Номер 270, страница 435 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 270, страница 435.

Условие.

270 В шкафу есть 3 вертикальных ряда, по 6 ящиков в каждом ряду. В один ящик в каждом ряду спрятали одну монету. Какова вероятность того, что человек, не знающий, куда спрятали монеты, выдвинув по одному ящику в каждом ряду, найдёт:

а) все три монеты;

б) монеты в двух первых рядах и не найдёт в третьем;

в) ровно две монеты;

г) монету в первом ряду и не найдёт в остальных рядах;

д) ровно одну монету;

е) хотя бы одну монету?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи определим базовые вероятности. В шкафу 3 вертикальных ряда, в каждом из которых по 6 ящиков. В каждом ряду в одном из ящиков спрятана монета. Человек выдвигает по одному ящику из каждого ряда.

Пусть событие $A_i$ заключается в том, что человек нашёл монету в $i$-ом ряду (где $i=1, 2, 3$). Поскольку в каждом ряду 6 ящиков и только в одном есть монета, вероятность найти монету в одном конкретном ряду, выбрав один ящик, равна: $P(A_i) = \frac{1}{6}$

Пусть событие $\bar{A_i}$ заключается в том, что человек не нашёл монету в $i$-ом ряду. Вероятность этого события: $P(\bar{A_i}) = 1 - P(A_i) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Выбор ящика в каждом ряду является независимым событием, поэтому для нахождения вероятности совместного наступления нескольких событий мы будем перемножать их вероятности.

а) все три монеты;

Это означает, что человек должен найти монету в первом ряду, И во втором ряду, И в третьем ряду. Вероятность этого события $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$ равна произведению вероятностей этих независимых событий:
$P(\text{все три}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216}$
Ответ: $P = \frac{1}{216}$

б) монеты в двух первых рядах и не найдёт в третьем;

Это означает, что человек должен найти монету в первом ряду, И во втором ряду, И не найти в третьем ряду. Вероятность этого события $P(A_1 \cap A_2 \cap \bar{A_3})$:
$P(\text{найти в 1-м и 2-м, не найти в 3-м}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\bar{A_3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}$
Ответ: $P = \frac{5}{216}$

в) ровно две монеты;

Это событие может произойти тремя взаимоисключающими способами:
1. Найти в 1-м и 2-м рядах, не найти в 3-м. Вероятность: $P(A_1 \cap A_2 \cap \bar{A_3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}$
2. Найти в 1-м и 3-м рядах, не найти в 2-м. Вероятность: $P(A_1 \cap \bar{A_2} \cap A_3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$
3. Найти в 2-м и 3-м рядах, не найти в 1-м. Вероятность: $P(\bar{A_1} \cap A_2 \cap A_3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих трёх исходов. Также это можно рассчитать по формуле Бернулли, где число испытаний $n=3$, число успехов $k=2$, вероятность успеха $p = \frac{1}{6}$:
$P(\text{ровно 2}) = \binom{3}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{3-2} = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$
Ответ: $P = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$

г) монету в первом ряду и не найдёт в остальных рядах;

Это означает, что человек должен найти монету в первом ряду, И не найти во втором, И не найти в третьем. Вероятность этого события $P(A_1 \cap \bar{A_2} \cap \bar{A_3})$:
$P(\text{найти в 1-м, не найти в 2-м и 3-м}) = P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot P(\bar{A_3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$
Ответ: $P = \frac{25}{216}$

д) ровно одну монету;

Это событие может произойти тремя взаимоисключающими способами (найти монету только в первом, или только во втором, или только в третьем ряду). Вероятность каждого из этих способов равна $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$.
Общая вероятность равна сумме вероятностей этих трёх исходов. По формуле Бернулли ($n=3, k=1, p = \frac{1}{6}$):
$P(\text{ровно 1}) = \binom{3}{1} \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{3-1} = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$
Ответ: $P = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$

е) хотя бы одну монету?

Событие "найти хотя бы одну монету" является противоположным событию "не найти ни одной монеты". Проще найти вероятность не найти ни одной монеты и вычесть её из 1.
Вероятность не найти ни одной монеты:
$P(\text{ни одной}) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot P(\bar{A_3}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}$
Тогда вероятность найти хотя бы одну монету:
$P(\text{хотя бы 1}) = 1 - P(\text{ни одной}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$
Ответ: $P = \frac{91}{216}$