Номер 275, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 275, страница 436.

Условие.

275 Найдите наибольшее значение функции $y = (x - 2)^2(x + 4) + 3$ на отрезке $[1; 3]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, нужно найти значения функции на концах этого отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее.

Дана функция $y = (x - 2)^2(x + 4) + 3$ на отрезке $[1; 3]$.

1. Найдем производную функции $y'(x)$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

$y'(x) = ((x-2)^2(x+4)+3)' = ((x-2)^2)'(x+4) + (x-2)^2(x+4)'$

$y'(x) = (2(x-2) \cdot 1)(x+4) + (x-2)^2 \cdot 1$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$y'(x) = (x-2)(2(x+4) + (x-2))$

$y'(x) = (x-2)(2x+8+x-2)$

$y'(x) = (x-2)(3x+6) = 3(x-2)(x+2)$

2. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки (точки возможного экстремума):

$y'(x) = 0$

$3(x-2)(x+2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Проверим принадлежность критических точек отрезку $[1; 3]$.

Корень $x_1 = 2$ принадлежит отрезку $[1; 3]$.

Корень $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 3]$.

Следовательно, нам нужно вычислить значения функции в точках $x=1$, $x=2$ и $x=3$.

4. Вычислим значения функции в найденных точках и на концах отрезка.

При $x = 1$ (левый конец отрезка):

$y(1) = (1 - 2)^2(1 + 4) + 3 = (-1)^2 \cdot 5 + 3 = 1 \cdot 5 + 3 = 8$

При $x = 2$ (критическая точка):

$y(2) = (2 - 2)^2(2 + 4) + 3 = 0^2 \cdot 6 + 3 = 0 + 3 = 3$

При $x = 3$ (правый конец отрезка):

$y(3) = (3 - 2)^2(3 + 4) + 3 = 1^2 \cdot 7 + 3 = 1 \cdot 7 + 3 = 10$

5. Выберем наибольшее значение.

Сравниваем полученные значения: $y(1) = 8$, $y(2) = 3$, $y(3) = 10$.

Наибольшее из этих значений равно $10$.

Ответ: $10$.