Страница 428 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

216 $\frac{\log_2 x - 3}{6 \log_x 2 - 1} \le 2.$

Для решения неравенства$$ \frac{\log_2 x - 3}{6\log_x 2 - 1} \le 2 $$сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)
- Аргументы и основания логарифмов должны быть положительными, а основания не должны быть равны единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
- Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $6\log_x 2 - 1 \neq 0$.
Решим уравнение $6\log_x 2 = 1$:
$\log_x 2 = \frac{1}{6}$
По определению логарифма, это эквивалентно $x^{1/6} = 2$.
Возведя обе части в шестую степень, получаем $x = 2^6 = 64$.
Следовательно, $x \neq 64$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 64) \cup (64, \infty)$.

2. Преобразование и решение неравенства
Для удобства решения приведём все логарифмы к одному основанию 2, используя формулу перехода $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:
$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.
Введём замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.
Из ОДЗ следует, что $x \neq 1 \implies t \neq \log_2 1 = 0$ и $x \neq 64 \implies t \neq \log_2 64 = 6$.
Подставим $t$ в исходное неравенство:$$ \frac{t - 3}{\frac{6}{t} - 1} \le 2 $$Преобразуем левую часть:$$ \frac{t - 3}{\frac{6-t}{t}} \le 2 \implies \frac{t(t-3)}{6-t} \le 2 $$Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему знаменателю:$$ \frac{t(t-3)}{6-t} - 2 \le 0 $$$$ \frac{t^2 - 3t - 2(6-t)}{6-t} \le 0 $$$$ \frac{t^2 - 3t - 12 + 2t}{6-t} \le 0 $$$$ \frac{t^2 - t - 12}{6-t} \le 0 $$Найдём корни числителя, решив квадратное уравнение $t^2 - t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Теперь неравенство можно записать как:$$ \frac{(t+3)(t-4)}{6-t} \le 0 $$Для решения методом интервалов удобно, чтобы переменная в каждом множителе была с положительным коэффициентом. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:$$ \frac{(t+3)(t-4)}{t-6} \ge 0 $$На числовой оси отметим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $t = -3$, $t = 4$, $t = 6$. Точки $t=-3$ и $t=4$ являются решениями (неравенство нестрогое), а точка $t=6$ — нет (знаменатель).
Проверим знаки на интервалах:
- $(6, +\infty)$: $\frac{(+)(+)}{(+)} \ge 0$. Интервал подходит.
- $[4, 6)$: $\frac{(+)(+)}{(-)} \le 0$. Интервал не подходит.
- $[-3, 4]$: $\frac{(-)(+)}{(-)} \ge 0$ (на концах равно 0). Интервал подходит.
- $(-\infty, -3)$: $\frac{(-)(-)}{(-)} \le 0$. Интервал не подходит.
Таким образом, решение для $t$ есть объединение $t \in [-3, 4] \cup (6, \infty)$.

3. Обратная замена и финальный ответ
Выполним обратную замену $t = \log_2 x$.
- Если $t \in [-3, 4]$, то $-3 \le \log_2 x \le 4$. Так как логарифмическая функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, получаем $2^{-3} \le x \le 2^4$, что даёт $\frac{1}{8} \le x \le 16$.
- Если $t \in (6, \infty)$, то $\log_2 x > 6$, откуда $x > 2^6$, то есть $x > 64$.
Объединяя эти два результата, получаем $x \in [\frac{1}{8}, 16] \cup (64, \infty)$.

На последнем шаге необходимо пересечь полученное решение с ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 64) \cup (64, \infty)$.
- Интервал $[\frac{1}{8}, 16]$ содержит точку $x=1$, которую нужно исключить согласно ОДЗ. Получаем $[\frac{1}{8}, 1) \cup (1, 16]$.
- Интервал $(64, \infty)$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Объединив эти множества, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{1}{8}, 1) \cup (1, 16] \cup (64, \infty)$.

217 a) $\log_{x-2} x \le \log_{x-2} 4$;

б) $2 \log_{\pi} \sin x \cdot \log_{\pi} \sin 2x - \log_{\pi}^2 \sin 2x \le \log_{\pi}^2 \sin x$.

Исходное неравенство: $ \log_{(x-2)}x \le \log_{(x-2)}4 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.

$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (2, 3) \cup (3, +\infty) $.

Далее, для решения логарифмического неравенства рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $ (x-2) $.

Случай 1: Основание больше 1.

$ x - 2 > 1 \implies x > 3 $.

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x \le 4 $.

Теперь найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая: $ x > 3 $ и $ x \le 4 $.

Получаем интервал: $ x \in (3, 4] $. Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$ 0 < x - 2 < 1 \implies 2 < x < 3 $.

В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \ge 4 $.

Найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая: $ 2 < x < 3 $ и $ x \ge 4 $.

Пересечение этих множеств пустое, следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x \in (3, 4] $.

Исходное неравенство: $ 2\log_\pi \sin x \cdot \log_\pi \sin 2x - \log_\pi^2 \sin 2x \le \log_\pi^2 \sin x $.

Перенесем все члены в правую часть неравенства:

$ 0 \le \log_\pi^2 \sin x - 2\log_\pi \sin x \cdot \log_\pi \sin 2x + \log_\pi^2 \sin 2x $.

Правая часть представляет собой полный квадрат разности. Пусть $ a = \log_\pi \sin x $ и $ b = \log_\pi \sin 2x $. Тогда неравенство принимает вид $ 0 \le a^2 - 2ab + b^2 $, что эквивалентно:

$ (\log_\pi \sin x - \log_\pi \sin 2x)^2 \ge 0 $.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $ x $, при которых определены входящие в него логарифмы.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$ \begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin 2x > 0 \end{cases} $

Условие $ \sin x > 0 $ выполняется, когда $ x $ принадлежит I или II координатной четверти, то есть $ x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k) $ для любого целого $ k $.

Используем формулу двойного угла: $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Так как по первому условию $ \sin x > 0 $, то второе условие $ \sin 2x > 0 $ сводится к $ 2\cos x > 0 $, или $ \cos x > 0 $.

Условие $ \cos x > 0 $ выполняется, когда $ x $ принадлежит I или IV координатной четверти, то есть $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) $ для любого целого $ n $.

Для выполнения системы неравенств необходимо, чтобы выполнялись оба условия одновременно: $ \sin x > 0 $ и $ \cos x > 0 $. Это соответствует I координатной четверти.

Таким образом, решением является пересечение множеств $ x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k) $ и $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) $, что дает нам интервалы:

$ x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) $ для $ k \in \mathbb{Z} $.

Это и есть решение исходного неравенства.

Ответ: $ x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

218 $|x - 6| + \sqrt{3x + 1} \le 5$.

Решим неравенство $|x - 6| + \sqrt{3x + 1} \le 5$.

1. Определение Области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, поэтому:

$3x + 1 \ge 0$

$3x \ge -1$

$x \ge -1/3$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-1/3, +\infty)$.

2. Рассмотрение случаев для раскрытия модуля

Разобьем решение на два случая в зависимости от знака выражения под модулем $x-6$. Точка смены знака: $x = 6$.

Случай 1: $x \ge 6$

В этом интервале $|x - 6| = x - 6$. Неравенство принимает вид:

$x - 6 + \sqrt{3x + 1} \le 5$

$\sqrt{3x + 1} \le 11 - x$

Это иррациональное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 11 - x \ge 0 \\ 3x + 1 \le (11 - x)^2 \end{cases}$

Первое условие $x \ge -1/3$ выполняется, так как мы рассматриваем случай $x \ge 6$.

Второе условие: $11 - x \ge 0 \implies x \le 11$.

Третье условие (возводим в квадрат):

$3x + 1 \le 121 - 22x + x^2$

$x^2 - 25x + 120 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 25x + 120 = 0$ через дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 625 - 480 = 145$

$x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{145}}{2}$

Решением неравенства $x^2 - 25x + 120 \ge 0$ является объединение промежутков: $x \in (-\infty, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}] \cup [\frac{25 + \sqrt{145}}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение всех условий для первого случая: $x \in [6, 11]$ и $x \in (-\infty, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}] \cup [\frac{25 + \sqrt{145}}{2}, +\infty)$.

Оценим значения корней: $12 < \sqrt{145} < 13$. Тогда $\frac{25 - 13}{2} < \frac{25 - \sqrt{145}}{2} < \frac{25 - 12}{2}$, то есть $6 < \frac{25 - \sqrt{145}}{2} < 6.5$. А $\frac{25 + \sqrt{145}}{2} > \frac{25+12}{2} = 18.5$, что больше 11.

Таким образом, решение в этом случае: $x \in [6, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}]$.

Случай 2: $-1/3 \le x < 6$

В этом интервале $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$. Неравенство принимает вид:

$6 - x + \sqrt{3x + 1} \le 5$

$\sqrt{3x + 1} \le x - 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ 3x + 1 \le (x - 1)^2 \end{cases}$

Объединяя условие случая $-1/3 \le x < 6$ с условием $x - 1 \ge 0$ (т.е. $x \ge 1$), получаем интервал $x \in [1, 6)$.

Решим третье неравенство:

$3x + 1 \le x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 5x \ge 0$

$x(x - 5) \ge 0$

Решением является $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$.

Найдем пересечение интервала $x \in [1, 6)$ с полученным решением: $[1, 6) \cap ((-\infty, 0] \cup [5, +\infty)) = [5, 6)$.

Решение во втором случае: $x \in [5, 6)$.

3. Объединение решений

Для получения окончательного ответа объединим решения, найденные в обоих случаях:

$x \in [5, 6) \cup [6, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}]$

Итоговое решение: $x \in [5, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}] $.

Ответ: $x \in [5, \frac{25 - \sqrt{145}}{2}]$.

219 $\log_2 \log_{1/2} \frac{3x+4}{4x+8} \le 0.$

Для решения логарифмического неравенства $ \log_2 \left( \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \right) \le 0 $ необходимо выполнить несколько шагов.

1. Упрощение неравенства на основе свойств логарифмов и ОДЗ

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент любого логарифма должен быть строго больше нуля. Это дает систему из двух условий:

1. $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} > 0 $
2. $ \frac{3x+4}{4x+8} > 0 $

Теперь решим исходное неравенство. Так как основание внешнего логарифма $2 > 1$, функция $y=\log_2(t)$ является возрастающей. При снятии логарифма знак неравенства сохраняется:

$$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \le 2^0 \implies \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \le 1 $$

Объединим это неравенство с первым условием ОДЗ. Это позволяет свести задачу к решению одного двойного неравенства, которое уже включает в себя все необходимые ограничения:

$$ 0 < \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+4}{4x+8} \le 1 $$

2. Решение двойного логарифмического неравенства

Основание внутреннего логарифма равно $\frac{1}{2}$, что меньше 1. Следовательно, функция $y=\log_{1/2}(t)$ является убывающей. При потенцировании (избавлении от логарифма) знаки неравенства меняются на противоположные:

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^1 \le \frac{3x+4}{4x+8} < \left(\frac{1}{2}\right)^0 $$

Упрощая, получаем двойное рациональное неравенство:

$$ \frac{1}{2} \le \frac{3x+4}{4x+8} < 1 $$

3. Решение системы рациональных неравенств

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x+4}{4x+8} < 1 \\ \frac{3x+4}{4x+8} \ge \frac{1}{2} \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{3x+4}{4x+8} - 1 < 0 \implies \frac{3x+4 - (4x+8)}{4x+8} < 0 \implies \frac{-x-4}{4(x+2)} < 0 \implies \frac{x+4}{x+2} > 0 $$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$$ \frac{3x+4}{4x+8} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(3x+4) - (4x+8)}{2(4x+8)} \ge 0 \implies \frac{6x+8 - 4x-8}{8(x+2)} \ge 0 \implies \frac{2x}{8(x+2)} \ge 0 \implies \frac{x}{x+2} \ge 0 $$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup [0, +\infty)$.

4. Нахождение пересечения решений

Итоговое решение является пересечением решений двух неравенств системы:

$$ x \in ((-\infty, -4) \cup (-2, +\infty)) \cap ((-\infty, -2) \cup [0, +\infty)) $$

Находя пересечение этих множеств, получаем окончательный результат.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [0, +\infty)$.

220 $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{|x|} \ge 0.$

Решим неравенство: $$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{|x|} \ge 0 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$$ x+1 \ne 0 \implies x \ne -1 $$

$$ |x| \ne 0 \implies x \ne 0 $$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для решения неравенства, содержащего модуль, рассмотрим два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения.

Рассмотрим случай, когда $x > 0$

В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x} \ge 0 $$

Приводим дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:

$$ \frac{x + (x+1)}{x(x+1)} \ge 0 $$

$$ \frac{2x+1}{x(x+1)} \ge 0 $$

Так как мы рассматриваем интервал $x > 0$, оба множителя в знаменателе, $x$ и $x+1$, являются положительными. Следовательно, знаменатель $x(x+1)$ также положителен. Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к следующему:

$$ 2x+1 \ge 0 $$

$$ 2x \ge -1 $$

$$ x \ge -0.5 $$

Учитывая исходное условие для этого случая ($x > 0$), решением будет пересечение множеств $x \ge -0.5$ и $x > 0$, что дает интервал $x \in (0; +\infty)$.

Рассмотрим случай, когда $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{-x} \ge 0 $$

$$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \ge 0 $$

Приводим к общему знаменателю $x(x+1)$:

$$ \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} \ge 0 $$

$$ \frac{-1}{x(x+1)} \ge 0 $$

Чтобы дробь с отрицательным числителем (-1) была неотрицательной, ее знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю недопустимо по ОДЗ).

$$ x(x+1) < 0 $$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни выражения $x(x+1)$ равны $x=0$ и $x=-1$. Графиком функции $y=x(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

$$ -1 < x < 0 $$

Полученный интервал $x \in (-1; 0)$ полностью удовлетворяет условию $x < 0$ и входит в ОДЗ.

Объединяем решения, полученные в обоих случаях. Решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-1; 0)$ и $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Решите систему уравнений (221—234):

221 а) $\begin{cases} x - 3y^2 = 8 \\ x + 4y^2 = 15; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 5y^2 = 10 \\ x + 3y^2 = 18; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 7y^2 = 9 \\ x + 2y^2 = 18; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y^2 = 12 \\ x + 7y^2 = 21. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 3y^2 = 8 \\ x + 4y^2 = 15 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения (в данном случае вычитания). Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную x:

$$ (x + 4y^2) - (x - 3y^2) = 15 - 8 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ x + 4y^2 - x + 3y^2 = 7 $$ $$ 7y^2 = 7 $$

Отсюда находим $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Теперь подставим найденное значение $y^2 = 1$ в любое из исходных уравнений системы для нахождения x. Воспользуемся первым уравнением:

$$ x - 3(1) = 8 $$ $$ x - 3 = 8 $$ $$ x = 11 $$

Таким образом, мы получили два решения системы.

Ответ: $(11, 1), (11, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 5y^2 = 10 \\ x + 3y^2 = 18 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную x:

$$ (x + 3y^2) - (x - 5y^2) = 18 - 10 $$

Упростим полученное уравнение:

$$ x + 3y^2 - x + 5y^2 = 8 $$ $$ 8y^2 = 8 $$

Отсюда находим $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Следовательно, $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Подставим $y^2 = 1$ в первое уравнение системы для нахождения x:

$$ x - 5(1) = 10 $$ $$ x - 5 = 10 $$ $$ x = 15 $$

Решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(15, 1), (15, -1)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 7y^2 = 9 \\ x + 2y^2 = 18 \end{cases} $$

Воспользуемся методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x + 2y^2) - (x - 7y^2) = 18 - 9 $$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$$ x + 2y^2 - x + 7y^2 = 9 $$ $$ 9y^2 = 9 $$

Находим значение $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем x, подставив $y^2 = 1$ в первое уравнение:

$$ x - 7(1) = 9 $$ $$ x - 7 = 9 $$ $$ x = 16 $$

Таким образом, решениями системы являются две пары.

Ответ: $(16, 1), (16, -1)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y^2 = 12 \\ x + 7y^2 = 21 \end{cases} $$

Применим метод вычитания, вычтя первое уравнение из второго:

$$ (x + 7y^2) - (x - 2y^2) = 21 - 12 $$

Упростим выражение:

$$ x + 7y^2 - x + 2y^2 = 9 $$ $$ 9y^2 = 9 $$

Отсюда получаем значение $y^2$:

$$ y^2 = 1 $$

Следовательно, $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Подставим $y^2 = 1$ в первое уравнение, чтобы найти x:

$$ x - 2(1) = 12 $$ $$ x - 2 = 12 $$ $$ x = 14 $$

Решениями данной системы являются две пары чисел.

Ответ: $(14, 1), (14, -1)$.

222 a) $\begin{cases}(x - 2)^2 + y^2 = 10 \\x + y = 6;\end{cases}$

б) $\begin{cases}(x - 5)^2 + y^2 = 5 \\x + y = 8;\end{cases}$

в) $\begin{cases}(x - 6)^2 + y^2 = 10 \\x + y = 10;\end{cases}$

г) $\begin{cases}(x - 5)^2 + y^2 = 10 \\x + y = 5.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-2)^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 6 - x$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x-2)^2 + (6-x)^2 = 10$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 4x + 4) + (36 - 12x + x^2) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 16x + 40 = 10$

Перенесем 10 в левую часть уравнения:

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 6 - x$:

При $x_1 = 3$, получаем $y_1 = 6 - 3 = 3$.

При $x_2 = 5$, получаем $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Ответ: (3; 3), (5; 1).

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-5)^2 + y^2 = 5 \\ x + y = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x-5)^2 + (8-x)^2 = 5$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 10x + 25) + (64 - 16x + x^2) = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 26x + 89 = 5$

Перенесем 5 в левую часть:

$2x^2 - 26x + 84 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 13x + 42 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 13$, $x_1 \cdot x_2 = 42$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = 7$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 8 - x$:

При $x_1 = 6$, $y_1 = 8 - 6 = 2$.

При $x_2 = 7$, $y_2 = 8 - 7 = 1$.

Ответ: (6; 2), (7; 1).

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-6)^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 10 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 10 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x-6)^2 + (10-x)^2 = 10$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 12x + 36) + (100 - 20x + x^2) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 32x + 136 = 10$

Перенесем 10 в левую часть:

$2x^2 - 32x + 126 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 16x + 63 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 16$, $x_1 \cdot x_2 = 63$. Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = 9$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 10 - x$:

При $x_1 = 7$, $y_1 = 10 - 7 = 3$.

При $x_2 = 9$, $y_2 = 10 - 9 = 1$.

Ответ: (7; 3), (9; 1).

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x-5)^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x-5)^2 + (5-x)^2 = 10$

Заметим, что $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$. Поэтому уравнение можно переписать:

$(x-5)^2 + (x-5)^2 = 10$

$2(x-5)^2 = 10$

Разделим обе части на 2:

$(x-5)^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x-5 = \pm\sqrt{5}$

Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 5 + \sqrt{5}$

$x_2 = 5 - \sqrt{5}$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 5 - x$:

При $x_1 = 5 + \sqrt{5}$, $y_1 = 5 - (5 + \sqrt{5}) = -\sqrt{5}$.

При $x_2 = 5 - \sqrt{5}$, $y_2 = 5 - (5 - \sqrt{5}) = \sqrt{5}$.

Ответ: ($5 + \sqrt{5}$; $-\sqrt{5}$), ($5 - \sqrt{5}$; $\sqrt{5}$).

223 $\begin{cases}x^2 + xy + y^2 + x + y = 57 \\\frac{(x + y)^5 + (x - y)^5}{(x + y)^5 - (x - y)^5} = \frac{1025}{1023}\end{cases}$

Для решения данной системы уравнений начнем с анализа и упрощения второго уравнения.

Шаг 1: Упрощение второго уравнения

Второе уравнение системы имеет вид:

$$ \frac{(x + y)^5 + (x - y)^5}{(x + y)^5 - (x - y)^5} = \frac{1025}{1023} $$

Чтобы упростить это уравнение, введем замены: пусть $ a = (x+y)^5 $ и $ b = (x-y)^5 $. Тогда уравнение принимает вид:

$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{1025}{1023} $$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ 1023(a+b) = 1025(a-b) $

$ 1023a + 1023b = 1025a - 1025b $

$ 1023b + 1025b = 1025a - 1023a $

$ 2048b = 2a $

$ a = 1024b $

Теперь вернемся к исходным переменным $ x $ и $ y $:

$ (x+y)^5 = 1024(x-y)^5 $

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения. Учитывая, что $ 1024 = 4^5 $, получаем:

$ \sqrt[5]{(x+y)^5} = \sqrt[5]{4^5(x-y)^5} $

$ x+y = 4(x-y) $

$ x+y = 4x - 4y $

$ 5y = 3x $

Мы получили простое линейное соотношение между $ x $ и $ y $.

Шаг 2: Подстановка в первое уравнение

Из соотношения $ 3x = 5y $ мы можем выразить $ x $ и $ y $ через некоторый параметр $ k $:

$ x = 5k $

$ y = 3k $

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$$ x^2 + xy + y^2 + x + y = 57 $$

$ (5k)^2 + (5k)(3k) + (3k)^2 + (5k) + (3k) = 57 $

$ 25k^2 + 15k^2 + 9k^2 + 8k = 57 $

Складываем подобные члены и получаем квадратное уравнение относительно $ k $:

$ 49k^2 + 8k - 57 = 0 $

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение $ 49k^2 + 8k - 57 = 0 $ с помощью формулы для корней:

$ k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $, где $ a = 49, b = 8, c = -57 $.

Вычислим дискриминант $ D $:

$ D = 8^2 - 4 \cdot 49 \cdot (-57) = 64 + 196 \cdot 57 = 64 + 11172 = 11236 $

Корень из дискриминанта равен $ \sqrt{11236} = 106 $.

Теперь находим два значения для $ k $:

$ k_1 = \frac{-8 + 106}{2 \cdot 49} = \frac{98}{98} = 1 $

$ k_2 = \frac{-8 - 106}{2 \cdot 49} = \frac{-114}{98} = -\frac{57}{49} $

Шаг 4: Нахождение пар решений (x, y)

Теперь для каждого найденного значения $ k $ мы определим соответствующую пару решений $ (x, y) $.

Случай 1: $ k = 1 $

$ x = 5k = 5 \cdot 1 = 5 $

$ y = 3k = 3 \cdot 1 = 3 $

Таким образом, первая пара решений — $ (5, 3) $.

Случай 2: $ k = -\frac{57}{49} $

$ x = 5k = 5 \cdot \left(-\frac{57}{49}\right) = -\frac{285}{49} $

$ y = 3k = 3 \cdot \left(-\frac{57}{49}\right) = -\frac{171}{49} $

Таким образом, вторая пара решений — $ \left(-\frac{285}{49}, -\frac{171}{49}\right) $.

Обе найденные пары являются решениями исходной системы уравнений.

Ответ: $ (5, 3) $ и $ \left(-\frac{285}{49}, -\frac{171}{49}\right) $.

224 $\begin{cases} \left( \frac{x^2 - xy}{y^2 + xy} - \frac{(x - y)^2}{x^2 + xy} \right) \cdot \left( \frac{y^2}{x^3 - xy^2} - \frac{1}{x + y} \right)^{-1} \cdot (x - y)^{-2} = -\frac{x}{2} \\ x^2 - y^2 = 3. \end{cases}$

Исходное уравнение в системе является довольно громоздким. Начнем с его упрощения.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Из знаменателей дробей и выражений с отрицательной степенью в первом уравнении системы следуют ограничения:

$y^2 + xy = y(x+y) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $x \neq -y$.

$x^2 + xy = x(x+y) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -y$.

$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq y$ и $x \neq -y$.

$(x-y)^{-2} \implies x-y \neq 0 \implies x \neq y$.

Также выражение $\left( \frac{y^2}{x^3 - xy^2} - \frac{1}{x+y} \right)$ не должно быть равно нулю.

Из второго уравнения системы, $x^2 - y^2 = 3$, следует, что $x^2 \neq y^2$, а значит $x \neq y$ и $x \neq -y$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y, x \neq -y$.

2. Упрощение первого уравнения.

Упростим по частям выражение в левой части первого уравнения.

Первая скобка:

$\frac{x^2 - xy}{y^2 + xy} - \frac{(x-y)^2}{x^2 + xy} = \frac{x(x-y)}{y(x+y)} - \frac{(x-y)^2}{x(x+y)}$

Приводим к общему знаменателю $xy(x+y)$:

$\frac{x^2(x-y) - y(x-y)^2}{xy(x+y)} = \frac{(x-y)(x^2 - y(x-y))}{xy(x+y)} = \frac{(x-y)(x^2 - xy + y^2)}{xy(x+y)}$

Вторая скобка:

$\frac{y^2}{x^3 - xy^2} - \frac{1}{x+y} = \frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} - \frac{x(x-y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{y^2 - x^2 + xy}{x(x-y)(x+y)}$

При подстановке этих выражений в исходное уравнение не происходит значительных сокращений, что приводит к очень сложному уравнению. Это говорит о высокой вероятности опечатки в условии задачи. Наиболее вероятная опечатка — это знак во второй скобке. Если предположить, что там должен быть знак «плюс», то выражение сильно упрощается.

Примем, что во второй скобке должен быть знак «плюс». Тогда она преобразуется так:

$\frac{y^2}{x^3 - xy^2} + \frac{1}{x+y} = \frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} + \frac{x(x-y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{y^2 + x^2 - xy}{x(x-y)(x+y)}$

Теперь подставим исправленное выражение в первое уравнение:

$\frac{(x-y)(x^2 - xy + y^2)}{xy(x+y)} \cdot \left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x(x-y)(x+y)}\right)^{-1} \cdot (x-y)^{-2} = -\frac{x}{2}$

$\frac{(x-y)(x^2 - xy + y^2)}{xy(x+y)} \cdot \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2 - xy + y^2} \cdot \frac{1}{(x-y)^2} = -\frac{x}{2}$

После сокращения всех возможных членов ($x$, $(x+y)$, $(x-y)^2$ и $(x^2-xy+y^2)$), получаем:

$\frac{1}{y} = -\frac{x}{2}$

Отсюда следует простое соотношение: $xy = -2$.

3. Решение системы уравнений.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} xy = -2 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y = -\frac{2}{x}$ и подставим во второе:

$x^2 - \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 3$

$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$

Умножим обе части на $x^2$ (что допустимо, т.к. $x \neq 0$):

$x^4 - 4 = 3x^2$

$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Так как $t = x^2$ должно быть положительным, корень $t_2 = -1$ является посторонним.

Следовательно, $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдём соответствующие значения $y$:

1. При $x = 2$, $y = -\frac{2}{2} = -1$. Получаем пару $(2, -1)$.

2. При $x = -2$, $y = -\frac{2}{-2} = 1$. Получаем пару $(-2, 1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, -1), (-2, 1)$.

225 $ \begin{cases} \left( \left( \frac{\sqrt[4]{x^3y} + \sqrt[4]{4xy}}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} + \sqrt[4]{4xy} \right)^2 + xy + 3 \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{xy+3}} \right)^{-1} = 6 \\ 2x - y + \sqrt{xy} = 10. \end{cases} $

Данная задача представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$. Решим ее поэтапно.

1. Упрощение первого уравнения системы.

Рассмотрим первое уравнение:

$\left\{ \left[ \left( \frac{\sqrt[4]{x^3y} + \sqrt[4]{4xy}}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} + \sqrt[4]{4xy} \right)^2 + xy + 3 \right] : \left( \frac{1}{\sqrt{xy}+3} \right)^{-1} \right\} = 6$

Прежде всего, определим область допустимых значений. Из-за наличия корней, $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Проверка показывает, что $x=0$ или $y=0$ не являются решениями, так как левая часть уравнения в этих случаях равна 1, а не 6. Следовательно, $x > 0, y > 0$.

Упростим выражение в левой части по шагам.

1. Упростим дробь $\frac{\sqrt[4]{x^3y} + \sqrt[4]{4xy}}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$.
Числитель: $\sqrt[4]{x^3y} + \sqrt[4]{4xy} = \sqrt[4]{x^2 \cdot xy} + \sqrt[4]{4 \cdot xy} = \sqrt{x}\sqrt[4]{xy} + \sqrt{2}\sqrt[4]{xy} = (\sqrt{x}+\sqrt{2})\sqrt[4]{xy}$.
Тогда вся дробь равна: $\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})\sqrt[4]{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} = \sqrt[4]{xy}$.

2. Теперь упростим выражение в скобках, которое возводится в квадрат:$\frac{\sqrt[4]{x^3y} + \sqrt[4]{4xy}}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} + \sqrt[4]{4xy} = \sqrt[4]{xy} + \sqrt[4]{4xy} = \sqrt[4]{xy} + \sqrt{2}\sqrt[4]{xy} = (1+\sqrt{2})\sqrt[4]{xy}$.

3. Возведем полученное выражение в квадрат:$((1+\sqrt{2})\sqrt[4]{xy})^2 = (1+\sqrt{2})^2 (\sqrt[4]{xy})^2 = (1+2\sqrt{2}+2)\sqrt{xy} = (3+2\sqrt{2})\sqrt{xy}$.

4. Весь делитель (выражение в фигурных скобках) теперь имеет вид:$(3+2\sqrt{2})\sqrt{xy} + xy + 3$.

5. Упростим делимое:$\left( \frac{1}{\sqrt{xy}+3} \right)^{-1} = \sqrt{xy}+3$.

6. Подставим упрощенные части обратно в уравнение:$\frac{xy + (3+2\sqrt{2})\sqrt{xy} + 3}{\sqrt{xy}+3} = 6$.

Сделаем замену $t = \sqrt{xy}$, где $t > 0$:$\frac{t^2 + (3+2\sqrt{2})t + 3}{t+3} = 6$.

Умножим обе части на $(t+3)$:$t^2 + (3+2\sqrt{2})t + 3 = 6(t+3)$$t^2 + 3t + 2\sqrt{2}t + 3 = 6t + 18$$t^2 + (2\sqrt{2}-3)t - 15 = 0$.

Полученное квадратное уравнение для $t$ имеет сложные иррациональные корни, что делает дальнейшее решение крайне громоздким. Это говорит о возможной опечатке в условии задачи. Однако, структура второго уравнения позволяет предположить, каким должен быть результат упрощения первого.

2. Решение второго уравнения и системы в целом.

Второе уравнение системы: $2x - y + \sqrt{xy} = 10$.

Часто в подобных задачах первое сложное уравнение приводит к простому соотношению, например, $\sqrt{xy} = k$, где $k$ – константа. Проверим гипотезу, что в результате решения первого уравнения должно было получиться $\sqrt{xy} = 4$. Подставим это значение во второе уравнение:

$2x - y + 4 = 10 \implies 2x - y = 6$.

Теперь у нас есть система:$\begin{cases} \sqrt{xy} = 4 \\ 2x - y = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения $xy = 16$. Так как $x>0$, $y = \frac{16}{x}$.Подставим во второе уравнение:$2x - \frac{16}{x} = 6$.

Умножим на $x$ (так как $x \ne 0$):$2x^2 - 16 = 6x$$2x^2 - 6x - 16 = 0$$x^2 - 3x - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = (-3)^2 - 4(1)(-8) = 9 + 32 = 41$.Корни для $x$: $x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}$.Так как $x>0$, мы должны выбрать корень со знаком плюс (поскольку $\sqrt{41} > \sqrt{9}=3$):$x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$.

Теперь найдем $y$:$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{\frac{3+\sqrt{41}}{2}} = \frac{32}{3+\sqrt{41}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе:$y = \frac{32(3-\sqrt{41})}{(3+\sqrt{41})(3-\sqrt{41})} = \frac{32(3-\sqrt{41})}{9-41} = \frac{32(3-\sqrt{41})}{-32} = - (3-\sqrt{41}) = \sqrt{41}-3$.

Проверим, что $y>0$: $\sqrt{41} > \sqrt{9}=3$, значит $\sqrt{41}-3 > 0$.

Таким образом, решение системы, при условии, что первое уравнение должно было дать $\sqrt{xy}=4$, найдено.

Проверка:
1. $\sqrt{xy} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{41}}{2} \cdot (\sqrt{41}-3)} = \sqrt{\frac{(3+\sqrt{41})(\sqrt{41}-3)}{2}} = \sqrt{\frac{41-9}{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
2. $2x - y + \sqrt{xy} = 2\left(\frac{3+\sqrt{41}}{2}\right) - (\sqrt{41}-3) + 4 = (3+\sqrt{41}) - \sqrt{41} + 3 + 4 = 3+3+4 = 10$.
Оба уравнения удовлетворяются. Это подтверждает, что предположение $\sqrt{xy}=4$ было верным.

Ответ: $x = \frac{3+\sqrt{41}}{2}, y = \sqrt{41}-3$.

226 a) $ \begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0.5y} = 4 \end{cases} $

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней: $4^{2y} = (4^y)^2$ и $3^{2x} = (3^x)^2$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} (4^y)^2 + (3^x)^2 = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 4^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Получим новую систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} b^2 + a^2 = 82 \\ a - b = 8 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 8 + b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$b^2 + (8 + b)^2 = 82$

$b^2 + 64 + 16b + b^2 = 82$

$2b^2 + 16b + 64 - 82 = 0$

$2b^2 + 16b - 18 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$b^2 + 8b - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -9$.

Так как $b = 4^y > 0$, корень $b_2 = -9$ не подходит. Следовательно, $b = 1$.

Теперь найдем $a$: $a = 8 + b = 8 + 1 = 9$.

Вернемся к исходным переменным:

$3^x = a \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$4^y = b \implies 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.

Таким образом, решение системы: $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0,5y} = 4 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней: $5^{2x} = (5^x)^2$ и $3^{0,5y} = 3^{\frac{1}{2}y} = (3^y)^{1/2} = \sqrt{3^y}$.

Введем замену переменных. Пусть $u = 5^x$ и $v = 3^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $u > 0$ и $v > 0$.

Получим новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} v + u^2 = 26 \\ u - \sqrt{v} = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $u$: $u = 4 + \sqrt{v}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$v + (4 + \sqrt{v})^2 = 26$

$v + 16 + 8\sqrt{v} + (\sqrt{v})^2 = 26$

$v + 16 + 8\sqrt{v} + v = 26$

$2v + 8\sqrt{v} - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v + 4\sqrt{v} - 5 = 0$

Для решения этого уравнения введем еще одну замену. Пусть $w = \sqrt{v}$. Так как $v > 0$, то $w > 0$.

Уравнение примет вид:

$w^2 + 4w - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $w_1 = 1$ и $w_2 = -5$.

Так как $w = \sqrt{v} > 0$, корень $w_2 = -5$ не подходит. Следовательно, $w = 1$.

Теперь найдем $v$ и $u$:

$w = \sqrt{v} \implies v = w^2 = 1^2 = 1$.

$u = 4 + \sqrt{v} = 4 + \sqrt{1} = 4 + 1 = 5$.

Вернемся к исходным переменным:

$5^x = u \implies 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

$3^y = v \implies 3^y = 1 \implies 3^y = 3^0 \implies y = 0$.

Таким образом, решение системы: $(1; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$.

227 a) $ \begin{cases} 3x^2 - 2xy = 1 \\ 2 \log_3 (y + 2) = \log_3 (5x - 2); \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2y^2 - 3xy = 1 \\ 2 \log_2 (x + 1) = \log_2 (3y - 5). \end{cases} $

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3^{x^2 - 2xy} = 1 \\ 2\log_3(y+2) = \log_3(5x-2) \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$ \begin{cases} y+2 > 0 \\ 5x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > -2 \\ x > \frac{2}{5} \end{cases} $$

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $3^{x^2 - 2xy} = 1$.

Поскольку $1 = 3^0$, мы можем приравнять показатели степени:

$x^2 - 2xy = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2y) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1) $x = 0$

2) $x - 2y = 0 \implies x = 2y$

Рассмотрим случай $x=0$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ ($x > \frac{2}{5}$), поэтому этот случай не дает решений.

Рассмотрим второй случай: $x = 2y$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:

$2\log_3(y+2) = \log_3(5x-2)$

$\log_3((y+2)^2) = \log_3(5x-2)$

Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания равны:

$(y+2)^2 = 5x-2$

Теперь подставим $x = 2y$ в полученное уравнение:

$(y+2)^2 = 5(2y)-2$

$y^2 + 4y + 4 = 10y - 2$

$y^2 - 6y + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$y_1 = \frac{-(-6) + 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2} = 3 + \sqrt{3}$

$y_2 = \frac{-(-6) - 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{2} = 3 - \sqrt{3}$

Найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x = 2y$:

Для $y_1 = 3 + \sqrt{3}$, $x_1 = 2(3 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3}$.

Для $y_2 = 3 - \sqrt{3}$, $x_2 = 2(3 - \sqrt{3}) = 6 - 2\sqrt{3}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные пары $(x, y)$ ОДЗ: $x > \frac{2}{5}$ и $y > -2$.

Пара $(6 + 2\sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})$: $x_1 = 6 + 2\sqrt{3} > \frac{2}{5}$ и $y_1 = 3 + \sqrt{3} > -2$. Решение подходит.

Пара $(6 - 2\sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})$: $x_2 = 6 - 2\sqrt{3} \approx 6 - 3.46 = 2.54 > \frac{2}{5}$ и $y_2 = 3 - \sqrt{3} \approx 3 - 1.73 = 1.27 > -2$. Решение подходит.

Ответ: $(6 + 2\sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}), (6 - 2\sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2^{y^2 - 3xy} = 1 \\ 2\log_2(x+1) = \log_2(3y-5) \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

$$ \begin{cases} x+1 > 0 \\ 3y-5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ y > \frac{5}{3} \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение системы: $2^{y^2 - 3xy} = 1$.

Так как $1 = 2^0$, приравниваем показатели степени:

$y^2 - 3xy = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 3x) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1) $y = 0$

2) $y - 3x = 0 \implies y = 3x$

Рассмотрим случай $y=0$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ ($y > \frac{5}{3}$), поэтому этот случай не дает решений.

Рассмотрим второй случай: $y = 3x$.

Преобразуем второе уравнение системы:

$2\log_2(x+1) = \log_2(3y-5)$

$\log_2((x+1)^2) = \log_2(3y-5)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x+1)^2 = 3y-5$

Подставим $y = 3x$ в это уравнение:

$(x+1)^2 = 3(3x) - 5$

$x^2 + 2x + 1 = 9x - 5$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

Найдем соответствующие значения $y$ из соотношения $y = 3x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 3 \cdot 6 = 18$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные пары $(x, y)$ ОДЗ: $x > -1$ и $y > \frac{5}{3}$.

Пара $(1, 3)$: $1 > -1$ и $3 > \frac{5}{3}$ (так как $3 = \frac{9}{3}$). Решение подходит.

Пара $(6, 18)$: $6 > -1$ и $18 > \frac{5}{3}$. Решение подходит.

Ответ: $(1, 3), (6, 18)$.