Номер 282, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 282, страница 436.

Условие.

282 ЕГЭ Решите неравенство

$\frac{\log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) + \log_{0.25}(6x^2 - 12x - 9)}{x^2 - 2x - 8} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное неравенство:

$$ \frac{\log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) + \log_{0.25}(6x^2 - 12x - 9)}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства.

Для этого решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^4 - 4x^3 + 4x^2 > 0 \\ 6x^2 - 12x - 9 > 0 \\ x^2 - 2x - 8 \neq 0 \end{cases} $$

а) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 > 0 \implies x^2(x^2 - 4x + 4) > 0 \implies x^2(x-2)^2 > 0$.

Произведение двух квадратов всегда неотрицательно. Равенство нулю достигается при $x=0$ и $x=2$. Следовательно, для выполнения строгого неравенства необходимо $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

б) $6x^2 - 12x - 9 > 0$. Разделим обе части на 3: $2x^2 - 4x - 3 > 0$.

Найдём корни квадратного трёхчлена $2x^2 - 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

Парабола $y=2x^2 - 4x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ или $x > \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.

в) $x^2 - 2x - 8 \neq 0$.

Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ по теореме Виета равны -2 и 4. Следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 4$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ. Заметим, что $3 < \sqrt{10} < 4$, поэтому $\frac{2 - \sqrt{10}}{2} \approx -0.58$ и $\frac{2 + \sqrt{10}}{2} \approx 2.58$. Таким образом, интервалы из пункта (б) не содержат точки 0 и 2, поэтому условие (а) выполняется автоматически. Остаётся исключить точки -2 и 4.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \frac{2 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Упростим исходное неравенство.

Преобразуем логарифмы в числителе к одному основанию 4:

$\log_{0.25}(6x^2 - 12x - 9) = \log_{4^{-1}}(6x^2 - 12x - 9) = -\log_4(6x^2 - 12x - 9)$.

$\log_4(x^4 - 4x^3 + 4x^2) = \log_4(x^2(x-2)^2) = \log_4((x(x-2))^2)$.

На ОДЗ выражение $x(x-2)$ всегда положительно, поэтому $\log_4((x(x-2))^2) = 2\log_4(x(x-2)) = 2\log_4(x^2-2x) = \log_4((x^2-2x)^2)$.

Числитель примет вид:

$\log_4((x^2-2x)^2) - \log_4(6x^2-12x-9) = \log_4\left(\frac{(x^2-2x)^2}{6x^2-12x-9}\right)$.

Неравенство преобразуется к виду:

$$ \frac{\log_4\left(\frac{(x^2-2x)^2}{6x^2-12x-9}\right)}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

3. Решим неравенство методом рационализации.

На ОДЗ данное неравенство равносильно следующему:

$$ \frac{\frac{(x^2-2x)^2}{6x^2-12x-9} - 1}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

$$ \frac{(x^2-2x)^2 - (6x^2-12x-9)}{(6x^2-12x-9)(x^2 - 2x - 8)} \ge 0 $$

Так как на ОДЗ выражение $6x^2-12x-9$ строго положительно, можно умножить обе части на него, не меняя знака неравенства:

$$ \frac{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 6x^2 + 12x + 9}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

$$ \frac{x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9}{x^2 - 2x - 8} \ge 0 $$

Разложим числитель $P(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9$ на множители. Можно заметить, что $P(x)=(x^2-2x-3)^2$. Знаменатель $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$.

Неравенство принимает вид:

$$ \frac{(x^2-2x-3)^2}{(x-4)(x+2)} \ge 0 $$

$$ \frac{((x-3)(x+1))^2}{(x-4)(x+2)} \ge 0 \implies \frac{(x-3)^2(x+1)^2}{(x-4)(x+2)} \ge 0 $$

Числитель $(x-3)^2(x+1)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство выполняется, если:

а) Числитель равен нулю, то есть $x=3$ или $x=-1$.

б) Знаменатель строго положителен, то есть $(x-4)(x+2) > 0$. Решением этого является $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$.

Объединяя эти случаи, получаем решение рационализированного неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \cup \{-1, 3\}$.

4. Совместим полученное решение с ОДЗ.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \frac{2 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 4) \cup (4, +\infty)$.

Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \cup \{-1, 3\}$.

Пересечение этих множеств:

– Интервал $(-\infty, -2)$ полностью входит в ОДЗ.

– Интервал $(4, +\infty)$ полностью входит в ОДЗ.

– Проверим точку $x=-1$. Так как $-2 < -1$ и $-1 < \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ (поскольку $-2 < 2-\sqrt{10} \iff \sqrt{10} < 4$), точка $x=-1$ входит в ОДЗ.

– Проверим точку $x=3$. Так как $\frac{2 + \sqrt{10}}{2} < 3$ (поскольку $2+\sqrt{10} < 6 \iff \sqrt{10} < 4$) и $3 < 4$, точка $x=3$ входит в ОДЗ.

Таким образом, все части решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup \{-1, 3\} \cup (4, +\infty)$.