Страница 435 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

270 В шкафу есть 3 вертикальных ряда, по 6 ящиков в каждом ряду. В один ящик в каждом ряду спрятали одну монету. Какова вероятность того, что человек, не знающий, куда спрятали монеты, выдвинув по одному ящику в каждом ряду, найдёт:

а) все три монеты;

б) монеты в двух первых рядах и не найдёт в третьем;

в) ровно две монеты;

г) монету в первом ряду и не найдёт в остальных рядах;

д) ровно одну монету;

е) хотя бы одну монету?

Для решения задачи определим базовые вероятности. В шкафу 3 вертикальных ряда, в каждом из которых по 6 ящиков. В каждом ряду в одном из ящиков спрятана монета. Человек выдвигает по одному ящику из каждого ряда.

Пусть событие $A_i$ заключается в том, что человек нашёл монету в $i$-ом ряду (где $i=1, 2, 3$). Поскольку в каждом ряду 6 ящиков и только в одном есть монета, вероятность найти монету в одном конкретном ряду, выбрав один ящик, равна: $P(A_i) = \frac{1}{6}$

Пусть событие $\bar{A_i}$ заключается в том, что человек не нашёл монету в $i$-ом ряду. Вероятность этого события: $P(\bar{A_i}) = 1 - P(A_i) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Выбор ящика в каждом ряду является независимым событием, поэтому для нахождения вероятности совместного наступления нескольких событий мы будем перемножать их вероятности.

а) все три монеты;

Это означает, что человек должен найти монету в первом ряду, И во втором ряду, И в третьем ряду. Вероятность этого события $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$ равна произведению вероятностей этих независимых событий:
$P(\text{все три}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216}$
Ответ: $P = \frac{1}{216}$

б) монеты в двух первых рядах и не найдёт в третьем;

Это означает, что человек должен найти монету в первом ряду, И во втором ряду, И не найти в третьем ряду. Вероятность этого события $P(A_1 \cap A_2 \cap \bar{A_3})$:
$P(\text{найти в 1-м и 2-м, не найти в 3-м}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\bar{A_3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}$
Ответ: $P = \frac{5}{216}$

в) ровно две монеты;

Это событие может произойти тремя взаимоисключающими способами:
1. Найти в 1-м и 2-м рядах, не найти в 3-м. Вероятность: $P(A_1 \cap A_2 \cap \bar{A_3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}$
2. Найти в 1-м и 3-м рядах, не найти в 2-м. Вероятность: $P(A_1 \cap \bar{A_2} \cap A_3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$
3. Найти в 2-м и 3-м рядах, не найти в 1-м. Вероятность: $P(\bar{A_1} \cap A_2 \cap A_3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих трёх исходов. Также это можно рассчитать по формуле Бернулли, где число испытаний $n=3$, число успехов $k=2$, вероятность успеха $p = \frac{1}{6}$:
$P(\text{ровно 2}) = \binom{3}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{3-2} = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$
Ответ: $P = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$

г) монету в первом ряду и не найдёт в остальных рядах;

Это означает, что человек должен найти монету в первом ряду, И не найти во втором, И не найти в третьем. Вероятность этого события $P(A_1 \cap \bar{A_2} \cap \bar{A_3})$:
$P(\text{найти в 1-м, не найти в 2-м и 3-м}) = P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot P(\bar{A_3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$
Ответ: $P = \frac{25}{216}$

д) ровно одну монету;

Это событие может произойти тремя взаимоисключающими способами (найти монету только в первом, или только во втором, или только в третьем ряду). Вероятность каждого из этих способов равна $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$.
Общая вероятность равна сумме вероятностей этих трёх исходов. По формуле Бернулли ($n=3, k=1, p = \frac{1}{6}$):
$P(\text{ровно 1}) = \binom{3}{1} \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{3-1} = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$
Ответ: $P = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$

е) хотя бы одну монету?

Событие "найти хотя бы одну монету" является противоположным событию "не найти ни одной монеты". Проще найти вероятность не найти ни одной монеты и вычесть её из 1.
Вероятность не найти ни одной монеты:
$P(\text{ни одной}) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot P(\bar{A_3}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}$
Тогда вероятность найти хотя бы одну монету:
$P(\text{хотя бы 1}) = 1 - P(\text{ни одной}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$
Ответ: $P = \frac{91}{216}$

271 Учитель запланировал проверить две домашние работы из шести на текущей неделе. Эти две работы учитель выбирает случайным образом и за невыполнение домашней работы ставит в журнал отметку «1». Определите вероятность события:

a) $A$ — «Аня получит «1», если она не выполнит одну домашнюю работу из этих шести»;

b) $B$ — «Боря получит ровно одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»;

c) $C$ — «Вася получит хотя бы одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»;

d) $D$ — «Гоша получит ровно одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести»;

e) $E$ — «Денис получит хотя бы одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести».

Для решения всех пунктов задачи сначала найдем общее число исходов. Учитель случайным образом выбирает 2 домашние работы из 6 для проверки. Порядок выбора работ не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае общее количество домашних работ $n=6$, а количество работ для проверки $k=2$. Общее число возможных пар работ, которые может выбрать учитель, равно:

$N = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Таким образом, существует 15 равновероятных исходов выбора двух работ для проверки.

а) A — «Аня получит «1», если она не выполнит одну домашнюю работу из этих шести»

Аня не выполнила 1 работу (назовем ее «невыполненной»), а остальные 5 работ выполнила (назовем их «выполненными»). Аня получит оценку «1», если учитель для проверки выберет ту самую одну «невыполненную» работу и одну из пяти «выполненных» работ.

Число способов выбрать 1 «невыполненную» работу из одной имеющейся: $C_1^1 = 1$.

Число способов выбрать 1 «выполненную» работу из пяти имеющихся: $C_5^1 = 5$.

Число благоприятных исходов (когда проверяется одна «невыполненная» и одна «выполненная» работа) равно произведению этих двух величин:

$M_A = C_1^1 \times C_5^1 = 1 \times 5 = 5$.

Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{M_A}{N} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) B — «Боря получит ровно одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»

Боря не выполнил 2 работы («невыполненные») и выполнил 4 работы («выполненные»). Чтобы Боря получил ровно одну «1», учитель должен выбрать для проверки ровно одну из двух «невыполненных» работ и ровно одну из четырех «выполненных».

Число способов выбрать 1 «невыполненную» работу из двух: $C_2^1 = 2$.

Число способов выбрать 1 «выполненную» работу из четырех: $C_4^1 = 4$.

Число благоприятных исходов:

$M_B = C_2^1 \times C_4^1 = 2 \times 4 = 8$.

Вероятность события B:

$P(B) = \frac{M_B}{N} = \frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{8}{15}$.

в) C — «Вася получит хотя бы одну «1», если он не выполнит две домашние работы из этих шести»

У Васи 2 «невыполненные» и 4 «выполненные» работы. Событие C («получит хотя бы одну «1»») означает, что Вася получит либо одну «1», либо две «1». Проще найти вероятность противоположного события C' — «Вася не получит ни одной «1»», а затем вычесть ее из 1.

Вася не получит ни одной «1» только в том случае, если учитель выберет для проверки две работы из тех четырех, которые Вася выполнил.

Число способов выбрать 2 «выполненные» работы из четырех: $M_{C'} = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Вероятность того, что Вася не получит «1»:

$P(C') = \frac{M_{C'}}{N} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, вероятность события C (получить хотя бы одну «1») равна:

$P(C) = 1 - P(C') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) D — «Гоша получит ровно одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести»

Гоша не выполнил 3 работы («невыполненные») и выполнил 3 работы («выполненные»). Чтобы Гоша получил ровно одну «1», учитель должен выбрать для проверки одну из трех «невыполненных» работ и одну из трех «выполненных».

Число способов выбрать 1 «невыполненную» работу из трех: $C_3^1 = 3$.

Число способов выбрать 1 «выполненную» работу из трех: $C_3^1 = 3$.

Число благоприятных исходов:

$M_D = C_3^1 \times C_3^1 = 3 \times 3 = 9$.

Вероятность события D:

$P(D) = \frac{M_D}{N} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

д) E — «Денис получит хотя бы одну «1», если он не выполнит три домашние работы из этих шести»

У Дениса, как и у Гоши, 3 «невыполненные» и 3 «выполненные» работы. Событие E («получит хотя бы одну «1»») означает, что Денис получит либо одну, либо две «1». Найдем вероятность противоположного события E' — «Денис не получит ни одной «1»».

Денис не получит ни одной «1», если учитель выберет для проверки две работы из тех трех, которые Денис выполнил.

Число способов выбрать 2 «выполненные» работы из трех: $M_{E'} = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.

Вероятность того, что Денис не получит «1»:

$P(E') = \frac{M_{E'}}{N} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Следовательно, вероятность события E (получить хотя бы одну «1») равна:

$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

272 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из трёх мишеней. Вероятность попадания в мишень равна 0,9. Определите вероятность события:

а) стрелок не попал в первую мишень и попал в другие мишени;

б) стрелок попал в какие-либо две мишени и не попал в третью;

в) стрелок попал в первую мишень и не попал в другие мишени;

г) стрелок попал ровно в одну мишень;

д) стрелок попал хотя бы в одну мишень.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $p$ - вероятность попадания в мишень при одном выстреле, а $q$ - вероятность промаха. По условию, $p = 0.9$. Так как события попадания и промаха являются противоположными, то сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, вероятность промаха $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$. Стрелок делает три независимых выстрела.

а) стрелок не попал в первую мишень и попал в другие мишени;
Это событие представляет собой комбинацию трех независимых событий: промах при первом выстреле (вероятность $q$), попадание при втором выстреле (вероятность $p$) и попадание при третьем выстреле (вероятность $p$). Вероятность одновременного наступления этих событий равна произведению их вероятностей.
$P = q \times p \times p = 0.1 \times 0.9 \times 0.9 = 0.081$.
Ответ: 0,081

б) стрелок попал в какие-либо две мишени и не попал в третью;
Это означает, что из трех выстрелов было ровно два попадания и один промах. Такие комбинации могут быть следующими: попал-попал-промах, попал-промах-попал, промах-попал-попал. Количество таких комбинаций можно рассчитать с помощью числа сочетаний $C_n^k$, где $n=3$ (всего выстрелов), а $k=2$ (количество попаданий).
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.
Вероятность каждой такой комбинации одинакова и равна $p^2 \times q = 0.9^2 \times 0.1 = 0.81 \times 0.1 = 0.081$.
Чтобы найти общую вероятность, нужно умножить количество комбинаций на вероятность одной из них:
$P = C_3^2 \times p^2 \times q^1 = 3 \times 0.081 = 0.243$.
Ответ: 0,243

в) стрелок попал в первую мишень и не попал в другие мишени;
Это событие является комбинацией трех независимых событий: попадание при первом выстреле (вероятность $p$), промах при втором (вероятность $q$) и промах при третьем (вероятность $q$). Вероятность этой последовательности равна произведению их вероятностей.
$P = p \times q \times q = 0.9 \times 0.1 \times 0.1 = 0.009$.
Ответ: 0,009

г) стрелок попал ровно в одну мишень;
Это событие означает, что из трех выстрелов было ровно одно попадание и два промаха. Количество таких комбинаций (попал-промах-промах, промах-попал-промах, промах-промах-попал) равно $C_3^1 = 3$.
Вероятность каждой такой комбинации равна $p^1 \times q^2 = 0.9 \times 0.1^2 = 0.9 \times 0.01 = 0.009$.
Итоговая вероятность:
$P = C_3^1 \times p^1 \times q^2 = 3 \times 0.009 = 0.027$.
Ответ: 0,027

д) стрелок попал хотя бы в одну мишень.
Событие "попал хотя бы в одну мишень" является противоположным событию "не попал ни в одну мишень" (т.е. промахнулся все три раза). Проще всего вычислить вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.
Вероятность промахнуться все три раза:
$P(\text{все промахи}) = q \times q \times q = q^3 = 0.1^3 = 0.001$.
Следовательно, вероятность попасть хотя бы в одну мишень:
$P = 1 - P(\text{все промахи}) = 1 - 0.001 = 0.999$.
Ответ: 0,999

273 ЕГЭ В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ (мг) — начальная масса изотопа, $t$ (мин) — время, прошедшее от начального момента, $T$ (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m_0 = 48 \text{ мг}$. Период его полураспада $T = 8 \text{ мин}$. Через сколько минут масса изотопа будет равна $3 \text{ мг}$?

Для решения задачи используется закон радиоактивного распада, который представлен в условии в виде формулы:
$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

В данной формуле:
$m(t)$ — масса изотопа в момент времени $t$,
$m_0$ — начальная масса изотопа,
$t$ — время, прошедшее с начального момента (в минутах),
$T$ — период полураспада (в минутах).

Из условия задачи нам известны следующие значения:
Начальная масса $m_0 = 48$ мг.
Период полураспада $T = 8$ мин.
Масса, до которой должен распасться изотоп, $m(t) = 3$ мг.

Необходимо найти время $t$, за которое это произойдет. Подставим все известные данные в формулу:
$3 = 48 \cdot 2^{-\frac{t}{8}}$

Для того чтобы решить это показательное уравнение, выразим множитель со степенью. Для этого разделим обе части уравнения на 48:
$\frac{3}{48} = 2^{-\frac{t}{8}}$

Сократим дробь в левой части:
$\frac{3 \div 3}{48 \div 3} = \frac{1}{16}$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{1}{16} = 2^{-\frac{t}{8}}$

Чтобы продолжить решение, представим левую часть уравнения, $\frac{1}{16}$, как степень с основанием 2. Поскольку $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Подставим это значение обратно в уравнение:
$2^{-4} = 2^{-\frac{t}{8}}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения одинаковы (равны 2), мы можем приравнять их показатели:
$-4 = -\frac{t}{8}$

Чтобы найти $t$, умножим обе части уравнения на -8:
$t = -4 \cdot (-8)$
$t = 32$

Таким образом, масса изотопа станет равной 3 мг через 32 минуты.

Ответ: 32

274 При каждом неотрицательном значении $a$ найдите наименьшее значение функции

$f(x) = x^2 + a + \frac{1}{x^2+a}$.

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = x^2 + a + \frac{1}{x^2+a}$ при заданном условии $a \ge 0$, воспользуемся методом замены переменной.

Введем новую переменную $y = x^2 + a$. Поскольку $x$ может быть любым действительным числом, $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$. Учитывая, что по условию $a \ge 0$, получаем, что $y = x^2 + a \ge 0 + a = a$. Таким образом, новая переменная $y$ может принимать любые значения из промежутка $[a, \infty)$.

Заметим, что знаменатель $x^2+a$ не может быть равен нулю, если $a>0$. Если $a=0$, то $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$. В любом случае, $y = x^2+a > 0$.

После замены исходная функция примет вид $g(y) = y + \frac{1}{y}$. Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $g(y)$ на промежутке $y \in [a, \infty)$.

Исследуем функцию $g(y)$ на экстремумы. Для этого найдем ее производную:

$g'(y) = \left(y + \frac{1}{y}\right)' = 1 - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2-1}{y^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $g'(y) = 0$.

$\frac{y^2-1}{y^2} = 0$

Так как $y > 0$, то $y^2-1=0$, откуда $y=1$ (корень $y=-1$ не рассматриваем).

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $y=1$ делит область $y>0$:

• Если $0 < y < 1$, то $y^2 < 1$, $y^2-1 < 0$, следовательно, $g'(y) < 0$. Функция $g(y)$ на этом интервале убывает.
• Если $y > 1$, то $y^2 > 1$, $y^2-1 > 0$, следовательно, $g'(y) > 0$. Функция $g(y)$ на этом интервале возрастает.

Таким образом, точка $y=1$ является точкой глобального минимума функции $g(y)$ при $y>0$. Наименьшее значение в этой точке составляет $g(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.

Теперь необходимо найти наименьшее значение функции $g(y)$ на отрезке $[a, \infty)$. Это значение зависит от расположения точки минимума $y=1$ относительно промежутка $[a, \infty)$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 \le a \le 1$

В этом случае точка минимума $y=1$ принадлежит промежутку $[a, \infty)$. Следовательно, наименьшее значение функции $g(y)$ на этом промежутке совпадает с ее глобальным минимумом и равно 2. Это значение достигается при $y=1$, то есть $x^2+a = 1$. Отсюда $x^2=1-a$. Так как $0 \le a \le 1$, то $1-a \ge 0$, значит, существуют действительные значения $x = \pm\sqrt{1-a}$, при которых функция $f(x)$ принимает свое наименьшее значение.

Случай 2: $a > 1$

В этом случае точка минимума $y=1$ не принадлежит промежутку $[a, \infty)$, так как $a > 1$. На всем промежутке $[a, \infty)$ функция $g(y)$ является возрастающей (поскольку для любого $y \ge a > 1$ производная $g'(y) > 0$). Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается на его левой границе, то есть при $y=a$. Это наименьшее значение равно $g(a) = a + \frac{1}{a}$. Оно достигается при $x^2+a=a$, то есть при $x^2=0$, откуда $x=0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 2 при $0 \le a \le 1$, и равно $a + \frac{1}{a}$ при $a > 1$.