Номер 273, страница 435 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 273, страница 435.

Условие.

273 ЕГЭ В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ (мг) — начальная масса изотопа, $t$ (мин) — время, прошедшее от начального момента, $T$ (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m_0 = 48 \text{ мг}$. Период его полураспада $T = 8 \text{ мин}$. Через сколько минут масса изотопа будет равна $3 \text{ мг}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи используется закон радиоактивного распада, который представлен в условии в виде формулы:
$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

В данной формуле:
$m(t)$ — масса изотопа в момент времени $t$,
$m_0$ — начальная масса изотопа,
$t$ — время, прошедшее с начального момента (в минутах),
$T$ — период полураспада (в минутах).

Из условия задачи нам известны следующие значения:
Начальная масса $m_0 = 48$ мг.
Период полураспада $T = 8$ мин.
Масса, до которой должен распасться изотоп, $m(t) = 3$ мг.

Необходимо найти время $t$, за которое это произойдет. Подставим все известные данные в формулу:
$3 = 48 \cdot 2^{-\frac{t}{8}}$

Для того чтобы решить это показательное уравнение, выразим множитель со степенью. Для этого разделим обе части уравнения на 48:
$\frac{3}{48} = 2^{-\frac{t}{8}}$

Сократим дробь в левой части:
$\frac{3 \div 3}{48 \div 3} = \frac{1}{16}$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{1}{16} = 2^{-\frac{t}{8}}$

Чтобы продолжить решение, представим левую часть уравнения, $\frac{1}{16}$, как степень с основанием 2. Поскольку $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Подставим это значение обратно в уравнение:
$2^{-4} = 2^{-\frac{t}{8}}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения одинаковы (равны 2), мы можем приравнять их показатели:
$-4 = -\frac{t}{8}$

Чтобы найти $t$, умножим обе части уравнения на -8:
$t = -4 \cdot (-8)$
$t = 32$

Таким образом, масса изотопа станет равной 3 мг через 32 минуты.

Ответ: 32