Номер 134, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 134, страница 421.

Условие.

134 $\sqrt{4x - x^2} - 3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x}) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Запишем исходное уравнение в виде:

$\sqrt{4x - x^2} = 3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x})$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Она определяется системой неравенств.

1. Выражение под корнем в левой части должно быть неотрицательным:

$4x - x^2 \ge 0$

$x(4 - x) \ge 0$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [0, 4]$.

2. Выражение под корнем в правой части также должно быть неотрицательным:

$1 + \cos 2x \ge 0$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, получаем $1 + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.

3. Так как левая часть уравнения, $\sqrt{4x - x^2}$, по определению арифметического квадратного корня, неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x}) \ge 0$

$\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x} \ge 0$

Подставим сюда преобразованное подкоренное выражение $\sqrt{1 + \cos 2x} = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$:

$\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2}|\cos x| \ge 0$

$\cos x - |\cos x| \ge 0$

Рассмотрим два случая:

- Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и неравенство принимает вид $\cos x - \cos x \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно.

- Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и неравенство принимает вид $\cos x - (-\cos x) \ge 0$, то есть $2\cos x \ge 0$, или $\cos x \ge 0$. Это противоречит предположению $\cos x < 0$.

Следовательно, это условие равносильно неравенству $\cos x \ge 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ:

$\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

Условие $\cos x \ge 0$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём пересечение этих промежутков с отрезком $[0, 4]$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $\pi/2 \approx 1.57$ и $3\pi/2 \approx 4.71$.

При $k=0$ имеем отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Его пересечение с $[0, 4]$ дает отрезок $[0, \pi/2]$.

При $k=1$ имеем отрезок $[3\pi/2, 5\pi/2]$, который не имеет общих точек с отрезком $[0, 4]$.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [0, \pi/2]$.

Теперь решим уравнение на найденной ОДЗ. На отрезке $[0, \pi/2]$ выполняется условие $\cos x \ge 0$, а значит, правая часть уравнения обращается в ноль:

$3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2}|\cos x|) = 3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2}\cos x) = 0$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$\sqrt{4x - x^2} = 0$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$4x - x^2 = 0$

$x(4 - x) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ $x \in [0, \pi/2]$.

- Корень $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[0, \pi/2]$. Следовательно, $x=0$ является решением исходного уравнения.

- Корень $x_2 = 4$ не принадлежит отрезку $[0, \pi/2]$, так как $4 > \pi/2 \approx 1.57$. Следовательно, $x=4$ не является решением.

Единственным решением уравнения является $x=0$.

Ответ: $0$