$ Сделаем замену $z = v_л^2$. Получим квадратное уравнение: $$ z^2 - 145z + 144 = 0 $$ По теореме Виета, корни уравнения: $z_1 = 144$ и $z_2 = 1$. Возвращаемся к замене: 1. $v_л^2 = 144 \implies v_л = 12$ (так как скорость положительна). 2. $v_л^2 = 1 \implies v_л = 1$.

Лодка должна двигаться против течения второй реки, скорость которого $v_2 = 1.5 v_1 = 1.5 \cdot 2 = 3$ км/ч. Для этого собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения: $v_л > v_2$, т.е. $v_л > 3$. Следовательно, корень $v_л = 1$ не подходит.

Таким образом, единственное подходящее решение: $v_л = 12$ км/ч и $v_1 = 2$ км/ч. Проверим его, подставив в одно из исходных уравнений, например, в (2): $$ \frac{60}{12 + 1.5 \cdot 2} + \frac{15}{12} + \frac{35}{12 - 2} = \frac{60}{15} + \frac{15}{12} + \frac{35}{10} = 4 + 1.25 + 3.5 = 8.75 $$ $8.75$ часа = $8 \frac{3}{4}$ часа = $\frac{35}{4}$ часа. Значение совпадает с условием.

Скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

---

б)

Обозначим скорости:

• $v$ – скорость второго корабля.
• $2v$ – скорость первого корабля.
• $v_k$ – скорость катера.

Пусть катер отошел от второго корабля через время $T_0$ после выхода из порта.

Первый рейс катера (общая длительность 5 ч):

Пусть $t_1$ – время, за которое катер догонял первый корабль, а $t_2$ – время, за которое он возвращался ко второму кораблю. По условию, $t_1 + t_2 = 5$ ч.

1. Погоня за первым кораблем. На момент старта катера (время $T_0$) расстояние между первым и вторым кораблем было $S_0 = 2vT_0 - vT_0 = vT_0$. Катер догоняет первый корабль с относительной скоростью $v_k - 2v$. Время погони: $$ t_1 = \frac{S_0}{v_k - 2v} = \frac{vT_0}{v_k - 2v} \quad (1) $$

2. Возвращение ко второму кораблю. К моменту, когда катер догнал первый корабль (время $T_0+t_1$), расстояние между первым и вторым кораблем стало $S_1 = 2v(T_0+t_1) - v(T_0+t_1) = v(T_0+t_1)$. Катер и второй корабль движутся навстречу друг другу (катер к порту, корабль от порта). Их относительная скорость сближения равна $v_k + v$. Время возвращения: $$ t_2 = \frac{S_1}{v_k + v} = \frac{v(T_0+t_1)}{v_k + v} \quad (2) $$

Из (1) выразим $vT_0 = (v_k - 2v)t_1$ и подставим в (2): $$ t_2 = \frac{(v_k - 2v)t_1 + vt_1}{v_k + v} = \frac{(v_k - v)t_1}{v_k + v} $$ Отсюда получаем соотношение времен: $$ \frac{t_1}{t_2} = \frac{v_k+v}{v_k-v} $$ Используя $t_2 = 5 - t_1$, выразим $t_1$ через скорости. Пусть $K = v_k/v$: $$ \frac{t_1}{5-t_1} = \frac{Kv+v}{Kv-v} = \frac{K+1}{K-1} $$ $$ t_1(K-1) = 5(K+1) - t_1(K+1) \implies t_1(2K) = 5(K+1) \implies t_1 = \frac{5(K+1)}{2K} $$

Второй рейс катера (общая длительность 9 ч):

Катер начинает второй рейс сразу после окончания первого, в момент времени $T_0+5$. Пусть $t_3$ – время погони, а $t_4$ – время возвращения. По условию, $t_3+t_4=9$ ч. Рассуждая аналогично, получаем, что соотношение времен $\frac{t_3}{t_4} = \frac{v_k+v}{v_k-v}$ остается тем же. $$ \frac{t_3}{9-t_3} = \frac{K+1}{K-1} \implies t_3(2K) = 9(K+1) \implies t_3 = \frac{9(K+1)}{2K} $$

Теперь свяжем оба рейса. Расстояние, которое катер "наверстывал" в начале каждого рейса:

• Первый рейс: $S_0 = vT_0$. Из (1) имеем $vT_0 = (v_k - 2v)t_1$.
• Второй рейс: $S_2 = v(T_0+5)$. Аналогично, $v(T_0+5) = (v_k-2v)t_3$.

Разделив обе части на $v$ ($v \neq 0$): $$ T_0 = (K-2)t_1 $$ $$ T_0+5 = (K-2)t_3 $$ Подставим первое уравнение во второе: $$ (K-2)t_1 + 5 = (K-2)t_3 $$ $$ 5 = (K-2)(t_3-t_1) $$ Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_3$: $$ 5 = (K-2) \left(\frac{9(K+1)}{2K} - \frac{5(K+1)}{2K}\right) $$ $$ 5 = (K-2) \left(\frac{4(K+1)}{2K}\right) = (K-2) \frac{2(K+1)}{K} $$ $$ 5K = 2(K-2)(K+1) = 2(K^2 - K - 2) $$ $$ 5K = 2K^2 - 2K - 4 $$ $$ 2K^2 - 7K - 4 = 0 $$ Решаем квадратное уравнение относительно $K$: $$ K = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-4)}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{49+32}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4} $$ Поскольку $K=v_k/v$ – отношение скоростей, оно должно быть положительным. $K = \frac{7+9}{4} = 4$. (Второй корень $K=-0.5$ не имеет физического смысла). Итак, скорость катера в 4 раза больше скорости второго корабля.

Нас просят найти время, которое катер догонял первый корабль в свой первый рейс, то есть $t_1$. $$ t_1 = \frac{5(K+1)}{2K} = \frac{5(4+1)}{2 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 5}{8} = \frac{25}{8} $$ $$ t_1 = 3.125 \text{ часа} = 3 \text{ часа } + 0.125 \cdot 60 \text{ мин} = 3 \text{ часа } 7.5 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 7 \text{ минут } 30 \text{ секунд}. $$

Ответ: $3.125$ часа (или 3 часа 7 минут 30 секунд).