Страница 434 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

267 а) Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, движутся с постоянными скоростями в одном направлении по кольцевому шоссе. В момент старта гонщик В находился перед гонщиком А на расстоянии $1/3$ длины шоссе, а гонщик С – перед гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал гонщика В в тот момент, когда гонщик В закончил свой первый круг, а ещё через 10 мин гонщик А впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик С. Сколько времени тратит на круг гонщик А?

б) Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной точке старта, а через полчаса после этого он вторично (не считая момента старта) обогнал третьего гонщика. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 мин?

a)

Обозначим длину кольцевого шоссе за $L$. Для удобства примем $L=1$ (будем измерять расстояния в "кругах"). Пусть $v_A, v_B, v_C$ — скорости гонщиков A, B и C, а $t_A, t_B, t_C$ — время, за которое каждый из них проходит один круг. Скорости и время связаны соотношениями: $v_A = 1/t_A$, $v_B = 1/t_B$, $v_C = 1/t_C$. Все величины будем измерять в кругах и минутах.

В момент старта ($t=0$) расположим гонщика A в точке 0. Тогда гонщик B находится в точке $1/3$, а гонщик C — в точке $1/3 + 1/3 = 2/3$.

1. Первая встреча (A и B):
Гонщик A догоняет гонщика B. Это означает, что A должен проехать на $1/3$ круга больше, чем B. Пусть первая встреча произошла в момент времени $T_1$. Расстояние, которое проехал A: $d_A = v_A T_1$. Расстояние, которое проехал B: $d_B = v_B T_1$. Условие встречи: $d_A = d_B + 1/3$, откуда $(v_A - v_B)T_1 = 1/3$.

По условию, эта встреча происходит в тот момент, когда гонщик B заканчивает свой первый круг. Это означает, что гонщик B проехал расстояние, равное одному кругу ($L=1$). Время, которое на это требуется, по определению равно $t_B$. Таким образом, $T_1 = t_B$.

Подставим $T_1 = t_B$ в уравнение встречи: $(v_A - v_B)t_B = 1/3$
$v_A t_B - v_B t_B = 1/3$
Так как $v_B t_B = 1$ (расстояние, равное одному кругу), получаем: $v_A t_B - 1 = 1/3 \implies v_A t_B = 4/3$
Заменяя $v_A = 1/t_A$, получаем первое уравнение, связывающее времена гонщиков: $(1/t_A) \cdot t_B = 4/3 \implies t_B/t_A = 4/3 \implies 3t_B = 4t_A$.

2. Вторая встреча (A и C):
Гонщик A догоняет гонщика C через 10 минут после первой встречи. Время второй встречи $T_2 = T_1 + 10 = t_B + 10$. Для того чтобы догнать C, гонщик A должен преодолеть начальное расстояние в $2/3$ круга. Условие встречи: $(v_A - v_C)T_2 = 2/3$. Подставляем $T_2$ и выражаем скорости через время: $(\frac{1}{t_A} - \frac{1}{t_C})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$.

3. Условие для B и C:
Гонщик B тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик C: $t_B = t_C - 2.5 \implies t_C = t_B + 2.5$.

4. Решение системы уравнений:
Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($t_A, t_B, t_C$): 1) $3t_B = 4t_A$ 2) $(\frac{1}{t_A} - \frac{1}{t_C})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$ 3) $t_C = t_B + 2.5$

Выразим $t_A$ и $t_C$ через $t_B$ из уравнений (1) и (3): $t_A = \frac{3}{4} t_B$ $t_C = t_B + 2.5$ Подставим эти выражения в уравнение (2): $(\frac{1}{\frac{3}{4}t_B} - \frac{1}{t_B + 2.5})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
$(\frac{4}{3t_B} - \frac{1}{t_B + 2.5})(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
Приведем к общему знаменателю выражение в скобках: $\frac{4(t_B + 2.5) - 3t_B}{3t_B(t_B + 2.5)}(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
$\frac{4t_B + 10 - 3t_B}{3t_B(t_B + 2.5)}(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
$\frac{t_B + 10}{3t_B(t_B + 2.5)}(t_B + 10) = \frac{2}{3}$
Умножим обе части на 3: $\frac{(t_B + 10)^2}{t_B(t_B + 2.5)} = 2$
$t_B^2 + 20t_B + 100 = 2t_B(t_B + 2.5) = 2t_B^2 + 5t_B$
$t_B^2 - 15t_B - 100 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t_B$: $t_B = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(1)(-100)}}{2(1)} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 400}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{15 \pm 25}{2}$
Так как время не может быть отрицательным, выбираем знак плюс: $t_B = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$ минут.

Теперь находим искомое время $t_A$: $t_A = \frac{3}{4} t_B = \frac{3}{4} \cdot 20 = 15$ минут.

Ответ: Гонщик A тратит на круг 15 минут.

б)

Обозначим скорости гонщиков $v_1, v_2, v_3$, а время прохождения одного круга $t_1, t_2, t_3$. Длину круга примем за 1. Тогда $v_i = 1/t_i$.

1. Первая встреча (1-й и 2-й гонщики):
Первый гонщик догнал второго впервые. Это значит, что он проехал на 1 круг больше. Встреча произошла в точке, диаметрально противоположной старту, то есть на отметке 0.5 круга. По условию, в этот момент первый гонщик "делал свой пятый круг", то есть он проехал 4 полных круга и еще половину круга. Таким образом, расстояние, пройденное первым гонщиком, $d_1 = 4.5$ круга. Второй гонщик проехал на 1 круг меньше, то есть $d_2 = 4.5 - 1 = 3.5$ круга.

Пусть встреча произошла в момент времени $T_{12}$. Тогда: $d_1 = v_1 T_{12} = 4.5$
$d_2 = v_2 T_{12} = 3.5$
Из этих уравнений можно найти соотношение скоростей и времен: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{4.5}{3.5} = \frac{9}{7} \implies \frac{t_2}{t_1} = \frac{9}{7} \implies 7t_2 = 9t_1$. Также можем выразить время первой встречи: $T_{12} = d_1 / v_1 = 4.5t_1$.

2. Вторая встреча (1-й и 3-й гонщики):
Эта встреча произошла через полчаса (30 минут) после первой, то есть в момент времени $T_{13} = T_{12} + 30 = 4.5t_1 + 30$. Первый гонщик обогнал третьего "вторично (не считая момента старта)". Это означает, что к моменту $T_{13}$ первый гонщик проехал на 2 круга больше, чем третий. $d_1' = v_1 T_{13}$
$d_3' = v_3 T_{13}$
$d_1' = d_3' + 2 \implies (v_1 - v_3)T_{13} = 2$.
Подставляя выражения для $v_i$ и $T_{13}$: $(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_3})(4.5t_1 + 30) = 2$.

3. Дополнительные условия и предположения:
Из условия задачи, второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 минут: $t_2 \ge 20$. Используя соотношение $t_2 = \frac{9}{7}t_1$, получаем ограничение на $t_1$: $\frac{9}{7}t_1 \ge 20 \implies t_1 \ge \frac{140}{9}$ минут ($ \approx 15.56$ мин).

Уравнение $(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_3})(4.5t_1 + 30) = 2$ связывает две переменные, $t_1$ и $t_3$. Для однозначного решения задачи необходимо дополнительное условие. В задачах такого типа, если место события не указано, часто предполагается, что оно происходит в одной из "особых" точек трассы (старт или диаметрально противоположная точка). Поскольку первая встреча произошла в диаметрально противоположной точке, логично предположить, что и вторая встреча, о которой идет речь, также произошла в одной из этих точек. Проверим оба варианта.

Расстояние, пройденное первым гонщиком к моменту $T_{13}$: $d_1' = v_1 T_{13} = \frac{1}{t_1}(4.5t_1 + 30) = 4.5 + \frac{30}{t_1}$. Место встречи определяется дробной частью этого расстояния.

- Предположение 1: Встреча произошла на линии старта (позиция 0). Тогда $d_1'$ должно быть целым числом: $4.5 + \frac{30}{t_1} = K$, где $K$ — целое. $\frac{30}{t_1} = K - 4.5 \implies t_1 = \frac{30}{K - 4.5} = \frac{60}{2K - 9}$. Учитывая, что $t_1 \ge 140/9$, получаем $K=5$ или $K=6$, что дает два возможных значения $t_1=60$ и $t_1=20$. Неоднозначность ответа делает это предположение маловероятным.

- Предположение 2: Встреча произошла в точке, диаметрально противоположной старту (позиция 0.5). Тогда $d_1'$ должен иметь вид $K+0.5$: $4.5 + \frac{30}{t_1} = K + 0.5$, где $K$ — целое. $\frac{30}{t_1} = K - 4 \implies t_1 = \frac{30}{K - 4}$. Так как $v_1 > v_3$, то $t_1 < t_3$, что выполняется. Так как $d_1' > d_1=4.5$, то $K+0.5 > 4.5$, значит $K > 4$. Учитывая $t_1 \ge 140/9 \approx 15.56$: $\frac{30}{K - 4} \ge \frac{140}{9} \implies 270 \ge 140(K-4) \implies 27 \ge 14K - 56 \implies 83 \ge 14K \implies K \le \frac{83}{14} \approx 5.92$. Единственное целое значение $K$, удовлетворяющее условию $K>4$, это $K=5$. При $K=5$ получаем единственное решение: $t_1 = \frac{30}{5 - 4} = 30$ минут.

4. Вычисление ответа:
Найденное время $t_1 = 30$ минут удовлетворяет условию $t_1 \ge 140/9$ ($30 \ge 15.56$). Вопрос задачи: сколько кругов в час делает первый гонщик. Это его скорость, выраженная в кругах/час. Время на один круг $t_1 = 30$ мин $= 0.5$ часа. Скорость $v_1 = \frac{1 \text{ круг}}{t_1} = \frac{1 \text{ круг}}{0.5 \text{ часа}} = 2$ круга/час.

Ответ: Первый гонщик делает 2 круга в час.

268 а) Из города в деревню одновременно отправились бегун $Б$ и пешеход $П_1$, а в тот же момент из деревни в город вышел пешеход $П_2$. Скорости пешеходов были равны. Встретившись, $Б$ и $П_2$ некоторое время стояли на месте, а затем направились в деревню. При этом $Б$ побежал с прежней скоростью, равной $12 \text{ км/ч}$, а $П_2$ уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал $Б$, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи $Б$ и $П_2$, одновременно пришли оба пешехода. Найдите скорость пешехода $П_1$.

б) Из города в деревню одновременно выехали велосипедист $В$ и мотоциклист $М_1$, а в тот же момент из деревни в город выехал второй мотоциклист $М_2$. Скорости $М_1$ и $М_2$ были равны $30 \text{ км/ч}$. Встретившись, $В$ и $М_2$ некоторое время стояли на месте, а затем оба направились в деревню. При этом $В$ поехал с прежней скоростью, а $М_2$ уменьшил свою скорость в три раза. В результате $М_1$ и $М_2$ прибыли в деревню одновременно, а через промежуток времени, в десять раз больший длительности встречи $Б$ и $М_2$, в деревню приехал $В$. Найдите скорость велосипедиста $В$.

а)

Обозначим искомые величины и введем переменные:

• $S$ – расстояние от города до деревни.
• $v_Б$ – скорость бегуна Б, $v_Б = 12$ км/ч.
• $v_П$ – скорость пешеходов П₁ и П₂, так как их скорости равны ($v_{П1} = v_{П2} = v_П$). Эту скорость нам нужно найти.
• $t_{стоп}$ – время, которое Б и П₂ стояли на месте после встречи.

1. Встреча Б и П₂. Они движутся навстречу друг другу. Время до их встречи $t_1$ равно: $t_1 = \frac{S}{v_Б + v_П} = \frac{S}{12 + v_П}$. Место встречи находится на расстоянии $S_Б = v_Б \cdot t_1 = \frac{12S}{12 + v_П}$ от города. Расстояние от места встречи до деревни составляет $S_{ост} = S - S_Б = \frac{v_П S}{12 + v_П}$.

2. Движение после остановки. После остановки длительностью $t_{стоп}$, Б продолжает бежать в деревню с прежней скоростью $v_Б = 12$ км/ч, а П₂ разворачивается и идет в деревню со скоростью, уменьшенной в полтора раза: $v'_{П2} = \frac{v_П}{1.5} = \frac{2v_П}{3}$.

3. Время прибытия в деревню.

• Общее время бегуна Б: $T_Б = t_1 + t_{стоп} + \frac{S_{ост}}{v_Б} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S / (12+v_П)}{12} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S}{12(12+v_П)}$.
• Общее время пешехода П₁: $T_{П1} = \frac{S}{v_П}$.
• Общее время пешехода П₂: $T_{П2} = t_1 + t_{стоп} + \frac{S_{ост}}{v'_{П2}} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S / (12+v_П)}{2v_П/3} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{3S}{2(12+v_П)}$.

4. Составление и решение системы уравнений. Из условия задачи у нас есть два соотношения:

1. Пешеходы П₁ и П₂ прибыли одновременно: $T_{П1} = T_{П2}$.
2. Промежуток времени между прибытием Б и прибытием пешеходов в два раза больше длительности их встречи (остановки): $T_{П1} - T_Б = 2t_{стоп}$.

Из первого уравнения: $\frac{S}{v_П} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{3S}{2(12+v_П)}$. Выразим $t_{стоп}$ (сократив $S$): $t_{стоп}/S = \frac{1}{v_П} - \frac{1}{12+v_П} - \frac{3}{2(12+v_П)} = \frac{1}{v_П} - \frac{2+3}{2(12+v_П)} = \frac{1}{v_П} - \frac{5}{2(12+v_П)}$. (1)

Из второго уравнения: $T_{П1} - 2t_{стоп} = T_Б \implies \frac{S}{v_П} - 2t_{стоп} = \frac{S}{12+v_П} + t_{стоп} + \frac{v_П S}{12(12+v_П)}$. $3t_{стоп} = \frac{S}{v_П} - \frac{S}{12+v_П} - \frac{v_П S}{12(12+v_П)}$. Выразим $t_{стоп}$ (сократив $S$): $3t_{стоп}/S = \frac{1}{v_П} - \left(\frac{12}{12(12+v_П)} + \frac{v_П}{12(12+v_П)}\right) = \frac{1}{v_П} - \frac{12+v_П}{12(12+v_П)} = \frac{1}{v_П} - \frac{1}{12}$. $t_{стоп}/S = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{v_П} - \frac{1}{12}\right)$. (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2): $\frac{1}{v_П} - \frac{5}{2(12+v_П)} = \frac{1}{3v_П} - \frac{1}{36}$. $\frac{1}{v_П} - \frac{1}{3v_П} = \frac{5}{2(12+v_П)} - \frac{1}{36}$. $\frac{2}{3v_П} = \frac{5 \cdot 18 - (12+v_П)}{36(12+v_П)} = \frac{90-12-v_П}{36(12+v_П)} = \frac{78-v_П}{36(12+v_П)}$. $\frac{2}{v_П} = \frac{3(78-v_П)}{36(12+v_П)} = \frac{78-v_П}{12(12+v_П)}$. $2 \cdot 12(12+v_П) = v_П(78-v_П)$. $24(12+v_П) = 78v_П - v_П^2$. $288 + 24v_П = 78v_П - v_П^2$. $v_П^2 - 54v_П + 288 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 2916 - 1152 = 1764 = 42^2$. $v_П = \frac{54 \pm 42}{2}$. Получаем два корня: $v_{П,1} = \frac{96}{2} = 48$ и $v_{П,2} = \frac{12}{2} = 6$.

Скорость пешехода не может быть 48 км/ч, так как это значительно превышает скорость бегуна (12 км/ч). Поэтому выбираем второй корень. Скорость пешехода П₁ равна 6 км/ч.

Ответ: Скорость пешехода П₁ равна 6 км/ч.

б)

Обозначим искомые величины и введем переменные:

• $S$ – расстояние от города до деревни.
• $v_В$ – скорость велосипедиста В. Эту скорость нам нужно найти.
• $v_М$ – скорость мотоциклистов М₁ и М₂, $v_М = 30$ км/ч.
• $t_{стоп}$ – время, которое В и М₂ стояли на месте после встречи.

1. Встреча В и М₂. Они движутся навстречу друг другу. Время до их встречи $t_1$ равно: $t_1 = \frac{S}{v_В + v_М} = \frac{S}{v_В + 30}$.

2. Движение после остановки. После остановки длительностью $t_{стоп}$, В продолжает ехать в деревню с прежней скоростью $v_В$, а М₂ разворачивается и едет в деревню со скоростью, уменьшенной в три раза: $v'_{М2} = \frac{v_М}{3} = \frac{30}{3} = 10$ км/ч.

3. Время прибытия в деревню.

• Общее время мотоциклиста М₁: $T_{М1} = \frac{S}{v_М} = \frac{S}{30}$.
• Общее время мотоциклиста М₂: $T_{М2} = (\text{время до встречи}) + t_{стоп} + (\text{время после встречи})$. Расстояние от места встречи до деревни: $S_{ост} = v_М \cdot t_1 = \frac{30S}{v_В+30}$. $T_{М2} = t_1 + t_{стоп} + \frac{S_{ост}}{v'_{М2}} = \frac{S}{v_В+30} + t_{стоп} + \frac{30S/(v_В+30)}{10} = \frac{S}{v_В+30} + t_{стоп} + \frac{3S}{v_В+30} = \frac{4S}{v_В+30} + t_{стоп}$.
• Общее время велосипедиста В: Общее время движения велосипедиста равно $S/v_В$. $T_В = \frac{S}{v_В} + t_{стоп}$.

4. Анализ условий задачи. Из условия задачи у нас есть два соотношения:

1. Мотоциклисты М₁ и М₂ прибыли одновременно: $T_{М1} = T_{М2}$.
2. Промежуток времени между прибытием мотоциклистов и прибытием велосипедиста в десять раз больше длительности их встречи (остановки): $T_В - T_{М1} = 10t_{стоп}$.

Из первого условия, приравняв $T_{М1}$ и $T_{М2}$: $\frac{S}{30} = \frac{4S}{v_В+30} + t_{стоп}$. Отсюда выразим $t_{стоп}$: $t_{стоп} = S \left( \frac{1}{30} - \frac{4}{v_В+30} \right)$. Так как время остановки $t_{стоп}$ должно быть положительной величиной, то должно выполняться условие: $\frac{1}{30} > \frac{4}{v_В+30} \implies v_В+30 > 120 \implies v_В > 90$ км/ч.

Из второго условия, подставив выражения для $T_В$ и $T_{М1}$: $\left( \frac{S}{v_В} + t_{стоп} \right) - \frac{S}{30} = 10t_{стоп}$. $ \frac{S}{v_В} - \frac{S}{30} = 9t_{стоп}$. Отсюда также выразим $t_{стоп}$: $t_{стоп} = \frac{S}{9} \left( \frac{1}{v_В} - \frac{1}{30} \right)$. Так как $t_{стоп}$ должен быть положительным, отсюда следует: $\frac{1}{v_В} > \frac{1}{30} \implies v_В < 30$ км/ч.

Полученные два условия для скорости велосипедиста, $v_В > 90$ км/ч и $v_В < 30$ км/ч, противоречат друг другу. Невозможно одновременно быть больше 90 и меньше 30. Это означает, что ситуация, описанная в задаче, физически невозможна при заданных числовых значениях. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: В рамках заданных условий задача не имеет решения.

2691 ЕГЭ В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных для этого события исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$.

Формула для вычисления вероятности:

$P = \frac{m}{n}$

В нашем случае, общее число равновозможных исходов $n$ — это общее количество билетов в сборнике. По условию, всего 25 билетов, значит, $n = 25$.

Событие, вероятность которого нужно найти, — это то, что в случайно выбранном билете не будет вопроса о грибах. Исходы, при которых это событие наступает, называются благоприятными.

Из условия мы знаем, что в 2 билетах есть вопрос о грибах. Чтобы найти количество билетов, в которых этого вопроса нет, нужно из общего числа билетов вычесть количество билетов с вопросом о грибах:

$m = 25 - 2 = 23$

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 23$.

Теперь, зная $m$ и $n$, мы можем рассчитать вероятность:

$P = \frac{23}{25}$

Для записи ответа в виде десятичной дроби, приведем знаменатель к 100, умножив и числитель, и знаменатель на 4:

$P = \frac{23 \times 4}{25 \times 4} = \frac{92}{100} = 0,92$

Следовательно, вероятность того, что в билете не будет вопроса о грибах, равна 0,92.

Ответ: 0,92