Номер 141, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 141, страница 422.

Условие.

141 a) $x^{\log_7 4} + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0;$

б) $x^{\log_5 9} + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $x^{\log_7 4} + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$.

Воспользуемся основным логарифмическим свойством $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим его к первому слагаемому уравнения:

$x^{\log_7 4} = 4^{\log_7 x}$

Теперь уравнение принимает вид:

$4^{\log_7 x} + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0$

Так как $4 = 2^2$, то $4^{\log_7 x} = (2^2)^{\log_7 x} = (2^{\log_7 x})^2$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(2^{\log_7 x})^2 + 5 \cdot 2^{\log_7 x} - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\log_7 x}$. Так как показательная функция всегда положительна ($a^z > 0$), то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 5t - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$

Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$

$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$

Учитывая условие $t > 0$, корень $t_1$ является посторонним, так как он отрицателен.

Корень $t_2$ удовлетворяет условию $t > 0$, так как $\sqrt{41} > \sqrt{25} = 5$, следовательно, числитель $-5 + \sqrt{41}$ положителен.

Вернемся к исходной переменной:

$2^{\log_7 x} = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$

Чтобы найти $\log_7 x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(2^{\log_7 x}) = \log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)$

$\log_7 x = \log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)$

Из определения логарифма находим $x$:

$x = 7^{\log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)}$

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = 7^{\log_2\left(\frac{\sqrt{41} - 5}{2}\right)}$

б) $x^{\log_5 9} + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ для первого слагаемого:

$x^{\log_5 9} = 9^{\log_5 x}$

Уравнение принимает вид:

$9^{\log_5 x} + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0$

Представим $9$ как $3^2$, тогда $9^{\log_5 x} = (3^2)^{\log_5 x} = (3^{\log_5 x})^2$.

Уравнение преобразуется к виду:

$(3^{\log_5 x})^2 + 7 \cdot 3^{\log_5 x} - 11 = 0$

Выполним замену переменной. Пусть $y = 3^{\log_5 x}$. Так как $y$ - значение показательной функции, то $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 + 7y - 11 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 49 + 44 = 93$

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{93}}{2}$

Получаем два значения для $y$:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{93}}{2}$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{93}}{2}$

Согласно условию $y > 0$, корень $y_1$ не подходит, так как он отрицательный.

Корень $y_2$ подходит, так как $\sqrt{93} > \sqrt{49} = 7$, и, следовательно, числитель $-7 + \sqrt{93}$ положителен.

Выполним обратную замену:

$3^{\log_5 x} = \frac{-7 + \sqrt{93}}{2}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{\log_5 x}) = \log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)$

$\log_5 x = \log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)$

По определению логарифма находим $x$:

$x = 5^{\log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)}$

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = 5^{\log_3\left(\frac{\sqrt{93} - 7}{2}\right)}$