Номер 143, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 143, страница 422.

Условие.

143 a) $ \log_{4x-8}(x^2 - 2x - 3) = 1; $

б) $ \log_{5-2x}(x^2 - 6x + 8) = 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано логарифмическое уравнение: $ \log_{4x-8}(x^2 - 2x - 3) = 1 $.

По определению логарифма, уравнение $ \log_a b = 1 $ равносильно тому, что основание $ a $ равно аргументу $ b $. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: основание должно быть положительным и не равным единице.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 = 4x - 8 \\ 4x - 8 > 0 \\ 4x - 8 \neq 1 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:

$ x^2 - 2x - 3 = 4x - 8 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^2 - 2x - 4x - 3 + 8 = 0 $

$ x^2 - 6x + 5 = 0 $

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 6 $

$ x_1 \cdot x_2 = 5 $

Подбором находим корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 5 $.

2. Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям ОДЗ из системы.

Условие на основание (1): $ 4x - 8 > 0 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow x > 2 $.

Условие на основание (2): $ 4x - 8 \neq 1 \Rightarrow 4x \neq 9 \Rightarrow x \neq \frac{9}{4} $ или $ x \neq 2.25 $.

Объединив условия, получаем, что $ x \in (2; 2.25) \cup (2.25; +\infty) $.

Проверим корень $ x_1 = 1 $:

Условие $ 1 > 2 $ не выполняется. Следовательно, $ x=1 $ — посторонний корень.

Проверим корень $ x_2 = 5 $:

Условие $ 5 > 2 $ выполняется.

Условие $ 5 \neq 2.25 $ выполняется.

Следовательно, $ x=5 $ является решением уравнения.

Ответ: $ x=5 $.

б)

Дано логарифмическое уравнение: $ \log_{5-2x}(x^2 - 6x + 8) = 1 $.

Данное уравнение равносильно системе, где аргумент равен основанию, а основание удовлетворяет условиям ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 = 5 - 2x \\ 5 - 2x > 0 \\ 5 - 2x \neq 1 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:

$ x^2 - 6x + 8 = 5 - 2x $

$ x^2 - 6x + 2x + 8 - 5 = 0 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 4 $

$ x_1 \cdot x_2 = 3 $

Корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $.

2. Проверим найденные корни на соответствие условиям ОДЗ.

Условие на основание (1): $ 5 - 2x > 0 \Rightarrow 5 > 2x \Rightarrow x < \frac{5}{2} $ или $ x < 2.5 $.

Условие на основание (2): $ 5 - 2x \neq 1 \Rightarrow 4 \neq 2x \Rightarrow x \neq 2 $.

Общая область допустимых значений для $x$: $ x \in (-\infty; 2) \cup (2; 2.5) $.

Проверим корень $ x_1 = 1 $:

Условие $ 1 < 2.5 $ выполняется.

Условие $ 1 \neq 2 $ выполняется.

Следовательно, $ x=1 $ является решением уравнения.

Проверим корень $ x_2 = 3 $:

Условие $ 3 < 2.5 $ не выполняется. Следовательно, $ x=3 $ — посторонний корень.

Ответ: $ x=1 $.