Номер 268, страница 434 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 268, страница 434.

Условие.

268 а) Из города в деревню одновременно отправились бегун $Б$ и пешеход $П_1$, а в тот же момент из деревни в город вышел пешеход $П_2$. Скорости пешеходов были равны. Встретившись, $Б$ и $П_2$ некоторое время стояли на месте, а затем направились в деревню. При этом $Б$ побежал с прежней скоростью, равной $12 \text{ км/ч}$, а $П_2$ уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал $Б$, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи $Б$ и $П_2$, одновременно пришли оба пешехода. Найдите скорость пешехода $П_1$.

б) Из города в деревню одновременно выехали велосипедист $В$ и мотоциклист $М_1$, а в тот же момент из деревни в город выехал второй мотоциклист $М_2$. Скорости $М_1$ и $М_2$ были равны $30 \text{ км/ч}$. Встретившись, $В$ и $М_2$ некоторое время стояли на месте, а затем оба направились в деревню. При этом $В$ поехал с прежней скоростью, а $М_2$ уменьшил свою скорость в три раза. В результате $М_1$ и $М_2$ прибыли в деревню одновременно, а через промежуток времени, в десять раз больший длительности встречи $Б$ и $М_2$, в деревню приехал $В$. Найдите скорость велосипедиста $В$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Обозначим искомые величины и введем переменные:

• $S$ – расстояние от города до деревни.
• $v_Б$ – скорость бегуна Б, $v_Б = 12$ км/ч.
• $v_П$ – скорость пешеходов П₁ и П₂, так как их скорости равны ($v_{П1} = v_{П2} = v_П$). Эту скорость нам нужно найти.
• $t_{стоп}$ – время, которое Б и П₂ стояли на месте после встречи.

1. Встреча Б и П₂. Они движутся навстречу друг другу. Время до их встречи $t_1$ равно: $t_1 = \frac{S}{v_Б + v_П} = \frac{S}{12 + v_П}$. Место встречи находится на расстоянии $S_Б = v_Б \cdot t_1 = \frac{12S}{12 + v_П}$ от города. Расстояние от места встречи до деревни составляет $S_{ост} = S - S_Б = \frac{v_П S}{12 + v_П}$.

2. Движение после остановки. После остановки длительностью $t_{стоп}$, Б продолжает бежать в деревню с прежней скоростью $v_Б = 12$ км/ч, а П₂ разворачивается и идет в деревню со скоростью, уменьшенной в полтора раза: $v'_{П2} = \frac{v_П}{1.5} = \frac{2v_П}{3}$.

3. Время прибытия в деревню.

• Общее время бегуна Б: $T_Б = t_1 + t_{стоп} + \frac{S_{ост}}{v_Б} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S / (12+v_П)}{12} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S}{12(12+v_П)}$.
• Общее время пешехода П₁: $T_{П1} = \frac{S}{v_П}$.
• Общее время пешехода П₂: $T_{П2} = t_1 + t_{стоп} + \frac{S_{ост}}{v'_{П2}} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S / (12+v_П)}{2v_П/3} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{3S}{2(12+v_П)}$.

4. Составление и решение системы уравнений. Из условия задачи у нас есть два соотношения:

1. Пешеходы П₁ и П₂ прибыли одновременно: $T_{П1} = T_{П2}$.
2. Промежуток времени между прибытием Б и прибытием пешеходов в два раза больше длительности их встречи (остановки): $T_{П1} - T_Б = 2t_{стоп}$.

Из первого уравнения: $\frac{S}{v_П} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{3S}{2(12+v_П)}$. Выразим $t_{стоп}$ (сократив $S$): $t_{стоп}/S = \frac{1}{v_П} - \frac{1}{12+v_П} - \frac{3}{2(12+v_П)} = \frac{1}{v_П} - \frac{2+3}{2(12+v_П)} = \frac{1}{v_П} - \frac{5}{2(12+v_П)}$. (1)

Из второго уравнения: $T_{П1} - 2t_{стоп} = T_Б \implies \frac{S}{v_П} - 2t_{стоп} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S}{12(12+v_П)}$. $3t_{стоп} = \frac{S}{v_П} - \frac{S}{12+v_П} - \frac{v_П S}{12(12+v_П)}$. Выразим $t_{стоп}$ (сократив $S$): $3t_{стоп}/S = \frac{1}{v_П} - \left(\frac{12}{12(12+v_П)} + \frac{v_П}{12(12+v_П)}\right) = \frac{1}{v_П} - \frac{12+v_П}{12(12+v_П)} = \frac{1}{v_П} - \frac{1}{12}$. $t_{стоп}/S = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{v_П} - \frac{1}{12}\right)$. (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2): $\frac{1}{v_П} - \frac{5}{2(12+v_П)} = \frac{1}{3v_П} - \frac{1}{36}$. $\frac{1}{v_П} - \frac{1}{3v_П} = \frac{5}{2(12+v_П)} - \frac{1}{36}$. $\frac{2}{3v_П} = \frac{5 \cdot 18 - (12+v_П)}{36(12+v_П)} = \frac{90-12-v_П}{36(12+v_П)} = \frac{78-v_П}{36(12+v_П)}$. $\frac{2}{v_П} = \frac{3(78-v_П)}{36(12+v_П)} = \frac{78-v_П}{12(12+v_П)}$. $2 \cdot 12(12+v_П) = v_П(78-v_П)$. $24(12+v_П) = 78v_П - v_П^2$. $288 + 24v_П = 78v_П - v_П^2$. $v_П^2 - 54v_П + 288 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 2916 - 1152 = 1764 = 42^2$. $v_П = \frac{54 \pm 42}{2}$. Получаем два корня: $v_{П,1} = \frac{96}{2} = 48$ и $v_{П,2} = \frac{12}{2} = 6$.

Скорость пешехода не может быть 48 км/ч, так как это значительно превышает скорость бегуна (12 км/ч). Поэтому выбираем второй корень. Скорость пешехода П₁ равна 6 км/ч.

Ответ: Скорость пешехода П₁ равна 6 км/ч.

б)

Обозначим искомые величины и введем переменные:

• $S$ – расстояние от города до деревни.
• $v_В$ – скорость велосипедиста В. Эту скорость нам нужно найти.
• $v_М$ – скорость мотоциклистов М₁ и М₂, $v_М = 30$ км/ч.
• $t_{стоп}$ – время, которое В и М₂ стояли на месте после встречи.

1. Встреча В и М₂. Они движутся навстречу друг другу. Время до их встречи $t_1$ равно: $t_1 = \frac{S}{v_В + v_М} = \frac{S}{v_В + 30}$.

2. Движение после остановки. После остановки длительностью $t_{стоп}$, В продолжает ехать в деревню с прежней скоростью $v_В$, а М₂ разворачивается и едет в деревню со скоростью, уменьшенной в три раза: $v'_{М2} = \frac{v_М}{3} = \frac{30}{3} = 10$ км/ч.

3. Время прибытия в деревню.

• Общее время мотоциклиста М₁: $T_{М1} = \frac{S}{v_М} = \frac{S}{30}$.
• Общее время мотоциклиста М₂: $T_{М2} = (\text{время до встречи}) + t_{стоп} + (\text{время после встречи})$. Расстояние от места встречи до деревни: $S_{ост} = v_М \cdot t_1 = \frac{30S}{v_В+30}$. $T_{М2} = t_1 + t_{стоп} + \frac{S_{ост}}{v'_{М2}} = \frac{S}{v_В+30} + t_{стоп} + \frac{30S/(v_В+30)}{10} = \frac{S}{v_В+30} + t_{стоп} + \frac{3S}{v_В+30} = \frac{4S}{v_В+30} + t_{стоп}$.
• Общее время велосипедиста В: Общее время движения велосипедиста равно $S/v_В$. $T_В = \frac{S}{v_В} + t_{стоп}$.

4. Анализ условий задачи. Из условия задачи у нас есть два соотношения:

1. Мотоциклисты М₁ и М₂ прибыли одновременно: $T_{М1} = T_{М2}$.
2. Промежуток времени между прибытием мотоциклистов и прибытием велосипедиста в десять раз больше длительности их встречи (остановки): $T_В - T_{М1} = 10t_{стоп}$.

Из первого условия, приравняв $T_{М1}$ и $T_{М2}$: $\frac{S}{30} = \frac{4S}{v_В+30} + t_{стоп}$. Отсюда выразим $t_{стоп}$: $t_{стоп} = S \left( \frac{1}{30} - \frac{4}{v_В+30} \right)$. Так как время остановки $t_{стоп}$ должно быть положительной величиной, то должно выполняться условие: $\frac{1}{30} > \frac{4}{v_В+30} \implies v_В+30 > 120 \implies v_В > 90$ км/ч.

Из второго условия, подставив выражения для $T_В$ и $T_{М1}$: $\left( \frac{S}{v_В} + t_{стоп} \right) - \frac{S}{30} = 10t_{стоп}$. $ \frac{S}{v_В} - \frac{S}{30} = 9t_{стоп}$. Отсюда также выразим $t_{стоп}$: $t_{стоп} = \frac{S}{9} \left( \frac{1}{v_В} - \frac{1}{30} \right)$. Так как $t_{стоп}$ должен быть положительным, отсюда следует: $\frac{1}{v_В} > \frac{1}{30} \implies v_В < 30$ км/ч.

Полученные два условия для скорости велосипедиста, $v_В > 90$ км/ч и $v_В < 30$ км/ч, противоречат друг другу. Невозможно одновременно быть больше 90 и меньше 30. Это означает, что ситуация, описанная в задаче, физически невозможна при заданных числовых значениях. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: В рамках заданных условий задача не имеет решения.