Страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

275 Найдите наибольшее значение функции $y = (x - 2)^2(x + 4) + 3$ на отрезке $[1; 3]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, нужно найти значения функции на концах этого отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее.

Дана функция $y = (x - 2)^2(x + 4) + 3$ на отрезке $[1; 3]$.

1. Найдем производную функции $y'(x)$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

$y'(x) = ((x-2)^2(x+4)+3)' = ((x-2)^2)'(x+4) + (x-2)^2(x+4)'$

$y'(x) = (2(x-2) \cdot 1)(x+4) + (x-2)^2 \cdot 1$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$y'(x) = (x-2)(2(x+4) + (x-2))$

$y'(x) = (x-2)(2x+8+x-2)$

$y'(x) = (x-2)(3x+6) = 3(x-2)(x+2)$

2. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки (точки возможного экстремума):

$y'(x) = 0$

$3(x-2)(x+2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Проверим принадлежность критических точек отрезку $[1; 3]$.

Корень $x_1 = 2$ принадлежит отрезку $[1; 3]$.

Корень $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 3]$.

Следовательно, нам нужно вычислить значения функции в точках $x=1$, $x=2$ и $x=3$.

4. Вычислим значения функции в найденных точках и на концах отрезка.

При $x = 1$ (левый конец отрезка):

$y(1) = (1 - 2)^2(1 + 4) + 3 = (-1)^2 \cdot 5 + 3 = 1 \cdot 5 + 3 = 8$

При $x = 2$ (критическая точка):

$y(2) = (2 - 2)^2(2 + 4) + 3 = 0^2 \cdot 6 + 3 = 0 + 3 = 3$

При $x = 3$ (правый конец отрезка):

$y(3) = (3 - 2)^2(3 + 4) + 3 = 1^2 \cdot 7 + 3 = 1 \cdot 7 + 3 = 10$

5. Выберем наибольшее значение.

Сравниваем полученные значения: $y(1) = 8$, $y(2) = 3$, $y(3) = 10$.

Наибольшее из этих значений равно $10$.

Ответ: $10$.

276 Найдите значение выражения $12\sin^2 x$, если $\operatorname{tg} x = \sqrt{5}$.

Для нахождения значения выражения $12\sin^2 x$ воспользуемся тригонометрическими тождествами. Нам известно значение $\tan x$, и мы можем выразить $\sin^2 x$ через $\tan^2 x$.

Существует тождество, связывающее синус и котангенс: $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

По определению, котангенс является обратной функцией к тангенсу: $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Следовательно, $\cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x}$.

По условию задачи $\tan x = \sqrt{5}$. Возведем это значение в квадрат: $\tan^2 x = (\sqrt{5})^2 = 5$

Теперь найдем значение $\cot^2 x$: $\cot^2 x = \frac{1}{5}$

Подставим найденное значение в тождество $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$: $1 + \frac{1}{5} = \frac{1}{\sin^2 x}$

Выполним сложение в левой части уравнения: $\frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

Таким образом, мы получаем: $\frac{6}{5} = \frac{1}{\sin^2 x}$

Отсюда выражаем $\sin^2 x$: $\sin^2 x = \frac{5}{6}$

Наконец, подставим значение $\sin^2 x$ в исходное выражение, которое нужно найти: $12\sin^2 x = 12 \cdot \frac{5}{6}$

Вычисляем результат: $12 \cdot \frac{5}{6} = \frac{12 \cdot 5}{6} = 2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10

277Найдите наибольшее значение функции $y = 2\cos x + \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, следует найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем выбрать наибольшее из полученных значений.

1. Найдем производную функции $y = 2\cos x + \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$.

$y' = (2\cos x + \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3})' = -2\sin x + \sqrt{3}$.

2. Найдем критические точки, для этого приравняем производную к нулю.

$y' = 0$

$-2\sin x + \sqrt{3} = 0$

$2\sin x = \sqrt{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общие решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

3. Выберем те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Из всех решений только точка $x = \frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$, так как $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка.

Значение в критической точке $x = \frac{\pi}{3}$:

$y(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 1$.

Значение на левом конце отрезка $x = 0$:

$y(0) = 2\cos(0) + \sqrt{3} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 \cdot 1 - 0 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$.

Значение на правом конце отрезка $x = \frac{\pi}{2}$:

$y(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 2 \cdot 0 + \frac{3\sqrt{3}\pi - 2\sqrt{3}\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.

5. Сравним полученные значения: $1$, $2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.

Сравним $1$ с $2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$. Это равносильно сравнению $\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$ с $1$. $\sqrt{3}\pi$ и $3$. Так как $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3}\pi \approx 5.44 > 3$. Следовательно, $\frac{\sqrt{3}\pi}{3} > 1$, а значит $2 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} < 1$.

Сравним $1$ с $\frac{\sqrt{3}\pi}{6}$. Это равносильно сравнению $6$ с $\sqrt{3}\pi$. Так как $\sqrt{3}\pi \approx 5.44 < 6$, то $\frac{\sqrt{3}\pi}{6} < 1$.

Таким образом, наибольшим из трех значений является $1$.

Ответ: 1

278 Решите уравнение $(\cos x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3})\sqrt{\cos x} = 0.$

Для решения уравнения $(\cos x - 1)(\tan x + \sqrt{3})\sqrt{\cos x} = 0$, необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

Определение ОДЗ

Уравнение содержит два выражения, накладывающие ограничения: во-первых, подкоренное выражение в $\sqrt{\cos x}$ должно быть неотрицательным, то есть $\cos x \ge 0$; во-вторых, тангенс $\tan x$ определен только тогда, когда $\cos x \ne 0$. Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ уравнения — это все $x$, для которых выполняется строгое неравенство $\cos x > 0$. Это соответствует значениям $x$ в I и IV координатных четвертях: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$ для всех целых $k$.

Решение уравнения

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены (то есть, $x$ принадлежит ОДЗ). Рассмотрим три случая.

Случай 1: $\cos x - 1 = 0$.
Отсюда следует, что $\cos x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $1 > 0$. Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все значения из этой серии являются решениями исходного уравнения.

Случай 2: $\tan x + \sqrt{3} = 0$.
Отсюда следует, что $\tan x = -\sqrt{3}$. Общее решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Мы должны выбрать из этой серии только те корни, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть $\cos x > 0$. Из тождества $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ получаем $\cos^2 x = \frac{1}{1 + (-\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4}$, откуда $\cos x = \pm\frac{1}{2}$. Нам подходят только те $x$, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$.
Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: если $k$ — четное ($k=2m, m \in \mathbb{Z}$), то $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$. Эти углы находятся в IV четверти, и для них $\cos x = \frac{1}{2} > 0$, поэтому эти корни подходят. Если $k$ — нечетное ($k=2m+1, m \in \mathbb{Z}$), то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi(2m+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$. Эти углы находятся во II четверти, и для них $\cos x = -\frac{1}{2} < 0$, поэтому эти корни не подходят. Таким образом, из этого случая получаем серию решений $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Случай 3: $\sqrt{\cos x} = 0$.
Отсюда следует, что $\cos x = 0$. Эти значения $x$ не входят в ОДЗ, так как при $\cos x = 0$ тангенс не определен. Следовательно, этот случай не дает решений.

Объединяя все найденные решения, получаем две серии корней.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

279 ЕГЭ а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; - \pi\right]$.

а) Решите уравнение $\cos(2x) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Сначала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Применим формулу приведения для правой части:

$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\cos(2x) = 1 - \sin(x)$

Далее используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin(x)$:

$1 - 2\sin^2(x) = 1 - \sin(x)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим:

$1 - 2\sin^2(x) - 1 + \sin(x) = 0$

$-2\sin^2(x) + \sin(x) = 0$

Умножим обе части на $-1$ и вынесем общий множитель $\sin(x)$ за скобки:

$2\sin^2(x) - \sin(x) = 0$

$\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\sin(x) = 0$

Корни этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in Z$.

2. $2\sin(x) - 1 = 0$

$2\sin(x) = 1$

$\sin(x) = \frac{1}{2}$

Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $n, k \in Z$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$.

Проведем отбор корней для каждой из трех серий, найденных в пункте а). Промежуток $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$ соответствует $[-2.5\pi; -\pi]$.

1. Серия $x = \pi n$.
Подставляя различные целые значения $n$, найдем корни в заданном промежутке:
- при $n = -1$, $x = -\pi$. Корень $-\pi$ принадлежит промежутку, так как является его правым концом.
- при $n = -2$, $x = -2\pi$. Корень $-2\pi$ принадлежит промежутку, так как $-2.5\pi \leq -2\pi \leq -\pi$.
- при $n = -3$, $x = -3\pi$. Корень $-3\pi$ не принадлежит промежутку, так как $-3\pi < -2.5\pi$.

2. Серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Подставим целые значения $k$:
- при $k = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$, что не входит в промежуток.
- при $k = -1$, $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$. Проверим принадлежность промежутку: $-\frac{5\pi}{2} = -\frac{15\pi}{6}$ и $-\pi = -\frac{6\pi}{6}$. Поскольку $-\frac{15\pi}{6} \leq -\frac{11\pi}{6} \leq -\frac{6\pi}{6}$, корень $-\frac{11\pi}{6}$ подходит.
- при $k = -2$, $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{23\pi}{6} < -\frac{15\pi}{6}$.

3. Серия $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Подставим целые значения $k$:
- при $k = 0$, $x = \frac{5\pi}{6}$, что не входит в промежуток.
- при $k = -1$, $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$. Проверим принадлежность промежутку: $-\frac{15\pi}{6} \leq -\frac{7\pi}{6} \leq -\frac{6\pi}{6}$. Корень $-\frac{7\pi}{6}$ подходит.
- при $k = -2$, $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{19\pi}{6} < -\frac{15\pi}{6}$.

Объединяя все найденные корни, получаем:

Ответ: $-2\pi, -\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\pi$.

280 ЕГЭ Решите уравнение $\frac{2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos 2x - 1}{\sqrt{\cos x}} = 0$.

Исходное уравнение $\frac{2\sin^2 x + 2\sin x \cos 2x - 1}{\sqrt{\cos x}} = 0$ равносильно системе, состоящей из уравнения, в котором числитель равен нулю, и неравенства, в котором знаменатель строго больше нуля (подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным): $$ \begin{cases} 2\sin^2 x + 2\sin x \cos 2x - 1 = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы: $2\sin^2 x + 2\sin x \cos 2x - 1 = 0$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$. Подставив это выражение в уравнение, получим: $$ (1 - \cos 2x) + 2\sin x \cos 2x - 1 = 0 $$ После приведения подобных слагаемых уравнение упрощается: $$ 2\sin x \cos 2x - \cos 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки: $$ \cos 2x (2\sin x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

Первое уравнение: $\cos 2x = 0$. Его решениями является серия корней $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение: $2\sin x - 1 = 0$, или $\sin x = \frac{1}{2}$. Его решениями являются две серии корней: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним отбор найденных корней с учетом условия $\cos x > 0$. Данное условие выполняется, когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти. Проверим каждую из полученных серий. Серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: угол $\frac{\pi}{6}$ находится в I четверти, где $\cos x > 0$. Следовательно, эта серия корней удовлетворяет условию. Серия $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во II четверти, где $\cos x < 0$. Эта серия не подходит. Серия $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: на единичной окружности этим значениям $x$ соответствуют углы $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Условию $\cos x > 0$ удовлетворяют только те углы, которые находятся в I и IV четвертях, то есть $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Таким образом, из этой серии подходят только две подсерии корней: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$. Вторую серию можно записать как $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(k+1)$. Объединив эти две серии и переобозначив константу, получаем $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

281 Решите неравенство

$\frac{\log_2(8x) \cdot \log_{0,125x} 2}{\log_{0,5x} 16} \leq \frac{1}{4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице.

1. Аргументы логарифмов: $8x > 0 \implies x > 0$.
2. Основания логарифмов:
$0.125x > 0 \implies x > 0$ и $0.125x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{0.125} \implies x \neq 8$.
$0.5x > 0 \implies x > 0$ и $0.5x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{0.5} \implies x \neq 2$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_{0.5x} 16 \neq 0$, что всегда верно, так как $16 \neq 1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 2) \cup (2; 8) \cup (8; +\infty)$.

Теперь преобразуем неравенство. Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_2(8x) = \log_2 8 + \log_2 x = 3 + \log_2 x$.
$\log_{0.125x} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2(0.125x)} = \frac{1}{\log_2(0.125) + \log_2 x} = \frac{1}{\log_2(2^{-3}) + \log_2 x} = \frac{1}{-3 + \log_2 x}$.
$\log_{0.5x} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2(0.5x)} = \frac{4}{\log_2(0.5) + \log_2 x} = \frac{4}{\log_2(2^{-1}) + \log_2 x} = \frac{4}{-1 + \log_2 x}$.

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство: $$ \frac{(3 + \log_2 x) \cdot \frac{1}{-3 + \log_2 x}}{\frac{4}{-1 + \log_2 x}} \leq \frac{1}{4} $$ Упростим левую часть: $$ \frac{(3 + \log_2 x)(-1 + \log_2 x)}{4(-3 + \log_2 x)} \leq \frac{1}{4} $$ Умножим обе части на 4 (знак неравенства не меняется): $$ \frac{(\log_2 x + 3)(\log_2 x - 1)}{\log_2 x - 3} \leq 1 $$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид: $$ \frac{(t+3)(t-1)}{t-3} \leq 1 $$ Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{(t+3)(t-1)}{t-3} - 1 \leq 0 $$ $$ \frac{t^2 + 2t - 3 - (t-3)}{t-3} \leq 0 $$ $$ \frac{t^2 + t}{t-3} \leq 0 $$ $$ \frac{t(t+1)}{t-3} \leq 0 $$

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $t$. Корни числителя: $t=0$ и $t=-1$. Корень знаменателя: $t=3$. Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знаки выражения на получившихся интервалах.

Интервалы, удовлетворяющие неравенству ($\leq 0$), это $t \in (-\infty, -1] \cup [0, 3)$.

Теперь выполним обратную замену $t = \log_2 x$.

1. $t \leq -1 \implies \log_2 x \leq -1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому $x \leq 2^{-1}$, то есть $x \leq \frac{1}{2}$.
2. $0 \leq t < 3 \implies 0 \leq \log_2 x < 3$. Потенцируя, получаем $2^0 \leq x < 2^3$, то есть $1 \leq x < 8$.

Объединяем полученные решения для $x$: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [1, 8)$.

Наконец, найдем пересечение этого множества с ОДЗ: $x \in (0; 2) \cup (2; 8) \cup (8; +\infty)$.

- Для $x \in (-\infty, \frac{1}{2}]$ пересечение с ОДЗ дает $x \in (0, \frac{1}{2}]$.
- Для $x \in [1, 8)$ пересечение с ОДЗ дает $x \in [1, 2) \cup (2, 8)$.

Объединяя эти два интервала, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{2}] \cup [1, 2) \cup (2, 8)$.

282 ЕГЭ Решите неравенство

$\frac{\log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) + \log_{0.25}(6x^2 - 12x - 9)}{x^2 - 2x - 8} \ge 0.$

Исходное неравенство:

$$ \frac{\log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) + \log_{0.25}(6x^2 - 12x - 9)}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства.

Для этого решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^4 - 4x^3 + 4x^2 > 0 \\ 6x^2 - 12x - 9 > 0 \\ x^2 - 2x - 8 \neq 0 \end{cases} $$

а) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 > 0 \implies x^2(x^2 - 4x + 4) > 0 \implies x^2(x-2)^2 > 0$.

Произведение двух квадратов всегда неотрицательно. Равенство нулю достигается при $x=0$ и $x=2$. Следовательно, для выполнения строгого неравенства необходимо $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

б) $6x^2 - 12x - 9 > 0$. Разделим обе части на 3: $2x^2 - 4x - 3 > 0$.

Найдём корни квадратного трёхчлена $2x^2 - 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

Парабола $y=2x^2 - 4x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ или $x > \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.

в) $x^2 - 2x - 8 \neq 0$.

Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ по теореме Виета равны -2 и 4. Следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 4$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ. Заметим, что $3 < \sqrt{10} < 4$, поэтому $\frac{2 - \sqrt{10}}{2} \approx -0.58$ и $\frac{2 + \sqrt{10}}{2} \approx 2.58$. Таким образом, интервалы из пункта (б) не содержат точки 0 и 2, поэтому условие (а) выполняется автоматически. Остаётся исключить точки -2 и 4.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \frac{2 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Упростим исходное неравенство.

Преобразуем логарифмы в числителе к одному основанию 4:

$\log_{0.25}(6x^2 - 12x - 9) = \log_{4^{-1}}(6x^2 - 12x - 9) = -\log_4(6x^2 - 12x - 9)$.

$\log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) = \log_4(x^2(x-2)^2) = \log_4((x(x-2))^2)$.

На ОДЗ выражение $x(x-2)$ всегда положительно, поэтому $\log_4((x(x-2))^2) = 2\log_4(x(x-2)) = 2\log_4(x^2-2x) = \log_4((x^2-2x)^2)$.

Числитель примет вид:

$\log_4((x^2-2x)^2) - \log_4(6x^2-12x-9) = \log_4\left(\frac{(x^2-2x)^2}{6x^2-12x-9}\right)$.

Неравенство преобразуется к виду:

$$ \frac{\log_4\left(\frac{(x^2-2x)^2}{6x^2-12x-9}\right)}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

3. Решим неравенство методом рационализации.

На ОДЗ данное неравенство равносильно следующему:

$$ \frac{\frac{(x^2-2x)^2}{6x^2-12x-9} - 1}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

$$ \frac{(x^2-2x)^2 - (6x^2-12x-9)}{(6x^2-12x-9)(x^2 - 2x - 8)} \ge 0 $$

Так как на ОДЗ выражение $6x^2-12x-9$ строго положительно, можно умножить обе части на него, не меняя знака неравенства:

$$ \frac{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 6x^2 + 12x + 9}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

$$ \frac{x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

Разложим числитель $P(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9$ на множители. Можно заметить, что $P(x)=(x^2-2x-3)^2$. Знаменатель $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$.

Неравенство принимает вид:

$$ \frac{(x^2-2x-3)^2}{(x-4)(x+2)} \ge 0 $$

$$ \frac{((x-3)(x+1))^2}{(x-4)(x+2)} \ge 0 \implies \frac{(x-3)^2(x+1)^2}{(x-4)(x+2)} \ge 0 $$

Числитель $(x-3)^2(x+1)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство выполняется, если:

а) Числитель равен нулю, то есть $x=3$ или $x=-1$.

б) Знаменатель строго положителен, то есть $(x-4)(x+2) > 0$. Решением этого является $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$.

Объединяя эти случаи, получаем решение рационализированного неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \cup \{-1, 3\}$.

4. Совместим полученное решение с ОДЗ.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \frac{2 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 4) \cup (4, +\infty)$.

Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \cup \{-1, 3\}$.

Пересечение этих множеств:

– Интервал $(-\infty, -2)$ полностью входит в ОДЗ.

– Интервал $(4, +\infty)$ полностью входит в ОДЗ.

– Проверим точку $x=-1$. Так как $-2 < -1$ и $-1 < \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ (поскольку $-2 < 2-\sqrt{10} \iff \sqrt{10} < 4$), точка $x=-1$ входит в ОДЗ.

– Проверим точку $x=3$. Так как $\frac{2 + \sqrt{10}}{2} < 3$ (поскольку $2+\sqrt{10} < 6 \iff \sqrt{10} < 4$) и $3 < 4$, точка $x=3$ входит в ОДЗ.

Таким образом, все части решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup \{-1, 3\} \cup (4, +\infty)$.

283 ЕГЭ Решите систему неравенств

$$ \begin{cases} 4^x \leq 9 \cdot 2^x + 22 \\ \log_3(x^2 - x - 2) \leq 1 + \log_3\left(\frac{x+1}{x-2}\right) \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $4^x \le 9 \cdot 2^x + 22$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 9 \cdot 2^x - 22 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 9t - 22 \le 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 9t - 22 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{9 - 13}{2} = -2$ и $t_2 = \frac{9 + 13}{2} = 11$.

Графиком функции $y = t^2 - 9t - 22$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 - 9t - 22 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-2 \le t \le 11$.

Учитывая ограничение $t > 0$, получаем $0 < t \le 11$.

Выполним обратную замену:

$0 < 2^x \le 11$

Неравенство $2^x > 0$ справедливо для всех действительных $x$. Решим оставшееся неравенство $2^x \le 11$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_2(2^x) \le \log_2(11)$

$x \le \log_2(11)$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, \log_2(11)]$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство: $\log_3(x^2 - x - 2) \le 1 + \log_3(\frac{x+1}{x-2})$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой все выражения под знаками логарифмов строго положительны:

$\begin{cases} x^2 - x - 2 > 0 \\ \frac{x+1}{x-2} > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство ОДЗ: $x^2 - x - 2 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство ОДЗ: $\frac{x+1}{x-2} > 0$. Методом интервалов получаем, что решение также $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Следовательно, ОДЗ для второго неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Теперь решим неравенство на найденной ОДЗ. Преобразуем его, представив $1$ как $\log_3(3)$ и используя свойство суммы логарифмов:

$\log_3(x^2 - x - 2) \le \log_3(3) + \log_3(\frac{x+1}{x-2})$

$\log_3(x^2 - x - 2) \le \log_3(3 \cdot \frac{x+1}{x-2})$

Поскольку основание логарифма $3 > 1$, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x^2 - x - 2 \le \frac{3(x+1)}{x-2}$

Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+1) \le \frac{3(x+1)}{x-2}$.

Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x \in (2, \infty)$. В этом случае оба множителя $(x-2)$ и $(x+1)$ положительны. Мы можем умножить неравенство на $(x-2)$ и разделить на $(x+1)$, не меняя знаков:

$(x-2)^2 \le 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 \le 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ равны $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Решением неравенства $x^2 - 4x + 1 \le 0$ является отрезок $[2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}]$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 2$: $x \in (2, 2+\sqrt{3}]$.

Случай 2: $x \in (-\infty, -1)$. В этом случае оба множителя $(x-2)$ и $(x+1)$ отрицательны. При умножении на отрицательное число $(x-2)$ знак неравенства меняется на противоположный. При последующем делении на отрицательное число $(x+1)$ знак снова меняется на противоположный, возвращаясь к исходному.

$(x-2)^2 \le 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 \le 0$.

Решение этого неравенства, как мы уже нашли, есть $[2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}]$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < -1$. Поскольку $2-\sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268 > -1$, пересечение пустое.

Объединяя результаты по двум случаям, получаем, что решение второго неравенства: $x \in (2, 2+\sqrt{3}]$.

Нахождение решения системы

Решение системы является пересечением решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \le \log_2(11) \\ 2 < x \le 2+\sqrt{3} \end{cases}$

Это соответствует промежутку $2 < x \le \min(\log_2(11), 2+\sqrt{3})$.

Сравним значения $\log_2(11)$ и $2+\sqrt{3}$.

Оценим $\log_2(11)$: $3 = \log_2(8) < \log_2(11) < \log_2(16) = 4$.

Оценим $2+\sqrt{3}$: $1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \Rightarrow 3.7 < 2+\sqrt{3} < 3.8$.

Для более точного сравнения сравним оба числа с $3.5$.

Сравним $\log_2(11)$ и $3.5 = \frac{7}{2}$. Это равносильно сравнению $11$ и $2^{3.5} = \sqrt{2^7} = \sqrt{128}$. Так как $11 = \sqrt{121}$ и $\sqrt{121} < \sqrt{128}$, то $\log_2(11) < 3.5$.

Сравним $2+\sqrt{3}$ и $3.5$. Это равносильно сравнению $\sqrt{3}$ и $1.5$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $3$ и $2.25$. Так как $3 > 2.25$, то $\sqrt{3} > 1.5$, и следовательно $2+\sqrt{3} > 3.5$.

Из этого следует, что $\log_2(11) < 3.5 < 2+\sqrt{3}$, то есть $\log_2(11) < 2+\sqrt{3}$.

Таким образом, пересечением решений является промежуток $(2, \log_2(11)]$.

Ответ: $(2, \log_2(11)]$.

284 ЕГЭ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} |4|y - 3|| = 12 - 3|x| \\ y^2 - a^2 = 3(2y - 3) - x^2 \end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Рассмотрим данную систему уравнений:$$\begin{cases} 4|y-3| = 12 - 3|x| \\ y^2 - a^2 = 3(2y - 3) - x^2\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение системы:$4|y-3| = 12 - 3|x| \implies 3|x| + 4|y-3| = 12$.Это уравнение задает на координатной плоскости $(x, y)$ ромб. Чтобы убедиться в этом, можно раскрыть модули в каждой из четырех координатных четвертей со смещенным центром. Центр симметрии фигуры — точка $(0, 3)$.Найдем вершины ромба.Если $x=0$, то $4|y-3| = 12 \implies |y-3|=3$. Отсюда $y-3=3$ или $y-3=-3$, то есть $y=6$ или $y=0$. Получаем вершины $(0, 6)$ и $(0, 0)$.Если $y=3$, то $3|x|=12 \implies |x|=4$. Отсюда $x=4$ или $x=-4$. Получаем вершины $(4, 3)$ и $(-4, 3)$.Таким образом, графиком первого уравнения является ромб с вершинами в точках $(0, 6)$, $(4, 3)$, $(0, 0)$ и $(-4, 3)$. Центр ромба находится в точке $(0, 3)$.

Преобразуем второе уравнение системы:$y^2 - a^2 = 3(2y - 3) - x^2$$y^2 - a^2 = 6y - 9 - x^2$$x^2 + y^2 - 6y = a^2 - 9$Выделим полный квадрат для переменной $y$:$x^2 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = a^2 - 9$$x^2 + (y-3)^2 = a^2$.Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 3)$ и радиусом $R = \sqrt{a^2} = |a|$.

Задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых окружность $x^2 + (y-3)^2 = R^2$ с центром в $(0, 3)$ и радиусом $R=|a|$ имеет ровно четыре общие точки с ромбом $3|x| + 4|y-3| = 12$.Центр окружности совпадает с центром ромба. Найдем ключевые значения радиуса $R$, при которых меняется количество точек пересечения.

1. Радиус, при котором окружность касается сторон ромба.Найдем расстояние от центра $(0, 3)$ до одной из сторон ромба, например, до стороны, соединяющей вершины $(0, 6)$ и $(4, 3)$. Уравнение прямой, проходящей через эти точки: $\frac{x-0}{4-0} = \frac{y-6}{3-6} \implies \frac{x}{4} = \frac{y-6}{-3} \implies -3x = 4y - 24 \implies 3x+4y-24=0$.Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.В нашем случае расстояние от центра $(0, 3)$ до прямой $3x+4y-24=0$ равно:$R_{min} = d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 24|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|12-24|}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2,4$.При $R=2,4$ окружность вписана в ромб и касается его в четырех точках. Это дает четыре решения.

2. Радиусы, при которых окружность проходит через вершины ромба.Расстояние от центра $(0, 3)$ до вершин $(0, 6)$ и $(0, 0)$:$R_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.Расстояние от центра $(0, 3)$ до вершин $(4, 3)$ и $(-4, 3)$:$R_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.

Проанализируем количество решений в зависимости от радиуса $R=|a|$:

• При $R < 2,4$ окружность находится внутри ромба и не имеет с ним общих точек. 0 решений.
• При $R = 2,4$ окружность касается четырех сторон ромба. 4 решения.
• При $2,4 < R < 3$ окружность пересекает каждую из четырех сторон ромба в двух точках. 8 решений.
• При $R = 3$ окружность проходит через вершины $(0, 6)$ и $(0, 0)$ и пересекает каждую из четырех сторон еще в одной точке. Итого $2+4=6$ решений. 6 решений.
• При $3 < R < 4$ окружность пересекает каждую из четырех сторон ромба в одной точке. 4 решения.
• При $R = 4$ окружность проходит через вершины $(4, 3)$ и $(-4, 3)$ и не имеет других общих точек с ромбом. 2 решения.
• При $R > 4$ окружность целиком содержит ромб и не имеет с ним общих точек. 0 решений.

Система имеет ровно четыре решения, когда $R=2,4$ или когда $3 < R < 4$.Поскольку $R = |a|$, получаем:$|a| = 2,4 \implies a = \pm 2,4$.$3 < |a| < 4 \implies a \in (-4, -3) \cup (3, 4)$.

Объединяя найденные значения, получаем искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in (-4; -3) \cup (3; 4) \cup \{-2,4; 2,4\}$.

285 ЕГЭ Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x) = 2ax + |x^2 - 8x + 7|$ больше 1.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции $f(x) = 2ax + |x^2 - 8x + 7|$ больше 1. Это эквивалентно тому, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться неравенство $f(x) > 1$.

Запишем это неравенство:

$2ax + |x^2 - 8x + 7| > 1$

Раскроем модуль, для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 7$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Таким образом, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.

Выражение $x^2 - 8x + 7$ неотрицательно при $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$ и отрицательно при $x \in (1, 7)$. Разобьем решение на два случая.

Случай 1: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$

В этом случае $|x^2 - 8x + 7| = x^2 - 8x + 7$. Исходное неравенство принимает вид:

$2ax + x^2 - 8x + 7 > 1$

$x^2 + (2a - 8)x + 6 > 0$

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Графиком функции $g_1(x) = x^2 + (2a - 8)x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство должно выполняться для всех $x$ из указанного множества.

Это условие выполняется, если:

1) Дискриминант $D_1$ квадратного трехчлена $g_1(x)$ отрицателен. В этом случае $g_1(x)$ будет положительна при любых $x$.
$D_1 = (2a - 8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4(a - 4)^2 - 24 = 4a^2 - 32a + 64 - 24 = 4(a^2 - 8a + 10)$.
$D_1 < 0 \implies a^2 - 8a + 10 < 0$.
Найдем корни уравнения $a^2 - 8a + 10 = 0$: $a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = 4 \pm \sqrt{6}$.
Следовательно, $a^2 - 8a + 10 < 0$ при $a \in (4 - \sqrt{6}, 4 + \sqrt{6})$.

2) Дискриминант $D_1 \ge 0$, но корни $x_1, x_2$ уравнения $g_1(x)=0$ лежат в интервале $(1, 7)$. Тогда на множестве $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$ функция $g_1(x)$ будет положительна.
Условия того, что оба корня лежат в интервале $(1, 7)$:
а) $D_1 \ge 0 \implies a \in (-\infty, 4 - \sqrt{6}] \cup [4 + \sqrt{6}, \infty)$.
б) Вершина параболы $x_v = -\frac{2a-8}{2} = 4-a$ лежит в $(1, 7)$: $1 < 4-a < 7 \implies -3 < -a < 3 \implies -3 < a < 3$.
в) Значения функции на концах интервала положительны: $g_1(1) > 0$ и $g_1(7) > 0$.
$g_1(1) = 1 + 2a - 8 + 6 = 2a - 1 > 0 \implies a > 1/2$.
$g_1(7) = 49 + 7(2a - 8) + 6 = 49 + 14a - 56 + 6 = 14a - 1 > 0 \implies a > 1/14$.
Объединяя условия из пункта в), получаем $a > 1/2$.
Теперь найдем пересечение всех условий для 2): $a \in (-\infty, 4 - \sqrt{6}] \cup [4 + \sqrt{6}, \infty)$, $a \in (-3, 3)$ и $a > 1/2$.
Пересечение дает $a \in (1/2, 4 - \sqrt{6}]$.

Объединяя результаты 1) и 2) для Случая 1, получаем: $a \in (4 - \sqrt{6}, 4 + \sqrt{6}) \cup (1/2, 4 - \sqrt{6}] = (1/2, 4 + \sqrt{6})$.

Случай 2: $x \in (1, 7)$

В этом случае $|x^2 - 8x + 7| = -(x^2 - 8x + 7) = -x^2 + 8x - 7$. Исходное неравенство принимает вид:

$2ax - x^2 + 8x - 7 > 1$

$-x^2 + (2a + 8)x - 8 > 0$

$x^2 - (2a + 8)x + 8 < 0$

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $g_2(x) = x^2 - (2a + 8)x + 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $g_2(x) < 0$ должно выполняться для всех $x \in (1, 7)$. Это означает, что интервал $(1, 7)$ должен находиться между корнями уравнения $g_2(x) = 0$.

Это условие равносильно системе:
$\begin{cases} D_2 \ge 0 \\ g_2(1) \le 0 \\ g_2(7) \le 0 \end{cases}$

Рассчитаем значения:
$g_2(1) = 1 - (2a + 8) + 8 = 1 - 2a \le 0 \implies 2a \ge 1 \implies a \ge 1/2$.
$g_2(7) = 49 - 7(2a + 8) + 8 = 49 - 14a - 56 + 8 = 1 - 14a \le 0 \implies 14a \ge 1 \implies a \ge 1/14$.
Оба неравенства выполняются при $a \ge 1/2$.

Проверим условие на дискриминант:
$D_2 = (-(2a+8))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4(a+4)^2 - 32 = 4(a^2+8a+16) - 32 = 4(a^2+8a+8)$.
$D_2 \ge 0 \implies a^2+8a+8 \ge 0$.
Корни уравнения $a^2+8a+8=0$: $a = \frac{-8 \pm \sqrt{64-32}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{2}$.
Таким образом, $D_2 \ge 0$ при $a \in (-\infty, -4-2\sqrt{2}] \cup [-4+2\sqrt{2}, \infty)$.
Поскольку $-4+2\sqrt{2} \approx -4+2.828 = -1.172$, а мы рассматриваем $a \ge 1/2$, условие $D_2 \ge 0$ всегда выполняется.Итак, для Случая 2 получаем условие $a \ge 1/2$.

Заключение

Чтобы исходное неравенство выполнялось для всех действительных $x$, необходимо, чтобы выполнялись условия для обоих случаев одновременно. Найдем пересечение полученных множеств значений параметра $a$:

$a \in (1/2, 4 + \sqrt{6})$ и $a \ge 1/2$.

Пересечением этих множеств является интервал $a \in (1/2, 4 + \sqrt{6})$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}; 4 + \sqrt{6})$.

286 ЕГЭ Найдите все такие простые числа $p$, для каждого из которых существует такое целое число $k$, что число $p$ является общим делителем чисел $k^4 + 12k^2 + 12$ и $k^3 + 9k$.

Пусть $p$ — простое число. Согласно условию, должно существовать такое целое число $k$, что $p$ является общим делителем чисел $k^4 + 12k^2 + 12$ и $k^3 + 9k$. Это эквивалентно существованию целочисленного решения $k$ для системы сравнений:

$ \begin{cases} k^4 + 12k^2 + 12 \equiv 0 \pmod{p} \\ k^3 + 9k \equiv 0 \pmod{p} \end{cases} $

Если $p$ является общим делителем двух многочленов от $k$, то $p$ также будет делить любую их линейную комбинацию. Используем алгоритм Евклида для многочленов, чтобы упростить систему. Разделим первый многочлен на второй с остатком:
$k^4 + 12k^2 + 12 = k(k^3 + 9k) - 9k^2 + 12k^2 + 12 = k(k^3 + 9k) + 3k^2 + 12$.

Поскольку $p$ делит $k^4 + 12k^2 + 12$ и $k(k^3 + 9k)$, то $p$ должно делить и остаток:
$3k^2 + 12 = 3(k^2+4) \equiv 0 \pmod{p}$.

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе (поскольку если $p$ делит $k^3+9k$ и $3k^2+12$, то оно автоматически делит и их линейную комбинацию $k(k^3+9k) + (3k^2+12)$):

$ \begin{cases} k(k^2 + 9) \equiv 0 \pmod{p} \\ 3(k^2 + 4) \equiv 0 \pmod{p} \end{cases} $

Теперь проанализируем эту систему для различных простых $p$.

Случай 1: $p = 2$
Система принимает вид:
1) $k(k^2+9) \equiv k(k^2+1) \pmod{2}$. Это произведение делится на 2 для любого целого $k$. Если $k$ четно, то $k \equiv 0 \pmod{2}$. Если $k$ нечетно, то $k^2$ нечетно, и $k^2+1$ четно.
2) $3(k^2+4) \equiv 1 \cdot (k^2+0) \equiv k^2 \pmod{2}$. Это выражение делится на 2, только если $k$ четно.
Для выполнения обоих условий достаточно выбрать любое четное $k$, например $k=0$. При $k=0$ оба исходных выражения $k^4+12k^2+12=12$ и $k^3+9k=0$ делятся на 2. Значит, $p=2$ является решением.

Случай 2: $p = 3$
Система принимает вид:
1) $k(k^2+9) \equiv k(k^2) \equiv k^3 \pmod{3}$. Это выражение делится на 3 тогда и только тогда, когда $k$ делится на 3.
2) $3(k^2+4)$ делится на 3 для любого целого $k$.
Для выполнения обоих условий достаточно выбрать любое $k$, кратное 3, например $k=0$. При $k=0$ исходные выражения равны 12 и 0, оба делятся на 3. Значит, $p=3$ является решением.

Случай 3: $p = 5$
Система принимает вид:
1) $k(k^2+9) \equiv k(k^2+4) \pmod{5}$.
2) $3(k^2+4) \equiv 0 \pmod{5}$. Так как 3 и 5 взаимно просты, это равносильно $k^2+4 \equiv 0 \pmod{5}$, или $k^2 \equiv -4 \equiv 1 \pmod{5}$.
Если условие $k^2+4 \equiv 0 \pmod{5}$ выполнено, то первое условие $k(k^2+4) \equiv 0 \pmod{5}$ также автоматически выполняется. Нам нужно лишь найти такое $k$, для которого $k^2 \equiv 1 \pmod{5}$. Такое $k$ существует, например, $k=1$ или $k=4$.
Возьмем $k=1$ и проверим для исходных выражений:
$k^4+12k^2+12 = 1^4+12(1^2)+12 = 1+12+12 = 25$. 25 делится на 5.
$k^3+9k = 1^3+9(1) = 1+9 = 10$. 10 делится на 5.
Поскольку такое $k$ существует, $p=5$ является решением.

Случай 4: $p > 5$
Рассмотрим простое $p > 5$. Система условий:
1) $k(k^2+9) \equiv 0 \pmod{p}$.
2) $3(k^2+4) \equiv 0 \pmod{p}$.
Так как $p>5$, $p$ не делит 3, поэтому из второго условия следует $k^2+4 \equiv 0 \pmod{p}$, то есть $k^2 \equiv -4 \pmod{p}$.
Подставим это в первое условие. Выражение $k^2+9$ будет сравнимо с $-4+9 = 5$ по модулю $p$.
Тогда первое условие примет вид $k \cdot 5 \equiv 0 \pmod{p}$.
Так как $p>5$, $p$ не делит 5. Следовательно, должно выполняться $k \equiv 0 \pmod{p}$.
Итак, мы имеем два требования для $k$: $k \equiv 0 \pmod{p}$ и $k^2 \equiv -4 \pmod{p}$. Если подставить первое во второе, получим $0^2 \equiv -4 \pmod{p}$, то есть $4 \equiv 0 \pmod{p}$. Это означает, что $p$ должно быть делителем 4. Единственный простой делитель числа 4 — это 2. Таким образом, $p=2$.
Это противоречит нашему предположению, что $p>5$. Следовательно, для простых $p>5$ решений не существует.

Таким образом, единственными простыми числами, удовлетворяющими условию задачи, являются 2, 3 и 5.

Ответ: 2, 3, 5.