Номер 271, страница 435 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 271, страница 435.

Условие.

271 Учитель запланировал проверить две домашние работы из шести на текущей неделе. Эти две работы учитель выбирает случайным образом и за невыполнение домашней работы ставит в журнал отметку «1». Определите вероятность события:

a) $A$ — «Аня получит «1», если она не выполнит одну домашнюю работу из этих шести»;

b) $B$ — «Боря получит ровно одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»;

c) $C$ — «Вася получит хотя бы одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»;

d) $D$ — «Гоша получит ровно одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести»;

e) $E$ — «Денис получит хотя бы одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести».

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения всех пунктов задачи сначала найдем общее число исходов. Учитель случайным образом выбирает 2 домашние работы из 6 для проверки. Порядок выбора работ не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае общее количество домашних работ $n=6$, а количество работ для проверки $k=2$. Общее число возможных пар работ, которые может выбрать учитель, равно:

$N = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Таким образом, существует 15 равновероятных исходов выбора двух работ для проверки.

а) A — «Аня получит «1», если она не выполнит одну домашнюю работу из этих шести»

Аня не выполнила 1 работу (назовем ее «невыполненной»), а остальные 5 работ выполнила (назовем их «выполненными»). Аня получит оценку «1», если учитель для проверки выберет ту самую одну «невыполненную» работу и одну из пяти «выполненных» работ.

Число способов выбрать 1 «невыполненную» работу из одной имеющейся: $C_1^1 = 1$.

Число способов выбрать 1 «выполненную» работу из пяти имеющихся: $C_5^1 = 5$.

Число благоприятных исходов (когда проверяется одна «невыполненная» и одна «выполненная» работа) равно произведению этих двух величин:

$M_A = C_1^1 \times C_5^1 = 1 \times 5 = 5$.

Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{M_A}{N} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) B — «Боря получит ровно одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»

Боря не выполнил 2 работы («невыполненные») и выполнил 4 работы («выполненные»). Чтобы Боря получил ровно одну «1», учитель должен выбрать для проверки ровно одну из двух «невыполненных» работ и ровно одну из четырех «выполненных».

Число способов выбрать 1 «невыполненную» работу из двух: $C_2^1 = 2$.

Число способов выбрать 1 «выполненную» работу из четырех: $C_4^1 = 4$.

Число благоприятных исходов:

$M_B = C_2^1 \times C_4^1 = 2 \times 4 = 8$.

Вероятность события B:

$P(B) = \frac{M_B}{N} = \frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{8}{15}$.

в) C — «Вася получит хотя бы одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»

У Васи 2 «невыполненные» и 4 «выполненные» работы. Событие C («получит хотя бы одну «1»») означает, что Вася получит либо одну «1», либо две «1». Проще найти вероятность противоположного события C' — «Вася не получит ни одной «1»», а затем вычесть ее из 1.

Вася не получит ни одной «1» только в том случае, если учитель выберет для проверки две работы из тех четырех, которые Вася выполнил.

Число способов выбрать 2 «выполненные» работы из четырех: $M_{C'} = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Вероятность того, что Вася не получит «1»:

$P(C') = \frac{M_{C'}}{N} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, вероятность события C (получить хотя бы одну «1») равна:

$P(C) = 1 - P(C') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) D — «Гоша получит ровно одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести»

Гоша не выполнил 3 работы («невыполненные») и выполнил 3 работы («выполненные»). Чтобы Гоша получил ровно одну «1», учитель должен выбрать для проверки одну из трех «невыполненных» работ и одну из трех «выполненных».

Число способов выбрать 1 «невыполненную» работу из трех: $C_3^1 = 3$.

Число способов выбрать 1 «выполненную» работу из трех: $C_3^1 = 3$.

Число благоприятных исходов:

$M_D = C_3^1 \times C_3^1 = 3 \times 3 = 9$.

Вероятность события D:

$P(D) = \frac{M_D}{N} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

д) E — «Денис получит хотя бы одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести»

У Дениса, как и у Гоши, 3 «невыполненные» и 3 «выполненные» работы. Событие E («получит хотя бы одну «1»») означает, что Денис получит либо одну, либо две «1». Найдем вероятность противоположного события E' — «Денис не получит ни одной «1»».

Денис не получит ни одной «1», если учитель выберет для проверки две работы из тех трех, которые Денис выполнил.

Число способов выбрать 2 «выполненные» работы из трех: $M_{E'} = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.

Вероятность того, что Денис не получит «1»:

$P(E') = \frac{M_{E'}}{N} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Следовательно, вероятность события E (получить хотя бы одну «1») равна:

$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.