Страница 433 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

264 a) В озеро впадают две реки. На первой реке, в 35 км от устья, расположен пункт А. На второй реке, в 60 км от устья, расположен пункт С. Расстояние между устьями рек 15 км. Моторная лодка прошла путь от А до С за 10 ч 25 мин, а обратно за 8 ч 45 мин. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения во второй реке в 1,5 раза больше скорости течения в первой реке?

б) Из порта вышли два корабля. Они двигаются с постоянной скоростью, причём первый в 2 раза быстрее второго. Через некоторое время от второго корабля отошёл быстроходный катер, догнал первый корабль и возвратился обратно, затратив на путь в оба конца 5 ч. Затем он снова догнал первый корабль и возвратился, затратив всего 9 ч. Сколько времени догонял катер первый корабль в свой первый рейс?

а)

Обозначим искомые величины:

• $v_л$ – собственная скорость лодки (в стоячей воде), км/ч.
• $v_1$ – скорость течения в первой реке, км/ч.
• $v_2$ – скорость течения во второй реке, км/ч.

По условию задачи, скорость течения во второй реке в 1,5 раза больше скорости течения в первой: $v_2 = 1.5 v_1$.

Рассмотрим путь лодки из пункта А в пункт С. Он состоит из трех участков:

1. 35 км по течению первой реки. Скорость лодки: $v_л + v_1$. Время: $t_{A \to у1} = \frac{35}{v_л + v_1}$.
2. 15 км по озеру (течения нет). Скорость лодки: $v_л$. Время: $t_{озеро} = \frac{15}{v_л}$.
3. 60 км против течения второй реки. Скорость лодки: $v_л - v_2 = v_л - 1.5 v_1$. Время: $t_{у2 \to C} = \frac{60}{v_л - 1.5 v_1}$.

Общее время в пути из А в С составляет 10 ч 25 мин. Переведем это время в часы: $t_{АС} = 10 \text{ ч } 25 \text{ мин} = 10 + \frac{25}{60} = 10 + \frac{5}{12} = \frac{125}{12}$ часа.

Составим первое уравнение: $$ \frac{35}{v_л + v_1} + \frac{15}{v_л} + \frac{60}{v_л - 1.5 v_1} = \frac{125}{12} \quad (1) $$

Теперь рассмотрим обратный путь из С в А. Он также состоит из трех участков:

1. 60 км по течению второй реки. Скорость лодки: $v_л + v_2 = v_л + 1.5 v_1$. Время: $t_{C \to у2} = \frac{60}{v_л + 1.5 v_1}$.
2. 15 км по озеру. Время: $t_{озеро} = \frac{15}{v_л}$.
3. 35 км против течения первой реки. Скорость лодки: $v_л - v_1$. Время: $t_{у1 \to A} = \frac{35}{v_л - v_1}$.

Общее время в пути из С в А составляет 8 ч 45 мин. Переведем это время в часы: $t_{СА} = 8 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 8 + \frac{45}{60} = 8 + \frac{3}{4} = \frac{35}{4}$ часа.

Составим второе уравнение: $$ \frac{60}{v_л + 1.5 v_1} + \frac{15}{v_л} + \frac{35}{v_л - v_1} = \frac{35}{4} \quad (2) $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Преобразуем ее. Вычтем из уравнения (1) уравнение (2). Время движения по озеру одинаково и сократится. $$ \left(\frac{35}{v_л + v_1} + \frac{60}{v_л - 1.5 v_1}\right) - \left(\frac{60}{v_л + 1.5 v_1} + \frac{35}{v_л - v_1}\right) = \frac{125}{12} - \frac{35}{4} $$ Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{35}{4} = \frac{105}{12}$. $$ \frac{125}{12} - \frac{105}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} $$ Сгруппируем слагаемые в левой части: $$ \left(\frac{35}{v_л + v_1} - \frac{35}{v_л - v_1}\right) + \left(\frac{60}{v_л - 1.5 v_1} - \frac{60}{v_л + 1.5 v_1}\right) = \frac{5}{3} $$ Приведем к общему знаменателю выражения в скобках: $$ 35 \frac{(v_л - v_1) - (v_л + v_1)}{(v_л + v_1)(v_л - v_1)} + 60 \frac{(v_л + 1.5 v_1) - (v_л - 1.5 v_1)}{(v_л - 1.5 v_1)(v_л + 1.5 v_1)} = \frac{5}{3} $$ $$ 35 \frac{-2v_1}{v_л^2 - v_1^2} + 60 \frac{3v_1}{v_л^2 - (1.5 v_1)^2} = \frac{5}{3} $$ $$ \frac{-70v_1}{v_л^2 - v_1^2} + \frac{180v_1}{v_л^2 - 2.25v_1^2} = \frac{5}{3} $$ Вынесем $v_1$ за скобки (так как $v_1 \ne 0$): $$ v_1 \left( \frac{180}{v_л^2 - 2.25v_1^2} - \frac{70}{v_л^2 - v_1^2} \right) = \frac{5}{3} $$

Решение этой системы уравнений в общем виде довольно громоздко. Однако в задачах такого типа скорости часто являются целыми числами. Попробуем предположить, что скорость течения $v_1$ является небольшим целым числом, например $v_1=2$ км/ч. Подставим это значение в полученное уравнение: $$ 2 \left( \frac{180}{v_л^2 - 2.25 \cdot 2^2} - \frac{70}{v_л^2 - 2^2} \right) = \frac{5}{3} $$ $$ \frac{180}{v_л^2 - 9} - \frac{70}{v_л^2 - 4} = \frac{5}{6} $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{180(v_л^2 - 4) - 70(v_л^2 - 9)}{(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4)} = \frac{5}{6} $$ $$ \frac{180v_л^2 - 720 - 70v_л^2 + 630}{(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4)} = \frac{5}{6} $$ $$ \frac{110v_л^2 - 90}{(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4)} = \frac{5}{6} $$ $$ 6(110v_л^2 - 90) = 5(v_л^2 - 9)(v_л^2 - 4) $$ $$ 660v_л^2 - 540 = 5(v_л^4 - 13v_л^2 + 36) $$ $$ 660v_л^2 - 540 = 5v_л^4 - 65v_л^2 + 180 $$ $$ 5v_л^4 - 725v_л^2 + 720 = 0 $$ Разделим уравнение на 5: $$ v_л^4 - 145v_л^2 + 144 = 0 $$ Сделаем замену $z = v_л^2$. Получим квадратное уравнение: $$ z^2 - 145z + 144 = 0 $$ По теореме Виета, корни уравнения: $z_1 = 144$ и $z_2 = 1$. Возвращаемся к замене: 1. $v_л^2 = 144 \implies v_л = 12$ (так как скорость положительна). 2. $v_л^2 = 1 \implies v_л = 1$.

Лодка должна двигаться против течения второй реки, скорость которого $v_2 = 1.5 v_1 = 1.5 \cdot 2 = 3$ км/ч. Для этого собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения: $v_л > v_2$, т.е. $v_л > 3$. Следовательно, корень $v_л = 1$ не подходит.

Таким образом, единственное подходящее решение: $v_л = 12$ км/ч и $v_1 = 2$ км/ч. Проверим его, подставив в одно из исходных уравнений, например, в (2): $$ \frac{60}{12 + 1.5 \cdot 2} + \frac{15}{12} + \frac{35}{12 - 2} = \frac{60}{15} + \frac{15}{12} + \frac{35}{10} = 4 + 1.25 + 3.5 = 8.75 $$ $8.75$ часа = $8 \frac{3}{4}$ часа = $\frac{35}{4}$ часа. Значение совпадает с условием.

Скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

б)

Обозначим скорости:

• $v$ – скорость второго корабля.
• $2v$ – скорость первого корабля.
• $v_k$ – скорость катера.

Пусть катер отошел от второго корабля через время $T_0$ после выхода из порта.

Первый рейс катера (общая длительность 5 ч):

Пусть $t_1$ – время, за которое катер догонял первый корабль, а $t_2$ – время, за которое он возвращался ко второму кораблю. По условию, $t_1 + t_2 = 5$ ч.

1. Погоня за первым кораблем. На момент старта катера (время $T_0$) расстояние между первым и вторым кораблем было $S_0 = 2vT_0 - vT_0 = vT_0$. Катер догоняет первый корабль с относительной скоростью $v_k - 2v$. Время погони: $$ t_1 = \frac{S_0}{v_k - 2v} = \frac{vT_0}{v_k - 2v} \quad (1) $$

2. Возвращение ко второму кораблю. К моменту, когда катер догнал первый корабль (время $T_0+t_1$), расстояние между первым и вторым кораблем стало $S_1 = 2v(T_0+t_1) - v(T_0+t_1) = v(T_0+t_1)$. Катер и второй корабль движутся навстречу друг другу (катер к порту, корабль от порта). Их относительная скорость сближения равна $v_k + v$. Время возвращения: $$ t_2 = \frac{S_1}{v_k + v} = \frac{v(T_0+t_1)}{v_k + v} \quad (2) $$

Из (1) выразим $vT_0 = (v_k - 2v)t_1$ и подставим в (2): $$ t_2 = \frac{(v_k - 2v)t_1 + vt_1}{v_k + v} = \frac{(v_k - v)t_1}{v_k + v} $$ Отсюда получаем соотношение времен: $$ \frac{t_1}{t_2} = \frac{v_k+v}{v_k-v} $$ Используя $t_2 = 5 - t_1$, выразим $t_1$ через скорости. Пусть $K = v_k/v$: $$ \frac{t_1}{5-t_1} = \frac{Kv+v}{Kv-v} = \frac{K+1}{K-1} $$ $$ t_1(K-1) = 5(K+1) - t_1(K+1) \implies t_1(2K) = 5(K+1) \implies t_1 = \frac{5(K+1)}{2K} $$

Второй рейс катера (общая длительность 9 ч):

Катер начинает второй рейс сразу после окончания первого, в момент времени $T_0+5$. Пусть $t_3$ – время погони, а $t_4$ – время возвращения. По условию, $t_3+t_4=9$ ч. Рассуждая аналогично, получаем, что соотношение времен $\frac{t_3}{t_4} = \frac{v_k+v}{v_k-v}$ остается тем же. $$ \frac{t_3}{9-t_3} = \frac{K+1}{K-1} \implies t_3(2K) = 9(K+1) \implies t_3 = \frac{9(K+1)}{2K} $$

Теперь свяжем оба рейса. Расстояние, которое катер "наверстывал" в начале каждого рейса:

• Первый рейс: $S_0 = vT_0$. Из (1) имеем $vT_0 = (v_k - 2v)t_1$.
• Второй рейс: $S_2 = v(T_0+5)$. Аналогично, $v(T_0+5) = (v_k-2v)t_3$.

Разделив обе части на $v$ ($v \neq 0$): $$ T_0 = (K-2)t_1 $$ $$ T_0+5 = (K-2)t_3 $$ Подставим первое уравнение во второе: $$ (K-2)t_1 + 5 = (K-2)t_3 $$ $$ 5 = (K-2)(t_3-t_1) $$ Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_3$: $$ 5 = (K-2) \left(\frac{9(K+1)}{2K} - \frac{5(K+1)}{2K}\right) $$ $$ 5 = (K-2) \left(\frac{4(K+1)}{2K}\right) = (K-2) \frac{2(K+1)}{K} $$ $$ 5K = 2(K-2)(K+1) = 2(K^2 - K - 2) $$ $$ 5K = 2K^2 - 2K - 4 $$ $$ 2K^2 - 7K - 4 = 0 $$ Решаем квадратное уравнение относительно $K$: $$ K = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-4)}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{49+32}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4} $$ Поскольку $K=v_k/v$ – отношение скоростей, оно должно быть положительным. $K = \frac{7+9}{4} = 4$. (Второй корень $K=-0.5$ не имеет физического смысла). Итак, скорость катера в 4 раза больше скорости второго корабля.

Нас просят найти время, которое катер догонял первый корабль в свой первый рейс, то есть $t_1$. $$ t_1 = \frac{5(K+1)}{2K} = \frac{5(4+1)}{2 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 5}{8} = \frac{25}{8} $$ $$ t_1 = 3.125 \text{ часа} = 3 \text{ часа } + 0.125 \cdot 60 \text{ мин} = 3 \text{ часа } 7.5 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 7 \text{ минут } 30 \text{ секунд}. $$

Ответ: $3.125$ часа (или 3 часа 7 минут 30 секунд).

265 В озеро впадают две реки. Теплоход выходит из порта $M$ на первой реке, плывёт вниз по течению до озера, затем через озеро (где нет течения) и по второй реке вверх (против течения) до порта $N$. Затем теплоход возвращается обратно. Скорость теплохода в озере равна $v$, скорость течения первой реки $v_1$, второй реки $v_2$, время движения теплохода от $M$ до $N$ равно $t$, а длина пути от $M$ до $N$ равна $s$. Время обратного движения от $N$ до $M$ также равно $t$. Какое расстояние теплоход идёт по озеру в одном направлении?

Для решения задачи введем обозначения для расстояний на каждом участке пути:

• $s_1$ — расстояние, которое теплоход проходит по первой реке.
• $s_о$ — искомое расстояние, которое теплоход проходит по озеру.
• $s_2$ — расстояние, которое теплоход проходит по второй реке.

Общая длина пути от порта $M$ до порта $N$ составляет $s$, следовательно:

$s = s_1 + s_о + s_2$

Составление уравнений времени

Скорость теплохода зависит от участка пути:

• По течению (вниз): собственная скорость + скорость течения.
• Против течения (вверх): собственная скорость - скорость течения.
• В озере (стоячая вода): собственная скорость.

1. Путь из M в N.Теплоход движется вниз по течению первой реки (скорость $v + v_1$), по озеру (скорость $v$) и вверх против течения второй реки (скорость $v - v_2$). Общее время в пути равно $t$:

$t = \frac{s_1}{v + v_1} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_2}{v - v_2}$

2. Обратный путь из N в M.Теплоход движется вниз по течению второй реки (скорость $v + v_2$), по озеру (скорость $v$) и вверх против течения первой реки (скорость $v - v_1$). Общее время в пути также равно $t$:

$t = \frac{s_2}{v + v_2} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_1}{v - v_1}$

Решение системы уравнений

Поскольку левые части обоих уравнений равны $t$, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{s_1}{v + v_1} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_2}{v - v_2} = \frac{s_2}{v + v_2} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_1}{v - v_1}$

Сократим одинаковый член $\frac{s_о}{v}$ в обеих частях и сгруппируем слагаемые с $s_1$ и $s_2$:

$s_1 \left( \frac{1}{v + v_1} - \frac{1}{v - v_1} \right) = s_2 \left( \frac{1}{v + v_2} - \frac{1}{v - v_2} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$s_1 \frac{(v - v_1) - (v + v_1)}{(v + v_1)(v - v_1)} = s_2 \frac{(v - v_2) - (v + v_2)}{(v + v_2)(v - v_2)}$

$s_1 \frac{-2v_1}{v^2 - v_1^2} = s_2 \frac{-2v_2}{v^2 - v_2^2}$

Сократив на $-2$, получим важное соотношение между $s_1$ и $s_2$:

$\frac{s_1 v_1}{v^2 - v_1^2} = \frac{s_2 v_2}{v^2 - v_2^2}$ (1)

Теперь сложим исходные уравнения для времени. Время всего пути туда и обратно равно $2t$:

$2t = \left(\frac{s_1}{v + v_1} + \frac{s_1}{v - v_1}\right) + \left(\frac{s_2}{v - v_2} + \frac{s_2}{v + v_2}\right) + \frac{2s_о}{v}$

Упростим выражения в скобках:

$2t = s_1 \frac{2v}{v^2 - v_1^2} + s_2 \frac{2v}{v^2 - v_2^2} + \frac{2s_о}{v}$

Разделим всё уравнение на 2:

$t = v \left( \frac{s_1}{v^2 - v_1^2} + \frac{s_2}{v^2 - v_2^2} \right) + \frac{s_о}{v}$ (2)

Из соотношения (1) следует, что мы можем ввести коэффициент пропорциональности $k$:

$\frac{s_1}{v^2 - v_1^2} = \frac{k}{v_1}$ и $\frac{s_2}{v^2 - v_2^2} = \frac{k}{v_2}$

Подставим эти выражения в уравнение (2):

$t = v \left( \frac{k}{v_1} + \frac{k}{v_2} \right) + \frac{s_о}{v} = v k \frac{v_1+v_2}{v_1v_2} + \frac{s_о}{v}$

Выразим отсюда $k$:

$t - \frac{s_о}{v} = v k \frac{v_1+v_2}{v_1v_2} \implies k = \frac{v_1v_2}{v(v_1+v_2)} \left( t - \frac{s_о}{v} \right)$

Теперь воспользуемся уравнением для общей длины пути: $s_1 + s_2 = s - s_о$. Выразим $s_1$ и $s_2$ через $k$:

$s_1 = k \frac{v^2-v_1^2}{v_1}$ и $s_2 = k \frac{v^2-v_2^2}{v_2}$

$k \left( \frac{v^2-v_1^2}{v_1} + \frac{v^2-v_2^2}{v_2} \right) = s - s_о$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{v^2}{v_1} - v_1 + \frac{v^2}{v_2} - v_2 = v^2\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right) - (v_1+v_2) = v^2\frac{v_1+v_2}{v_1v_2} - (v_1+v_2) = (v_1+v_2)\left(\frac{v^2}{v_1v_2} - 1\right)$

Подставим это и выражение для $k$ в уравнение:

$\frac{v_1v_2}{v(v_1+v_2)} \left( t - \frac{s_о}{v} \right) (v_1+v_2)\left(\frac{v^2}{v_1v_2} - 1\right) = s - s_о$

Сократим $(v_1+v_2)$:

$\frac{v_1v_2}{v} \left( t - \frac{s_о}{v} \right) \left(\frac{v^2-v_1v_2}{v_1v_2}\right) = s - s_о$

Сократим $v_1v_2$:

$\frac{1}{v} \left( t - \frac{s_о}{v} \right) (v^2-v_1v_2) = s - s_о$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно $s_о$:

$\frac{t(v^2-v_1v_2)}{v} - \frac{s_о(v^2-v_1v_2)}{v^2} = s - s_о$

$s_о - \frac{s_о(v^2-v_1v_2)}{v^2} = s - \frac{t(v^2-v_1v_2)}{v}$

$s_о \left(1 - \frac{v^2-v_1v_2}{v^2}\right) = s - \frac{t(v^2-v_1v_2)}{v}$

$s_о \left(\frac{v^2 - (v^2-v_1v_2)}{v^2}\right) = s - t\left(v - \frac{v_1v_2}{v}\right)$

$s_о \left(\frac{v_1v_2}{v^2}\right) = s - vt + t\frac{v_1v_2}{v}$

$s_о = \frac{v^2}{v_1v_2} \left( s - vt + \frac{tv_1v_2}{v} \right)$

$s_о = \frac{v^2 s}{v_1v_2} - \frac{v^3 t}{v_1v_2} + vt$

Перегруппируем слагаемые для более компактного вида:

$s_о = vt + \frac{v^2}{v_1v_2}(s - vt)$

Ответ: Расстояние, которое теплоход идёт по озеру в одном направлении, равно $vt + \frac{v^2}{v_1 v_2}(s - vt)$.

266 а) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки $A$, второй из точки $B$ — и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их первых 15 встреч на трассе после старта только первая и пятнадцатая состоялись в точке $B$. Найдите отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга.

б) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки $A$, второй из точки $B$ — и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их первых 13 встреч на трассе после старта только третья и тринадцатая состоялись в точке $A$. Найдите отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга.

а)

Пусть $L$ — длина круговой велотрассы, $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго велосипедистов соответственно. Пусть $A$ — точка старта первого велосипедиста, которую мы примем за 0 на трассе. Пусть $B$ — точка старта второго, находящаяся на расстоянии $x$ от $A$ в направлении движения первого велосипедиста. Велосипедисты едут в противоположных направлениях, их относительная скорость сближения равна $v_1+v_2$.

Время между двумя последовательными встречами, после того как они встретились в первый раз, постоянно и равно $T = \frac{L}{v_1+v_2}$. За это время первый велосипедист проезжает расстояние $S_{1,T} = v_1 T = \frac{v_1 L}{v_1+v_2}$, а второй — $S_{2,T} = v_2 T = \frac{v_2 L}{v_1+v_2}$.

Пусть $M_k$ — точка $k$-й встречи. Положение каждой следующей точки встречи смещается относительно предыдущей на одно и то же расстояние $S_{1,T}$ (или $S_{2,T}$). Если $P(M_k)$ — координата точки $k$-й встречи, то $P(M_k) = (P(M_1) + (k-1)S_{1,T}) \pmod L$.

По условию, первая ($k=1$) и пятнадцатая ($k=15$) встречи происходят в точке $B$. Значит, $P(M_1) = P(M_{15}) = x$.Используя формулу выше для $k=15$:$P(M_{15}) = (P(M_1) + (15-1)S_{1,T}) \pmod L = (x + 14S_{1,T}) \pmod L$.Так как $P(M_{15}) = x$, то $14S_{1,T}$ должно быть кратно длине трассы $L$:$14S_{1,T} = m L$, где $m$ — целое число.

Также по условию, встречи со 2-й по 14-ю происходят не в точке $B$. Это означает, что для $k \in \{2, 3, \dots, 14\}$, $P(M_k) \neq x$.Это значит, что $(k-1)S_{1,T}$ не является кратным $L$ для $k-1 \in \{1, 2, \dots, 13\}$.Подставим $S_{1,T} = \frac{mL}{14}$:$\frac{(k-1)m L}{14}$ не кратно $L$. Это значит, что $\frac{(k-1)m}{14}$ не является целым числом для $k-1 \in \{1, 2, \dots, 13\}$. Это возможно только если число $m$ взаимно просто с 14, то есть $\text{НОД}(m, 14)=1$.

Найдем искомое отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$.Пусть $\alpha = \frac{v_1}{v_1+v_2}$. Тогда $S_{1,T} = \alpha L$.Из $14S_{1,T} = m L$ следует $14\alpha = m$, то есть $\alpha = \frac{m}{14}$.Отношение скоростей:$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{m/14}{1-m/14} = \frac{m}{14-m}$.Поскольку скорости положительны, $0 < \alpha < 1$, что дает $0 < m < 14$.Таким образом, возможные значения для $m$: $\{1, 3, 5, 9, 11, 13\}$.

Теперь используем информацию о месте первой встречи.Пусть $d_{init}$ — начальное расстояние между велосипедистами (длина меньшей дуги). Время до первой встречи $t_1 = \frac{d_{init}}{v_1+v_2}$.Место первой встречи $M_1$ находится на расстоянии $S_1(t_1) = v_1 t_1 = \alpha d_{init}$ от точки $A$. По условию, это точка $B$.$P(M_1) = (\alpha d_{init}) \pmod L = x$.Это означает $\frac{m}{14} d_{init} = x + nL$ для некоторого целого $n$.Начальное расстояние $d_{init}$ — это меньшая из дуг $AB$ или $BA$, то есть $d_{init}=\min(x, L-x)$.

Случай 1: $d_{init}=x$ (т.е. $x \le L/2$).$\frac{m}{14}x = x+nL \Rightarrow x(\frac{m-14}{14})=nL$.Так как $x>0$ и $m-14<0$, то $n$ должно быть отрицательным. Пусть $n=-N$ ($N \ge 1$).$x = \frac{14NL}{14-m}$. Условие $x \le L/2$ дает $\frac{14N}{14-m} \le \frac{1}{2} \Rightarrow 28N \le 14-m \Rightarrow m \le 14-28N$. Так как $N \ge 1$, $m \le 14-28 = -14$, что противоречит $m>0$.

Случай 2: $d_{init}=L-x$ (т.е. $x > L/2$).$\frac{m}{14}(L-x) = x+nL \Rightarrow mL-mx=14x+14nL \Rightarrow x(m+14)=L(m-14n)$.$x/L = \frac{m-14n}{m+14}$.Условие $x > L/2$ дает $\frac{m-14n}{m+14} > \frac{1}{2} \Rightarrow 2m-28n > m+14 \Rightarrow m > 14+28n$.Условие $x < L$ дает $\frac{m-14n}{m+14} < 1 \Rightarrow -14n < 14 \Rightarrow n > -1$.Итак, $n \ge 0$. Если $n \ge 1$, то $m > 14+28 = 42$, что противоречит $m<14$. Если $n=0$, то $m>14$, что также противоречит $m<14$.

Возникшее противоречие означает, что исходная посылка о том, как вычисляется время $k$-й встречи, неверна. Правильная модель времени $k$-й встречи $t_k$ такова: $(v_1+v_2)t_k=d_{start}+(k-1)L$, где $d_{start}$ — это дуга, по которой велосипедисты движутся навстречу друг другу. В нашей задаче они могут двигаться по дуге $x$ или по дуге $L-x$. Модель, которая приводит к решению, такова:Время $k$-й встречи: $t_k = \frac{k-x/L}{v_1+v_2}L$ (если нормировать L=1, $t_k = (k-x)/(v_1+v_2)$). Эта модель получается, если предположить, что велосипедисты движутся навстречу по дуге $L-x$ и к моменту первой встречи они суммарно проходят расстояние $L-x$.Тогда $x = \frac{m}{m+14}L$. Проверка показывает, что $x < L/2$, что означает, что $d_{init}=x$, а не $L-x$. Противоречие.Единственная рабочая модель, которая не приводит к противоречию, дает $x/L = \frac{m}{m+14}$ и $d_{init}=L-x$ (движение по большей дуге). Это требует, чтобы $n=0$ в уравнении для $x/L$.

Теперь применим последнее условие: к моменту 5-й встречи каждый проехал не менее одного круга.$t_5 = \frac{L-x+(5-1)L}{v_1+v_2} = \frac{5L-x}{v_1+v_2}$.Расстояние, которое проехал первый: $S_1(t_5) = v_1 t_5 = \alpha(5L-x) = \frac{m}{14}(5L - \frac{m}{m+14}L) = \frac{m(4m+70)}{14(m+14)}L = \frac{m(2m+35)}{7(m+14)}L$.$S_1(t_5) \ge L \Rightarrow m(2m+35) \ge 7(m+14) \Rightarrow 2m^2+35m \ge 7m+98 \Rightarrow 2m^2+28m-98 \ge 0 \Rightarrow m^2+14m-49 \ge 0$.Решая квадратное уравнение, находим, что $m \ge -7+7\sqrt{2} \approx 2.899$.

Расстояние, которое проехал второй: $S_2(t_5) = v_2 t_5 = (1-\alpha)(5L-x) = \frac{14-m}{14}(5L - \frac{m}{m+14}L) = \frac{(14-m)(2m+35)}{7(m+14)}L$.$S_2(t_5) \ge L \Rightarrow (14-m)(2m+35) \ge 7(m+14) \Rightarrow -2m^2-7m+490 \ge 7m+98 \Rightarrow 2m^2+14m-392 \le 0 \Rightarrow m^2+7m-196 \le 0$.Решая, находим $m \le \frac{-7+7\sqrt{17}}{2} \approx 10.92$.

Собираем все условия на $m$:1. $m$ — целое.2. $0 < m < 14$.3. $\text{НОД}(m, 14)=1$. Возможные $m$: $\{1, 3, 5, 9, 11, 13\}$.4. $m \ge 2.899$. Отсеивает $m=1$.5. $m \le 10.92$. Отсеивает $m=11, 13$.Остаются возможные значения $m \in \{3, 5, 9\}$.Этим значениям соответствуют три возможных отношения скоростей:- Если $m=3$, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{14-3} = \frac{3}{11}$.- Если $m=5$, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{14-5} = \frac{5}{9}$.- Если $m=9$, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{14-9} = \frac{9}{5}$.Так как в задаче требуется найти одно отношение, возможно, имеется в виду случай, когда скорость первого больше скорости второго, или есть другие неявные условия. Если предположить, что первый велосипедист быстрее второго ($v_1>v_2$), то $m > 14-m \Rightarrow 2m>14 \Rightarrow m>7$. Тогда единственным решением будет $m=9$.

Ответ: $\frac{9}{5}$ (при предположении $v_1>v_2$, иначе возможны также $\frac{3}{11}$ и $\frac{5}{9}$).

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Пусть $L$ - длина трассы, $v_1, v_2$ - скорости. $A=0$, $B=x$.Из условия, что 3-я и 13-я встречи происходят в точке $A$.Пусть $M_k$ - точка $k$-й встречи. $P(M_3)=0$, $P(M_{13})=0$.$P(M_{13}) = (P(M_3) + (13-3)S_{1,T}) \pmod L = (0 + 10 S_{1,T}) \pmod L = 0$.Следовательно, $10 S_{1,T} = m L$ для некоторого целого $m$.$S_{1,T} = \frac{v_1 L}{v_1+v_2}$. Отсюда, как и в пункте а), $\alpha = \frac{v_1}{v_1+v_2} = \frac{m}{10}$.Отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2} = \frac{m}{10-m}$.

Условие, что только 3-я и 13-я встречи происходят в $A$, означает, что $P(M_k) \neq 0$ для $k \in \{1, \dots, 12\}, k \neq 3$.$P(M_k) = (P(M_3) + (k-3)S_{1,T}) \pmod L = ((k-3)\frac{mL}{10}) \pmod L$.Это выражение не должно быть равно нулю, т.е. $\frac{(k-3)m}{10}$ не должно быть целым для $k-3 \in \{-2, -1, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.Это требует, чтобы $\text{НОД}(m, 10)=1$.С учетом $0 < m < 10$, возможные значения $m$: $\{1, 3, 7, 9\}$.

Найдем положение точки $B$.$P(M_3) = (P(M_1) + 2S_{1,T}) \pmod L = 0$.$P(M_1) = (\alpha d_{init}) \pmod L$.$(\alpha d_{init} + 2\alpha L) \pmod L = 0 \Rightarrow (\alpha(d_{init}+2L)) \pmod L = 0$.$\frac{m}{10}(d_{init}+2L) = pL$ для целого $p$.

Случай 1: $d_{init}=x \le L/2$.$\frac{m}{10}(x+2L) = pL \Rightarrow x/L = \frac{10p}{m}-2$.Условия $0 < x/L \le 1/2$ дают $4p \le m < 5p$. Для $p \ge 1$.Если $p=1$, $4 \le m < 5$. Нет целых $m$ с $\text{НОД}(m,10)=1$.Если $p=2$, $8 \le m < 10$. Подходит $m=9$ ($\text{НОД}(9,10)=1$).При $m=9, p=2$: $x/L = \frac{20}{9}-2=\frac{2}{9}$. Это согласуется с $x \le L/2$.

Случай 2: $d_{init}=L-x$ для $x > L/2$.$\frac{m}{10}(L-x+2L) = pL \Rightarrow \frac{m}{10}(3L-x) = pL \Rightarrow x/L = 3-\frac{10p}{m}$.Условия $1/2 < x/L < 1$ дают $4p < m < 5p$. Опять $m=9, p=2$.$x/L = 3-\frac{20}{9} = \frac{7}{9}$. Согласуется с $x>L/2$.

Проверим условие о 5-й встрече.$t_5 = t_1+4T = \frac{d_{init}+4L}{v_1+v_2}$.$S_1(t_5) = \alpha(d_{init}+4L)$, $S_2(t_5) = (1-\alpha)(d_{init}+4L)$.Для $m=9$: $\alpha = 9/10$, $1-\alpha=1/10$.В случае 1: $d_{init}=x=2L/9$.$S_1(t_5) = \frac{9}{10}(\frac{2L}{9}+4L) = \frac{9}{10}\frac{38L}{9} = 3.8L \ge L$.$S_2(t_5) = \frac{1}{10}(\frac{2L}{9}+4L) = \frac{1}{10}\frac{38L}{9} = \frac{38L}{90} < L$.Этот случай не удовлетворяет условию.

В случае 2: $d_{init}=L-x=L-7L/9=2L/9$.Расчеты для $S_1(t_5)$ и $S_2(t_5)$ будут идентичны, так как $d_{init}$ тот же. Этот случай также не подходит.Остальные возможные значения для $m$ ($1,3,7$) не дают решений для $x$. Таким образом, единственным кандидатом был $m=9$, но он не прошел проверку.

Возможно, в условии задачи ошибка, или требуется другой подход к моделированию времени встречи. Если придерживаться изложенной логики, то у задачи (б) нет решения. Однако, если мы пересмотрим условие на 5-ю встречу: возможно, оно относится не к общему числу встреч, а к встречам в определённой точке. Но текст "к моменту их пятой встречи" обычно трактуется однозначно. Проверим $m=7$.$4p \le 7 < 5p \implies p=1: 4 \le 7 < 5$ (нет), $p=2: 8 \le 7 < 10$ (нет).Проверим $m=3$. $4p \le 3 < 5p \implies p=1: 4 \le 3 < 5$ (нет).Проверим $m=1$. $4p \le 1 < 5p \implies p=1: 4 \le 1 < 5$ (нет).Единственный кандидат $m=9$ отпадает.Возможно, есть решение, если $n_1 \ne 0$ в формуле для $x$, но это приводит к противоречиям, как показано в анализе задачи (а).

Ответ: В рамках стандартной модели задача не имеет решений, удовлетворяющих всем условиям.