Страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

136 a) $\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} - \sqrt{5x-3} = 0;$

б) $\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} - \sqrt{x+4} = 0.$

а) $\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} - \sqrt{5x-3} = 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} \frac{x+5}{2x+1} \ge 0 \\ 5x-3 \ge 0 \\ 2x+1 \ne 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство: $5x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{5}$.

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=-\frac{1}{2}$.

На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty, -5]$, $( -5, -\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, +\infty)$. Проверяя знаки, получаем, что дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -5] \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение всех условий ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -5] \cup (-\frac{1}{2}, +\infty) \\ x \ge \frac{3}{5} \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $x \in [\frac{3}{5}, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим само уравнение. Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} = \sqrt{5x-3}$

Так как обе части уравнения неотрицательны (в силу ОДЗ), мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{x+5}{2x+1} = 5x-3$

Умножим обе части на $(2x+1)$, так как по ОДЗ $x \ge \frac{3}{5}$, то $2x+1 \ne 0$:

$x+5 = (5x-3)(2x+1)$

$x+5 = 10x^2 + 5x - 6x - 3$

$x+5 = 10x^2 - x - 3$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$10x^2 - 2x - 8 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$5x^2 - x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(5)(-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge \frac{3}{5}$).

Корень $x_1 = 1$. Так как $1 \ge \frac{3}{5}$ (1 ≥ 0.6), этот корень подходит.

Корень $x_2 = -\frac{4}{5}$. Так как $-\frac{4}{5} < \frac{3}{5}$ (-0.8 < 0.6), этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x=1$.

б) $\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} - \sqrt{x+4} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} \frac{x+7}{3x+5} \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \\ 3x+5 \ne 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем: $x \ge -4$.

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-7$ и $x=-\frac{5}{3}$.

На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty, -7]$, $(-7, -\frac{5}{3})$ и $(-\frac{5}{3}, +\infty)$. Дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -7] \cup (-\frac{5}{3}, +\infty)$.

Найдем пересечение всех условий ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -7] \cup (-\frac{5}{3}, +\infty) \\ x \ge -4 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $x \in (-\frac{5}{3}, +\infty)$. Это ОДЗ нашего уравнения. ($-\frac{5}{3} \approx -1.67$)

Перенесем корень в правую часть уравнения:

$\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} = \sqrt{x+4}$

Возведем обе части в квадрат, так как они неотрицательны на ОДЗ:

$\frac{x+7}{3x+5} = x+4$

Умножим обе части на $(3x+5)$, так как по ОДЗ $x > -\frac{5}{3}$, то $3x+5 \ne 0$:

$x+7 = (x+4)(3x+5)$

$x+7 = 3x^2 + 5x + 12x + 20$

$x+7 = 3x^2 + 17x + 20$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 + 16x + 13 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4(3)(13) = 256 - 156 = 100 = 10^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x > -\frac{5}{3}$).

Корень $x_1 = -1$. Так как $-1 > -\frac{5}{3}$ (-1 > -1.67), этот корень подходит.

Корень $x_2 = -\frac{13}{3}$. Так как $-\frac{13}{3} \approx -4.33$, а $-4.33 < -\frac{5}{3}$, этот корень является посторонним.

Таким образом, решением уравнения является только один корень.

Ответ: $x=-1$.

137 a) $\frac{|x|-1}{\sqrt{17x^2+8-5}} = \frac{1}{3};$

Б) $\frac{|x|-1}{\sqrt{7x^2+2-3}} = \frac{1}{2};$

В) $\frac{|x|-1}{\sqrt{10x^2+6-4}} = \frac{1}{3};$

Г) $\frac{|x|-1}{\sqrt{9x^2+7-4}} = \frac{1}{2}.$

a)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{17x^2 + 8} - 5} = \frac{1}{3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

1. $17x^2 + 8 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $17x^2 + 8 > 0$.

2. $\sqrt{17x^2 + 8} - 5 \neq 0$.

$\sqrt{17x^2 + 8} \neq 5$

Возведем обе части в квадрат:

$17x^2 + 8 \neq 25$

$17x^2 \neq 17$

$x^2 \neq 1$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

Для решения уравнения сделаем замену $y = |x|$. Так как $x^2 = |x|^2$, то $x^2 = y^2$. Учитывая, что $|x| \ge 0$, то и $y \ge 0$. ОДЗ в терминах $y$ будет $y \neq 1$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{17y^2 + 8} - 5} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$3(y - 1) = \sqrt{17y^2 + 8} - 5$

$3y - 3 + 5 = \sqrt{17y^2 + 8}$

$3y + 2 = \sqrt{17y^2 + 8}$

Так как $y \ge 0$, левая часть $3y + 2$ всегда положительна. Можем возвести обе части в квадрат:

$(3y + 2)^2 = 17y^2 + 8$

$9y^2 + 12y + 4 = 17y^2 + 8$

$8y^2 - 12y + 4 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$2y^2 - 3y + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$

$y_1 = \frac{3+1}{4} = 1$

$y_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь проверим корни с учетом ОДЗ ($y \neq 1$). Корень $y_1 = 1$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль.

Остается единственный корень $y_2 = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$|x| = \frac{1}{2}$

Отсюда $x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{1}{2}$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}$.

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{7x^2 + 2} - 3} = \frac{1}{2}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$\sqrt{7x^2 + 2} - 3 \neq 0$

$\sqrt{7x^2 + 2} \neq 3$

$7x^2 + 2 \neq 9$

$7x^2 \neq 7$

$x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$. Уравнение примет вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{7y^2 + 2} - 3} = \frac{1}{2}$

Перекрестно умножим:

$2(y - 1) = \sqrt{7y^2 + 2} - 3$

$2y - 2 + 3 = \sqrt{7y^2 + 2}$

$2y + 1 = \sqrt{7y^2 + 2}$

Возведем в квадрат обе части (левая часть положительна при $y \ge 0$):

$(2y + 1)^2 = 7y^2 + 2$

$4y^2 + 4y + 1 = 7y^2 + 2$

$3y^2 - 4y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6}$

$y_1 = \frac{4+2}{6} = 1$

$y_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Корень $y_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он посторонний. Остается $y_2 = \frac{1}{3}$.

Обратная замена:

$|x| = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$ или $x = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3}$.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{10x^2 + 6} - 4} = \frac{1}{3}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$\sqrt{10x^2 + 6} - 4 \neq 0$

$\sqrt{10x^2 + 6} \neq 4$

$10x^2 + 6 \neq 16$

$10x^2 \neq 10$

$x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$. Уравнение примет вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{10y^2 + 6} - 4} = \frac{1}{3}$

Перекрестно умножим:

$3(y - 1) = \sqrt{10y^2 + 6} - 4$

$3y - 3 + 4 = \sqrt{10y^2 + 6}$

$3y + 1 = \sqrt{10y^2 + 6}$

Возведем в квадрат обе части (левая часть положительна при $y \ge 0$):

$(3y + 1)^2 = 10y^2 + 6$

$9y^2 + 6y + 1 = 10y^2 + 6$

$y^2 - 6y + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $y_1=1$ и $y_2=5$.

Корень $y_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он посторонний. Остается $y_2 = 5$.

Обратная замена:

$|x| = 5$

$x = 5$ или $x = -5$.

Ответ: $x = \pm 5$.

г)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{9x^2 + 7} - 4} = \frac{1}{2}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$\sqrt{9x^2 + 7} - 4 \neq 0$

$\sqrt{9x^2 + 7} \neq 4$

$9x^2 + 7 \neq 16$

$9x^2 \neq 9$

$x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$. Уравнение примет вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{9y^2 + 7} - 4} = \frac{1}{2}$

Перекрестно умножим:

$2(y - 1) = \sqrt{9y^2 + 7} - 4$

$2y - 2 + 4 = \sqrt{9y^2 + 7}$

$2y + 2 = \sqrt{9y^2 + 7}$

Возведем в квадрат обе части (левая часть положительна при $y \ge 0$):

$(2(y + 1))^2 = 9y^2 + 7$

$4(y^2 + 2y + 1) = 9y^2 + 7$

$4y^2 + 8y + 4 = 9y^2 + 7$

$5y^2 - 8y + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.

$y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10}$

$y_1 = \frac{8+2}{10} = 1$

$y_2 = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Корень $y_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он посторонний. Остается $y_2 = \frac{3}{5}$.

Обратная замена:

$|x| = \frac{3}{5}$

$x = \frac{3}{5}$ или $x = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3}{5}$.

138 a) $\sqrt{3x+5} - \frac{1}{\sqrt{3x+5}} = \sqrt{5x-3} - \frac{1}{\sqrt{5x-3}};$

б) $\sqrt{7x+1002} - \sqrt{8x-1000} = \frac{1}{\sqrt{7x+1002}} - \frac{1}{\sqrt{8x-1000}};$

в) $\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+2}} - \frac{\sqrt{2x-0.5}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2x+3}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x-0.5}};$

г) $\sqrt{x^2+3} + \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} = \sqrt{x^2+x+2} + \frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}};$

д) $\sqrt{x^2+1} - \sqrt{2x^2-4x+5} = \frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}};$

е) $\sqrt{x^2+1} - \sqrt{2x^2-9x+21} = \frac{1}{\sqrt{2x^2-9x+21}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}};$

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt{3x + 5} - \frac{1}{\sqrt{3x + 5}} = \sqrt{5x - 3} - \frac{1}{\sqrt{5x - 3}} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Потребуем, чтобы подкоренные выражения были строго положительны, так как они находятся в знаменателе:

$ 3x + 5 > 0 \Rightarrow x > -\frac{5}{3} $

$ 5x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{5} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \frac{3}{5} $.

Рассмотрим функцию $ f(t) = t - \frac{1}{t} $. Тогда исходное уравнение можно записать в виде $ f(\sqrt{3x + 5}) = f(\sqrt{5x - 3}) $.

Найдем производную функции $ f(t) $: $ f'(t) = 1 + \frac{1}{t^2} $.

В области допустимых значений аргументы функции $ \sqrt{3x+5} $ и $ \sqrt{5x-3} $ положительны. Для любого $ t > 0 $, производная $ f'(t) = 1 + \frac{1}{t^2} > 0 $. Следовательно, функция $ f(t) $ является строго возрастающей на интервале $ (0, \infty) $.

Поскольку функция строго монотонна, равенство $ f(a) = f(b) $ возможно только при $ a = b $. Значит, мы можем приравнять аргументы:

$ \sqrt{3x + 5} = \sqrt{5x - 3} $

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ 3x + 5 = 5x - 3 $

$ 8 = 2x $

$ x = 4 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x > 3/5 $). $ 4 > 3/5 $, следовательно, корень подходит.

Ответ: $ x = 4 $.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{7x + 1002} - \sqrt{8x - 1000} = \frac{1}{\sqrt{7x + 1002}} - \frac{1}{\sqrt{8x - 1000}} $

Найдем ОДЗ:

$ 7x + 1002 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1002}{7} \approx -143.14 $

$ 8x - 1000 > 0 \Rightarrow x > \frac{1000}{8} \Rightarrow x > 125 $

ОДЗ: $ x > 125 $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{7x + 1002} - \frac{1}{\sqrt{7x + 1002}} = \sqrt{8x - 1000} - \frac{1}{\sqrt{8x - 1000}} $

Это уравнение имеет вид $ f(a) = f(b) $, где $ f(t) = t - \frac{1}{t} $, $ a = \sqrt{7x + 1002} $ и $ b = \sqrt{8x - 1000} $. Как показано в предыдущем пункте, функция $ f(t) $ строго возрастает при $ t > 0 $. Следовательно, равенство возможно только при $ a = b $.

$ \sqrt{7x + 1002} = \sqrt{8x - 1000} $

Возведем обе части в квадрат:

$ 7x + 1002 = 8x - 1000 $

$ 2002 = x $

Проверяем корень по ОДЗ ($ x > 125 $). $ 2002 > 125 $, корень подходит.

Ответ: $ x = 2002 $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{2x + 3}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x - 0.5}} $

Найдем ОДЗ:

$ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -1.5 $

$ x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 $

$ 2x - 0.5 > 0 \Rightarrow x > 0.25 $

$ x > 0 $

ОДЗ: $ x > 0.25 $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{2x + 3}} = \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x - 0.5}} $

Пусть $ a = \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} $ и $ b = \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} $. Уравнение примет вид $ a - \frac{1}{a} = b - \frac{1}{b} $. Снова используем функцию $ f(t) = t - \frac{1}{t} $, которая строго возрастает при $ t > 0 $. В ОДЗ $ a > 0 $ и $ b > 0 $, поэтому из $ f(a) = f(b) $ следует $ a = b $.

$ \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} $

Возведем в квадрат:

$ \frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{2x - 0.5}{x} $

Воспользуемся свойством пропорции:

$ x(2x + 3) = (x + 2)(2x - 0.5) $

$ 2x^2 + 3x = 2x^2 - 0.5x + 4x - 1 $

$ 2x^2 + 3x = 2x^2 + 3.5x - 1 $

$ 1 = 3.5x - 3x $

$ 1 = 0.5x $

$ x = 2 $

Проверяем корень по ОДЗ ($ x > 0.25 $). $ 2 > 0.25 $, корень подходит.

Ответ: $ x = 2 $.

г)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} = \sqrt{x^2 + x + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 2}} $

Найдем ОДЗ. $ x^2 + 3 > 0 $ для любого $ x \in \mathbb{R} $. Для $ x^2 + x + 2 > 0 $ найдем дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, $ x^2 + x + 2 $ всегда больше нуля. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Рассмотрим функцию $ g(t) = t + \frac{1}{t} $. Уравнение принимает вид $ g(\sqrt{x^2 + 3}) = g(\sqrt{x^2 + x + 2}) $.

Найдем производную: $ g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2-1}{t^2} $. Функция $ g(t) $ убывает при $ t \in (0, 1) $ и возрастает при $ t \in (1, \infty) $, поэтому она не является строго монотонной. Равенство $ g(a) = g(b) $ возможно в двух случаях: $ a = b $ или $ ab = 1 $.

Случай 1: $ \sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{x^2 + x + 2} $

Возведем в квадрат:

$ x^2 + 3 = x^2 + x + 2 $

$ 3 = x + 2 $

$ x = 1 $

Случай 2: $ \sqrt{x^2 + 3} \cdot \sqrt{x^2 + x + 2} = 1 $

Возведем в квадрат: $ (x^2 + 3)(x^2 + x + 2) = 1 $. Оценим левую часть. $ x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 3 \ge 3 $. Минимальное значение выражения $ x^2 + x + 2 $ достигается при $ x = -1/2 $ и равно $ (-1/2)^2 - 1/2 + 2 = 1.75 $. Значит, $ x^2 + x + 2 \ge 1.75 $. Тогда произведение $ (x^2 + 3)(x^2 + x + 2) \ge 3 \cdot 1.75 = 5.25 $. Левая часть всегда больше 1, поэтому в этом случае решений нет.

Единственным решением является $ x = 1 $.

Ответ: $ x = 1 $.

д)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2x^2 - 4x + 5} = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 4x + 5}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $

Найдем ОДЗ. $ x^2+1 > 0 $ для любого $ x $. Дискриминант $ 2x^2-4x+5 $ равен $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 - 40 = -24 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, $ 2x^2-4x+5 > 0 $ для любого $ x $. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{2x^2 - 4x + 5} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 4x + 5}} $

Уравнение имеет вид $ g(a) = g(b) $ с функцией $ g(t) = t + \frac{1}{t} $, где $ a = \sqrt{x^2 + 1} $ и $ b = \sqrt{2x^2 - 4x + 5} $. Как и в пункте г), это приводит к двум случаям.

Случай 1: $ \sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{2x^2 - 4x + 5} $

$ x^2 + 1 = 2x^2 - 4x + 5 $

$ x^2 - 4x + 4 = 0 $

$ (x - 2)^2 = 0 $

$ x = 2 $

Случай 2: $ \sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{2x^2 - 4x + 5} = 1 $

Возведем в квадрат: $ (x^2 + 1)(2x^2 - 4x + 5) = 1 $. Оценим левую часть. $ x^2 + 1 \ge 1 $. Минимальное значение $ 2x^2 - 4x + 5 $ достигается при $ x = -(-4)/(2 \cdot 2) = 1 $ и равно $ 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 3 $. Таким образом, произведение $ (x^2 + 1)(2x^2 - 4x + 5) \ge 1 \cdot 3 = 3 $. Левая часть не может быть равна 1. Решений в этом случае нет.

Единственное решение $ x = 2 $.

Ответ: $ x = 2 $.

е)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2x^2 - 9x + 21} = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 9x + 21}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $

Найдем ОДЗ. $ x^2+1 > 0 $ для любого $ x $. Дискриминант $ 2x^2-9x+21 $ равен $ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 81 - 168 = -87 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, $ 2x^2-9x+21 > 0 $ для любого $ x $. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{2x^2 - 9x + 21} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 9x + 21}} $

Аналогично пунктам г) и д), используем функцию $ g(t) = t + \frac{1}{t} $ и рассматриваем два случая.

Случай 1: $ \sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{2x^2 - 9x + 21} $

$ x^2 + 1 = 2x^2 - 9x + 21 $

$ x^2 - 9x + 20 = 0 $

Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 9, произведение равно 20. Корни: $ x_1 = 4 $, $ x_2 = 5 $.

Случай 2: $ \sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{2x^2 - 9x + 21} = 1 $

Возводим в квадрат: $ (x^2 + 1)(2x^2 - 9x + 21) = 1 $. Оценим левую часть. $ x^2 + 1 \ge 1 $. Минимальное значение $ 2x^2 - 9x + 21 $ достигается при $ x = -(-9)/(2 \cdot 2) = 9/4 $ и равно $ 2(9/4)^2 - 9(9/4) + 21 = 81/8 - 162/8 + 168/8 = 87/8 = 10.875 $. Произведение $ (x^2+1)(2x^2-9x+21) \ge 1 \cdot \frac{87}{8} > 1 $. Решений в этом случае нет.

Решениями являются корни из первого случая.

Ответ: $ x = 4; x = 5 $.

139 $(\frac{8}{7})^{\frac{1}{y^2}} = (\frac{7}{8})^{-\frac{1}{|2 - y^2|}}$

Исходное показательное уравнение:

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\frac{7}{8}\right)^{-\frac{1}{|2-y^2|}} $$

Для решения приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $ \frac{7}{8} = \left(\frac{8}{7}\right)^{-1} $. Подставим это в правую часть уравнения:

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\left(\frac{8}{7}\right)^{-1}\right)^{-\frac{1}{|2-y^2|}} $$

Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, упростим правую часть:

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\frac{8}{7}\right)^{(-1) \cdot \left(-\frac{1}{|2-y^2|}\right)} $$

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{|2-y^2|}} $$

Поскольку основания степеней одинаковы и не равны единице ($ \frac{8}{7} \neq 1 $), мы можем приравнять их показатели:

$$ \frac{1}{y^2} = \frac{1}{|2-y^2|} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в показателях степеней не должны равняться нулю:

1. $ y^2 \neq 0 $, что означает $ y \neq 0 $.

2. $ |2 - y^2| \neq 0 $, что означает $ 2 - y^2 \neq 0 $, или $ y^2 \neq 2 $. Следовательно, $ y \neq \sqrt{2} $ и $ y \neq -\sqrt{2} $.

Из уравнения $ \frac{1}{y^2} = \frac{1}{|2-y^2|} $ следует, что знаменатели должны быть равны: $ y^2 = |2-y^2| $. Для решения этого уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $ 2 - y^2 \ge 0 $.

Это условие эквивалентно $ y^2 \le 2 $. В этом случае $ |2-y^2| = 2-y^2 $. Уравнение принимает вид:

$$ y^2 = 2-y^2 $$

$$ 2y^2 = 2 $$

$$ y^2 = 1 $$

Отсюда получаем два корня: $ y = 1 $ и $ y = -1 $. Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $ y^2 \le 2 $. Для обоих корней $ y^2 = 1^2 = (-1)^2 = 1 $. Так как $ 1 \le 2 $, оба корня подходят под этот случай. Также они удовлетворяют ОДЗ ($ y \neq 0 $ и $ y^2 \neq 2 $).

Случай 2: $ 2 - y^2 < 0 $.

Это условие эквивалентно $ y^2 > 2 $. В этом случае $ |2-y^2| = -(2-y^2) = y^2-2 $. Уравнение принимает вид:

$$ y^2 = y^2-2 $$

$$ 0 = -2 $$

Получили неверное равенство, что означает, что в данном случае решений нет.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются значения, полученные в первом случае.

Ответ: $ y = \pm 1 $.

140 a) $2^{x-3} + 2^{3-x} = -x^2 + 6x - 7;$

б) $2^{x-2} + 2^{2-x} = -x^2 + 4x - 2.$

а)

Рассмотрим уравнение $2^{x-3} + 2^{3-x} = -x^2 + 6x - 7$.

Данное уравнение содержит как показательную, так и квадратичную функции. Такие уравнения удобно решать методом оценки, анализируя области значений левой и правой частей.

1. Анализ левой части уравнения (ЛЧ)

Пусть $f(x) = 2^{x-3} + 2^{3-x}$. Заметим, что $2^{3-x} = \frac{1}{2^{x-3}}$. Выражение $f(x)$ представляет собой сумму двух взаимно обратных положительных чисел. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши), которое гласит, что для любого положительного числа $a$ справедливо $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

В нашем случае $a = 2^{x-3}$. Тогда:

$f(x) = 2^{x-3} + \frac{1}{2^{x-3}} \ge 2$.

Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения равно 2. Это значение достигается, когда слагаемые равны, то есть $2^{x-3} = 1$.

$2^{x-3} = 2^0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Итак, ЛЧ $\ge 2$, причем равенство достигается при $x=3$.

2. Анализ правой части уравнения (ПЧ)

Пусть $g(x) = -x^2 + 6x - 7$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Свое наибольшее значение она принимает в вершине.

Координата вершины параболы $x_v$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x=3$ в $g(x)$:

$g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$.

Таким образом, наибольшее значение правой части уравнения равно 2, и оно достигается при $x=3$. Итак, ПЧ $\le 2$.

3. Нахождение решения

Мы получили, что для любого $x$ левая часть уравнения $2^{x-3} + 2^{3-x} \ge 2$, а правая часть $-x^2 + 6x - 7 \le 2$.

Равенство между ними возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 2. Как мы установили, это происходит при одном и том же значении $x = 3$.

Проверим: при $x=3$ левая часть равна $2^{3-3} + 2^{3-3} = 1+1=2$, и правая часть равна $-3^2+6 \cdot 3-7 = -9+18-7=2$.

Поскольку $2=2$, $x=3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$

б)

Рассмотрим уравнение $2^{x-2} + 2^{2-x} = -x^2 + 4x - 2$.

Решим это уравнение аналогично предыдущему, методом оценки.

1. Анализ левой части уравнения (ЛЧ)

Пусть $f(x) = 2^{x-2} + 2^{2-x}$. Это также сумма двух взаимно обратных положительных величин.

По неравенству Коши ($a + \frac{1}{a} \ge 2$):

$f(x) = 2^{x-2} + \frac{1}{2^{x-2}} \ge 2$.

Наименьшее значение левой части равно 2. Оно достигается при $2^{x-2}=1$.

$2^{x-2} = 2^0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Итак, ЛЧ $\ge 2$, и равенство достигается при $x=2$.

2. Анализ правой части уравнения (ПЧ)

Пусть $g(x) = -x^2 + 4x - 2$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз. Найдем ее наибольшее значение в вершине.

Координата вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.

Наибольшее значение функции:

$g(2) = -(2)^2 + 4(2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.

Итак, ПЧ $\le 2$, и равенство достигается при $x=2$.

3. Нахождение решения

Мы имеем левую часть, которая всегда не меньше 2, и правую часть, которая всегда не больше 2. Равенство возможно только если обе части равны 2. Мы выяснили, что и левая, и правая части принимают значение 2 при одном и том же $x = 2$.

Следовательно, $x=2$ является единственным корнем уравнения.

Проверка: при $x=2$ левая часть равна $2^{2-2} + 2^{2-2} = 1+1=2$, и правая часть равна $-2^2+4 \cdot 2 - 2 = -4+8-2=2$.

Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $2$

141 a) $x^{\log_7 4} + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0;$

б) $x^{\log_5 9} + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0.$

а) $x^{\log_7 4} + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$.

Воспользуемся основным логарифмическим свойством $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим его к первому слагаемому уравнения:

$x^{\log_7 4} = 4^{\log_7 x}$

Теперь уравнение принимает вид:

$4^{\log_7 x} + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0$

Так как $4 = 2^2$, то $4^{\log_7 x} = (2^2)^{\log_7 x} = (2^{\log_7 x})^2$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(2^{\log_7 x})^2 + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\log_7 x}$. Так как показательная функция всегда положительна ($a^z > 0$), то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 5t - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$

Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$

$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$

Учитывая условие $t > 0$, корень $t_1$ является посторонним, так как он отрицателен.

Корень $t_2$ удовлетворяет условию $t > 0$, так как $\sqrt{41} > \sqrt{25} = 5$, следовательно, числитель $-5 + \sqrt{41}$ положителен.

Вернемся к исходной переменной:

$2^{\log_7 x} = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$

Чтобы найти $\log_7 x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(2^{\log_7 x}) = \log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)$

$\log_7 x = \log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)$

Из определения логарифма находим $x$:

$x = 7^{\log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)}$

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = 7^{\log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)}$

б) $x^{\log_5 9} + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ для первого слагаемого:

$x^{\log_5 9} = 9^{\log_5 x}$

Уравнение принимает вид:

$9^{\log_5 x} + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0$

Представим $9$ как $3^2$, тогда $9^{\log_5 x} = (3^2)^{\log_5 x} = (3^{\log_5 x})^2$.

Уравнение преобразуется к виду:

$(3^{\log_5 x})^2 + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0$

Выполним замену переменной. Пусть $y = 3^{\log_5 x}$. Так как $y$ - значение показательной функции, то $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 + 7y - 11 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 49 + 44 = 93$

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{93}}{2}$

Получаем два значения для $y$:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{93}}{2}$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{93}}{2}$

Согласно условию $y > 0$, корень $y_1$ не подходит, так как он отрицательный.

Корень $y_2$ подходит, так как $\sqrt{93} > \sqrt{49} = 7$, и, следовательно, числитель $-7 + \sqrt{93}$ положителен.

Выполним обратную замену:

$3^{\log_5 x} = \frac{-7 + \sqrt{93}}{2}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{\log_5 x}) = \log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)$

$\log_5 x = \log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)$

По определению логарифма находим $x$:

$x = 5^{\log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)}$

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = 5^{\log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)}$

142 a) $\log_2 \frac{x+2}{5} + \log_2 \frac{5}{x} = 1;$

б) $\log_2 \frac{x+3}{5} + \log_2 \frac{5}{x+1} = 1.$

а) $\log_2 \frac{x+2}{5} + \log_2 \frac{5}{x} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля.

$\begin{cases} \frac{x+2}{5} > 0 \\ \frac{5}{x} > 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 0$.

2. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_2 \left(\frac{x+2}{5} \cdot \frac{5}{x}\right) = 1$

Сокращаем дробь:

$\log_2 \left(\frac{x+2}{x}\right) = 1$

3. По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$.

$\frac{x+2}{x} = 2^1$

$\frac{x+2}{x} = 2$

4. Решим полученное уравнение, умножив обе части на $x$ (это возможно, так как по ОДЗ $x \neq 0$).

$x+2 = 2x$

$2x - x = 2$

$x = 2$

5. Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие $x > 0$ выполняется, так как $2 > 0$.

Ответ: $2$.

б) $\log_2 \frac{x+3}{5} + \log_2 \frac{5}{x+1} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} \frac{x+3}{5} > 0 \\ \frac{5}{x+1} > 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x+3 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -1$.

2. Используем свойство суммы логарифмов.

$\log_2 \left(\frac{x+3}{5} \cdot \frac{5}{x+1}\right) = 1$

Сокращаем дробь:

$\log_2 \left(\frac{x+3}{x+1}\right) = 1$

3. По определению логарифма:

$\frac{x+3}{x+1} = 2^1$

$\frac{x+3}{x+1} = 2$

4. Решим полученное уравнение, умножив обе части на $x+1$ (это возможно, так как по ОДЗ $x+1 \neq 0$).

$x+3 = 2(x+1)$

$x+3 = 2x + 2$

$2x - x = 3 - 2$

$x = 1$

5. Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие $x > -1$ выполняется, так как $1 > -1$.

Ответ: $1$.

143 a) $ \log_{4x-8}(x^2 - 2x - 3) = 1; $

б) $ \log_{5-2x}(x^2 - 6x + 8) = 1. $

а)

Дано логарифмическое уравнение: $ \log_{4x-8}(x^2 - 2x - 3) = 1 $.

По определению логарифма, уравнение $ \log_a b = 1 $ равносильно тому, что основание $ a $ равно аргументу $ b $. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: основание должно быть положительным и не равным единице.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 = 4x - 8 \\ 4x - 8 > 0 \\ 4x - 8 \neq 1 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:

$ x^2 - 2x - 3 = 4x - 8 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^2 - 2x - 4x - 3 + 8 = 0 $

$ x^2 - 6x + 5 = 0 $

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 6 $

$ x_1 \cdot x_2 = 5 $

Подбором находим корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 5 $.

2. Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям ОДЗ из системы.

Условие на основание (1): $ 4x - 8 > 0 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow x > 2 $.

Условие на основание (2): $ 4x - 8 \neq 1 \Rightarrow 4x \neq 9 \Rightarrow x \neq \frac{9}{4} $ или $ x \neq 2.25 $.

Объединив условия, получаем, что $ x \in (2; 2.25) \cup (2.25; +\infty) $.

Проверим корень $ x_1 = 1 $:

Условие $ 1 > 2 $ не выполняется. Следовательно, $ x=1 $ — посторонний корень.

Проверим корень $ x_2 = 5 $:

Условие $ 5 > 2 $ выполняется.

Условие $ 5 \neq 2.25 $ выполняется.

Следовательно, $ x=5 $ является решением уравнения.

Ответ: $ x=5 $.

б)

Дано логарифмическое уравнение: $ \log_{5-2x}(x^2 - 6x + 8) = 1 $.

Данное уравнение равносильно системе, где аргумент равен основанию, а основание удовлетворяет условиям ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 = 5 - 2x \\ 5 - 2x > 0 \\ 5 - 2x \neq 1 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:

$ x^2 - 6x + 8 = 5 - 2x $

$ x^2 - 6x + 2x + 8 - 5 = 0 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 4 $

$ x_1 \cdot x_2 = 3 $

Корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $.

2. Проверим найденные корни на соответствие условиям ОДЗ.

Условие на основание (1): $ 5 - 2x > 0 \Rightarrow 5 > 2x \Rightarrow x < \frac{5}{2} $ или $ x < 2.5 $.

Условие на основание (2): $ 5 - 2x \neq 1 \Rightarrow 4 \neq 2x \Rightarrow x \neq 2 $.

Общая область допустимых значений для $x$: $ x \in (-\infty; 2) \cup (2; 2.5) $.

Проверим корень $ x_1 = 1 $:

Условие $ 1 < 2.5 $ выполняется.

Условие $ 1 \neq 2 $ выполняется.

Следовательно, $ x=1 $ является решением уравнения.

Проверим корень $ x_2 = 3 $:

Условие $ 3 < 2.5 $ не выполняется. Следовательно, $ x=3 $ — посторонний корень.

Ответ: $ x=1 $.

144 $\log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\sqrt{\pi}} |x|$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы логарифмическое выражение имело смысл, его аргумент должен быть строго положительным. Для данного уравнения $\log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\sqrt{\pi}} |x|$ имеем два условия:

1) Аргумент первого логарифма: $|x^2 - 1| > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 1$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2) Аргумент второго логарифма: $|x| > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x \neq 0$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Преобразование уравнения к одному основанию

Для решения уравнения необходимо привести логарифмы к общему основанию. Удобно выбрать основание $\pi$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ для преобразования правой части уравнения:

$\log_{\sqrt{\pi}} |x| = \frac{\log_{\pi} |x|}{\log_{\pi} \sqrt{\pi}}$

Вычислим знаменатель: $\log_{\pi} \sqrt{\pi} = \log_{\pi} (\pi^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_{\pi} \pi = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Подставим полученное значение обратно в выражение для правой части:

$\log_{\sqrt{\pi}} |x| = \frac{\log_{\pi} |x|}{1/2} = 2 \log_{\pi} |x|$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_{\pi} |x^2 - 1| = 2 \log_{\pi} |x|$

3. Решение преобразованного уравнения

Применим свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$ к правой части:

$2 \log_{\pi} |x| = \log_{\pi} (|x|^2)$

Поскольку $|x|^2 = x^2$, уравнение принимает вид:

$\log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\pi} (x^2)$

Так как основания логарифмов равны, а логарифмическая функция является взаимно-однозначной (монотонной), мы можем приравнять их аргументы:

$|x^2 - 1| = x^2$

Данное уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений, учитывая, что правая часть $x^2$ всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$):

Случай а): $x^2 - 1 = x^2$.

Упрощая, получаем $-1 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай б): $x^2 - 1 = -x^2$.

Перенесем члены уравнения: $2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим два возможных корня: $x = \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Упростим корни: $x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Проверка соответствия корней ОДЗ

Полученные значения $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ необходимо сравнить с ОДЗ ($x \neq 0, x \neq \pm 1$).

Оба корня удовлетворяют этим условиям, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

145 a) $log_{12}(x-3) + \sqrt{6-2x} + x = 5;$

б) $log_{0.3}(10-5x) + \sqrt{3x-6} - x = 2.$

а) $log_{12}(x-3) + \sqrt{6-2x} + x = 5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. ОДЗ определяется условиями существования всех выражений в уравнении:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x - 3 > 0$.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $6 - 2x \geq 0$.

Решим полученную систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 6 - 2x \geq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$x > 3$

Из второго неравенства получаем:

$6 \geq 2x$

$3 \geq x$, или $x \leq 3$

Таким образом, мы должны найти значения $x$, удовлетворяющие системе:

$\begin{cases} x > 3 \\ x \leq 3 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно строго больше 3 и меньше либо равно 3. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $log_{0,3}(10 - 5x) + \sqrt{3x - 6} - x = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. ОДЗ определяется двумя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $10 - 5x > 0$.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x - 6 \geq 0$.

Решим полученную систему неравенств:

$\begin{cases} 10 - 5x > 0 \\ 3x - 6 \geq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$10 > 5x$

$2 > x$, или $x < 2$

Из второго неравенства получаем:

$3x \geq 6$

$x \geq 2$

Таким образом, мы должны найти значения $x$, удовлетворяющие системе:

$\begin{cases} x < 2 \\ x \geq 2 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа $x$, которое было бы одновременно строго меньше 2 и больше либо равно 2. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

146 a) $8 \sqrt{\frac{1 + \cos 4x}{1 - \cos 4x}} + \sqrt[3]{\operatorname{tg}\left(\frac{9\pi}{2} - 2x\right)} = 0$;

б) $4 \sqrt[4]{\frac{1 - \cos 8x}{1 + \cos 8x}} + \sqrt[7]{\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - 4x\right)} = 0.$

а) $ \sqrt[8]{\frac{1 + \cos 4x}{1 - \cos 4x}} + \sqrt[3]{\operatorname{tg}\left(\frac{9\pi}{2} - 2x\right)} = 0 $

Сначала преобразуем оба слагаемых в уравнении.

1. Рассмотрим первое слагаемое. Используем формулы двойного угла для косинуса: $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$ и $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$. Применим их для $\alpha = 2x$:

$ \frac{1 + \cos 4x}{1 - \cos 4x} = \frac{2\cos^2 2x}{2\sin^2 2x} = \operatorname{ctg}^2 2x $

Тогда первое слагаемое примет вид:

$ \sqrt[8]{\operatorname{ctg}^2 2x} = \sqrt[4]{|\operatorname{ctg} 2x|} $

2. Рассмотрим второе слагаемое. Используем формулу приведения для тангенса: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$.

$ \operatorname{tg}\left(\frac{9\pi}{2} - 2x\right) = \operatorname{tg}\left(4\pi + \frac{\pi}{2} - 2x\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \operatorname{ctg} 2x $

Тогда второе слагаемое равно $ \sqrt[3]{\operatorname{ctg} 2x} $.

3. Запишем преобразованное уравнение:

$ \sqrt[4]{|\operatorname{ctg} 2x|} + \sqrt[3]{\operatorname{ctg} 2x} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из исходного уравнения знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - \cos 4x \neq 0 \implies \cos 4x \neq 1 \implies 4x \neq 2\pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Также аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$: $\frac{9\pi}{2} - 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies 4\pi - 2x \neq \pi m \implies 2x \neq \pi(4-m)$. Это условие эквивалентно $x \neq \frac{\pi j}{2}, j \in \mathbb{Z}$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим преобразованное уравнение. Пусть $u = \operatorname{ctg} 2x$. Уравнение примет вид:

$ \sqrt[4]{|u|} + \sqrt[3]{u} = 0 $

Поскольку $ \sqrt[4]{|u|} \ge 0 $, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ \sqrt[3]{u} \le 0 $, что означает $ u \le 0 $.
Если $u \le 0$, то $|u| = -u$. Уравнение становится:

$ \sqrt[4]{-u} + \sqrt[3]{u} = 0 \implies \sqrt[4]{-u} = -\sqrt[3]{u} $

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 0$.
Подставив в уравнение, получаем $ \sqrt[4]{0} + \sqrt[3]{0} = 0 $, что верно. Значит, $u=0$ является решением.
$ \operatorname{ctg} 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $u < 0$.
Возведем обе части уравнения $ \sqrt[4]{-u} = -\sqrt[3]{u} $ в 12-ю степень (наименьшее общее кратное 3 и 4):

$ (\sqrt[4]{-u})^{12} = (-\sqrt[3]{u})^{12} $

$ (-u)^3 = u^4 $

$ -u^3 = u^4 $

$ u^4 + u^3 = 0 $

$ u^3(u+1) = 0 $

Так как мы рассматриваем случай $u < 0$, то $u+1=0 \implies u=-1$.
Проверка: $ \sqrt[4]{|-1|} + \sqrt[3]{-1} = \sqrt[4]{1} - 1 = 1-1 = 0 $. Верно.
$ \operatorname{ctg} 2x = -1 \implies 2x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$

б) $ \sqrt[4]{\frac{1 - \cos 8x}{1 + \cos 8x}} + \sqrt[7]{\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - 4x\right)} = 0 $

Сначала преобразуем оба слагаемых в уравнении.

1. Рассмотрим первое слагаемое. Используем формулы двойного угла для косинуса: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$. Применим их для $\alpha = 4x$:

$ \frac{1 - \cos 8x}{1 + \cos 8x} = \frac{2\sin^2 4x}{2\cos^2 4x} = \operatorname{tg}^2 4x $

Тогда первое слагаемое примет вид:

$ \sqrt[4]{\operatorname{tg}^2 4x} = \sqrt{|\operatorname{tg} 4x|} $

2. Рассмотрим второе слагаемое. Используем формулу приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

$ \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - 4x\right) = \operatorname{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - 4x\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = \operatorname{tg} 4x $

Тогда второе слагаемое равно $ \sqrt[7]{\operatorname{tg} 4x} $.

3. Запишем преобразованное уравнение:

$ \sqrt{|\operatorname{tg} 4x|} + \sqrt[7]{\operatorname{tg} 4x} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из исходного уравнения знаменатель не должен быть равен нулю: $1 + \cos 8x \neq 0 \implies \cos 8x \neq -1 \implies 8x \neq \pi + 2\pi k \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
Это условие эквивалентно тому, что $\operatorname{tg} 4x$ определен, то есть $\cos 4x \neq 0$.
Также аргумент котангенса не должен быть равен $\pi m$: $\frac{5\pi}{2} - 4x \neq \pi m \implies 4x \neq \frac{5\pi}{2} - \pi m \implies 4x \neq \frac{\pi(5-2m)}{2}$. Это означает, что $4x$ не может быть нечетным кратным $\frac{\pi}{2}$, что также эквивалентно условию $\cos 4x \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим преобразованное уравнение. Пусть $u = \operatorname{tg} 4x$. Уравнение примет вид:

$ \sqrt{|u|} + \sqrt[7]{u} = 0 $

Поскольку $ \sqrt{|u|} \ge 0 $, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ \sqrt[7]{u} \le 0 $, что означает $ u \le 0 $.
Если $u \le 0$, то $|u| = -u$. Уравнение становится:

$ \sqrt{-u} + \sqrt[7]{u} = 0 \implies \sqrt{-u} = -\sqrt[7]{u} $

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 0$.
Подставив в уравнение, получаем $ \sqrt{0} + \sqrt[7]{0} = 0 $, что верно. Значит, $u=0$ является решением.
$ \operatorname{tg} 4x = 0 \implies 4x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $u < 0$.
Возведем обе части уравнения $ \sqrt{-u} = -\sqrt[7]{u} $ в 14-ю степень (наименьшее общее кратное 2 и 7):

$ (\sqrt{-u})^{14} = (-\sqrt[7]{u})^{14} $

$ (-u)^7 = u^2 $

$ -u^7 = u^2 $

$ u^7 + u^2 = 0 $

$ u^2(u^5+1) = 0 $

Так как мы рассматриваем случай $u < 0$, то $u^5+1=0 \implies u^5=-1 \implies u=-1$.
Проверка: $ \sqrt{|-1|} + \sqrt[7]{-1} = \sqrt{1} - 1 = 1-1 = 0 $. Верно.
$ \operatorname{tg} 4x = -1 \implies 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, \quad x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}.$

147 а) $|5 - x| + |x + 1| = 6 \sin x;$

Б) $|x - 2| + |x - 8| = 6 \sin x;$

В) $|x + 5| + |x - 1| = 6 \sin x.$

а)

Рассмотрим уравнение $|5 - x| + |x + 1| = 6 \sin x$.

Левую часть уравнения, $L(x) = |5 - x| + |x + 1|$, можно представить как $L(x) = |x - 5| + |x - (-1)|$. Геометрически это выражение равно сумме расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $5$ и $-1$.

Расстояние между точками $5$ и $-1$ равно $|5 - (-1)| = 6$. По свойству расстояний (неравенство треугольника), сумма расстояний от точки $x$ до двух фиксированных точек не может быть меньше расстояния между этими точками. Таким образом, $L(x) \ge 6$. Равенство $L(x) = 6$ достигается тогда и только тогда, когда точка $x$ лежит на отрезке, соединяющем точки $-1$ и $5$, то есть при $-1 \le x \le 5$.

Правая часть уравнения, $R(x) = 6 \sin x$. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений функции $R(x)$ — это отрезок $[-6, 6]$. Это означает, что $R(x) \le 6$.

Для того чтобы исходное равенство $L(x) = R(x)$ выполнялось, необходимо, чтобы обе части уравнения были равны, при этом $L(x) \ge 6$ и $R(x) \le 6$. Единственная возможность для этого — когда обе части равны $6$.

Следовательно, мы должны решить систему из двух условий:

1) $|x - 5| + |x + 1| = 6 \implies -1 \le x \le 5$.

2) $6 \sin x = 6 \implies \sin x = 1$.

Решениями уравнения $\sin x = 1$ являются $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь нужно найти те решения, которые принадлежат отрезку $[-1, 5]$.

Проверим значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 1.57$. Этот корень удовлетворяет неравенству $-1 \le 1.57 \le 5$.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-1, 5]$.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Этот корень также не принадлежит отрезку $[-1, 5]$.

Таким образом, существует единственное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

б)

Рассмотрим уравнение $|x - 2| + |x - 8| = 6 \sin x$.

Аналогично предыдущему пункту, оценим левую и правую части уравнения.

Левая часть $L(x) = |x - 2| + |x - 8|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $2$ и $8$. Расстояние между точками $2$ и $8$ равно $|8 - 2| = 6$. Следовательно, $L(x) \ge 6$. Равенство достигается при $2 \le x \le 8$.

Правая часть $R(x) = 6 \sin x$ принимает значения из отрезка $[-6, 6]$, то есть $R(x) \le 6$.

Равенство $L(x) = R(x)$ возможно только при условии $L(x) = R(x) = 6$. Это приводит к системе:

1) $|x - 2| + |x - 8| = 6 \implies 2 \le x \le 8$.

2) $6 \sin x = 6 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, удовлетворяющие условию $2 \le x \le 8$.

Проверим значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Этот корень не входит в отрезок $[2, 8]$.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.1416$, то $x \approx \frac{5 \cdot 3.1416}{2} \approx 7.854$. Этот корень удовлетворяет неравенству $2 \le 7.854 \le 8$.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \approx 14.137$. Этот корень не принадлежит отрезку $[2, 8]$.

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{2}$.

в)

Рассмотрим уравнение $|x + 5| + |x - 1| = 6 \sin x$.

Снова применим метод оценки.

Левая часть $L(x) = |x + 5| + |x - 1| = |x - (-5)| + |x - 1|$. Это сумма расстояний от точки $x$ до точек $-5$ и $1$. Расстояние между этими точками равно $|1 - (-5)| = 6$. Таким образом, $L(x) \ge 6$, и равенство достигается при $-5 \le x \le 1$.

Правая часть $R(x) = 6 \sin x$ имеет максимальное значение $6$.

Равенство $L(x) = R(x)$ возможно только если обе части равны $6$. Получаем систему:

1) $|x + 5| + |x - 1| = 6 \implies -5 \le x \le 1$.

2) $6 \sin x = 6 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, которые принадлежат отрезку $[-5, 1]$.

Проверим значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Этот корень не входит в отрезок $[-5, 1]$, так как $1.57 > 1$.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.1416$, то $x \approx -\frac{3 \cdot 3.1416}{2} \approx -4.712$. Этот корень удовлетворяет неравенству $-5 \le -4.712 \le 1$.
• При $k = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} \approx -10.99$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-5, 1]$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2}$.