Номер 272, страница 435 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 272, страница 435.

Условие.

272 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из трёх мишеней. Вероятность попадания в мишень равна 0,9. Определите вероятность события:

а) стрелок не попал в первую мишень и попал в другие мишени;

б) стрелок попал в какие-либо две мишени и не попал в третью;

в) стрелок попал в первую мишень и не попал в другие мишени;

г) стрелок попал ровно в одну мишень;

д) стрелок попал хотя бы в одну мишень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $p$ - вероятность попадания в мишень при одном выстреле, а $q$ - вероятность промаха. По условию, $p = 0.9$. Так как события попадания и промаха являются противоположными, то сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, вероятность промаха $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$. Стрелок делает три независимых выстрела.

а) стрелок не попал в первую мишень и попал в другие мишени;
Это событие представляет собой комбинацию трех независимых событий: промах при первом выстреле (вероятность $q$), попадание при втором выстреле (вероятность $p$) и попадание при третьем выстреле (вероятность $p$). Вероятность одновременного наступления этих событий равна произведению их вероятностей.
$P = q \times p \times p = 0.1 \times 0.9 \times 0.9 = 0.081$.
Ответ: 0,081

б) стрелок попал в какие-либо две мишени и не попал в третью;
Это означает, что из трех выстрелов было ровно два попадания и один промах. Такие комбинации могут быть следующими: попал-попал-промах, попал-промах-попал, промах-попал-попал. Количество таких комбинаций можно рассчитать с помощью числа сочетаний $C_n^k$, где $n=3$ (всего выстрелов), а $k=2$ (количество попаданий).
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.
Вероятность каждой такой комбинации одинакова и равна $p^2 \times q = 0.9^2 \times 0.1 = 0.81 \times 0.1 = 0.081$.
Чтобы найти общую вероятность, нужно умножить количество комбинаций на вероятность одной из них:
$P = C_3^2 \times p^2 \times q^1 = 3 \times 0.081 = 0.243$.
Ответ: 0,243

в) стрелок попал в первую мишень и не попал в другие мишени;
Это событие является комбинацией трех независимых событий: попадание при первом выстреле (вероятность $p$), промах при втором (вероятность $q$) и промах при третьем (вероятность $q$). Вероятность этой последовательности равна произведению их вероятностей.
$P = p \times q \times q = 0.9 \times 0.1 \times 0.1 = 0.009$.
Ответ: 0,009

г) стрелок попал ровно в одну мишень;
Это событие означает, что из трех выстрелов было ровно одно попадание и два промаха. Количество таких комбинаций (попал-промах-промах, промах-попал-промах, промах-промах-попал) равно $C_3^1 = 3$.
Вероятность каждой такой комбинации равна $p^1 \times q^2 = 0.9 \times 0.1^2 = 0.9 \times 0.01 = 0.009$.
Итоговая вероятность:
$P = C_3^1 \times p^1 \times q^2 = 3 \times 0.009 = 0.027$.
Ответ: 0,027

д) стрелок попал хотя бы в одну мишень.
Событие "попал хотя бы в одну мишень" является противоположным событию "не попал ни в одну мишень" (т.е. промахнулся все три раза). Проще всего вычислить вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.
Вероятность промахнуться все три раза:
$P(\text{все промахи}) = q \times q \times q = q^3 = 0.1^3 = 0.001$.
Следовательно, вероятность попасть хотя бы в одну мишень:
$P = 1 - P(\text{все промахи}) = 1 - 0.001 = 0.999$.
Ответ: 0,999