Страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

121 a) $x^2 + 1 + |x - 1| = 2|x|;$

б) $x^2 + 1 + |x + 1| = 2|x|.$

а)

Решим уравнение $x^2 + 1 + |x - 1| = 2|x|$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 1 + |x - 1| - 2|x| = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Используем это свойство для преобразования уравнения:

$|x|^2 - 2|x| + 1 + |x - 1| = 0$

Первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата разности:

$(|x| - 1)^2 + |x - 1| = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных выражений. Выражение $(|x| - 1)^2$ всегда больше или равно нулю, так как это квадрат. Выражение $|x - 1|$ также всегда больше или равно нулю по определению модуля.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} (|x| - 1)^2 = 0 \\ |x - 1| = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы:

1. Из первого уравнения $(|x| - 1)^2 = 0$ следует, что $|x| - 1 = 0$, откуда $|x| = 1$. Это означает, что $x = 1$ или $x = -1$.

2. Из второго уравнения $|x - 1| = 0$ следует, что $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Таким значением является $x = 1$.

Прове

122 а) $x^2 - 6|x| - 2 = 0;$

б) $x^2 + 4|x| - 1 = 0;$

В) $|x^2 - 2x - 1| - x + 1 = 0;$

Г) $|x^2 - 2x - 1| + x - 4 = 0;$

Д) $\frac{x}{|x|} + x = x^2 + 1;$

е) $\frac{|x|}{x} + 2x = x^2 + 1.$

а) $x^2 - 6|x| - 2 = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2 - 6t - 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$. Корни уравнения для $t$: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$. Получаем два значения для $t$: $t_1 = 3 + \sqrt{11}$ $t_2 = 3 - \sqrt{11}$ Проверим условие $t \ge 0$. $t_1 = 3 + \sqrt{11} > 0$, следовательно, это подходящий корень. Для $t_2$: так как $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Значит, $3 - \sqrt{11} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к исходной переменной $x$: $|x| = t_1 = 3 + \sqrt{11}$. Отсюда получаем два решения: $x = 3 + \sqrt{11}$ и $x = -(3 + \sqrt{11})$.
Ответ: $\pm (3 + \sqrt{11})$.

б) $x^2 + 4|x| - 1 = 0$

Используем свойство $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение преобразуется в квадратное: $t^2 + 4t - 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. Корни уравнения для $t$: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$. Получаем два значения для $t$: $t_1 = -2 + \sqrt{5}$ $t_2 = -2 - \sqrt{5}$ Проверим условие $t \ge 0$. Для $t_1$: так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Значит, $-2 + \sqrt{5} > 0$. Этот корень подходит. $t_2 = -2 - \sqrt{5} < 0$, этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к переменной $x$: $|x| = t_1 = \sqrt{5} - 2$. Отсюда получаем два решения: $x = \sqrt{5} - 2$ и $x = -(\sqrt{5} - 2) = 2 - \sqrt{5}$.
Ответ: $\pm (\sqrt{5} - 2)$.

в) $|x^2 - 2x - 1| - x + 1 = 0$

Перепишем уравнение в виде $|x^2 - 2x - 1| = x - 1$. По определению модуля, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. При этом условии уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 1) $x^2 - 2x - 1 = x - 1$ 2) $x^2 - 2x - 1 = -(x - 1)$ Решим первое уравнение: $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Проверяем условие $x \ge 1$. Корень $x_1 = 0$ не подходит. Корень $x_2 = 3$ подходит. Решим второе уравнение: $x^2 - 2x - 1 = -x + 1$ $x^2 - x - 2 = 0$ По теореме Виета, корни $x_3 = 2$ и $x_4 = -1$. Проверяем условие $x \ge 1$. Корень $x_3 = 2$ подходит. Корень $x_4 = -1$ не подходит. Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=2$ и $x=3$.
Ответ: $2; 3$.

г) $|x^2 - 2x - 1| + x - 4 = 0$

Перепишем уравнение в виде $|x^2 - 2x - 1| = 4 - x$. Из определения модуля следует, что $4 - x \ge 0$, откуда $x \le 4$. При этом условии уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 1) $x^2 - 2x - 1 = 4 - x$ 2) $x^2 - 2x - 1 = -(4 - x)$ Решим первое уравнение: $x^2 - x - 5 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$. Проверим условие $x \le 4$. $x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $x_1 \approx \frac{1 + 4.58}{2} \approx 2.79$. $2.79 \le 4$, корень подходит. $x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$. $x_2 \approx \frac{1 - 4.58}{2} \approx -1.79$. $-1.79 \le 4$, корень подходит. Решим второе уравнение: $x^2 - 2x - 1 = -4 + x$ $x^2 - 3x + 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет. Следовательно, решениями исходного уравнения являются $x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.

д) $\frac{x}{|x|} + x = x^2 + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $\frac{x}{x} + x = x^2 + 1$ $1 + x = x^2 + 1$ $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Учитывая условие $x > 0$, корень $x_1 = 0$ не подходит. Корень $x_2 = 1$ подходит. Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид: $\frac{x}{-x} + x = x^2 + 1$ $-1 + x = x^2 + 1$ $x^2 - x + 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет. Единственное решение уравнения - это $x=1$.
Ответ: $1$.

е) $\frac{|x|}{x} + 2x = x^2 + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $\frac{x}{x} + 2x = x^2 + 1$ $1 + 2x = x^2 + 1$ $x^2 - 2x = 0$ $x(x - 2) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Учитывая условие $x > 0$, корень $x_1 = 0$ не подходит. Корень $x_2 = 2$ подходит. Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид: $\frac{-x}{x} + 2x = x^2 + 1$ $-1 + 2x = x^2 + 1$ $x^2 - 2x + 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет. Единственное решение уравнения - это $x=2$.
Ответ: $2$.

123 | $|x^2 - 8x + 15| = |15 - x^2|.$

Данное уравнение имеет вид $|A| = |B|$, что равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

Рассмотрим оба случая для уравнения $|x^2 - 8x + 15| = |15 - x^2|$.

Случай 1: $x^2 - 8x + 15 = 15 - x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - 8x + 15 - 15 + x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 8x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим два корня:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Случай 2: $x^2 - 8x + 15 = -(15 - x^2)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 8x + 15 = -15 + x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x + 15 + 15 - x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$-8x + 30 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-8x = -30$

$x = \frac{-30}{-8} = \frac{30}{8}$

Сократим дробь на 2:

$x_3 = \frac{15}{4}$

Объединяя все найденные корни, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $0; 4; \frac{15}{4}$.

124 $|2x + 3| = x^2$.

Для решения уравнения $|2x + 3| = x^2$ воспользуемся свойством модуля. Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух уравнений $A = B$ и $A = -B$ при условии, что $B \ge 0$.

В данном уравнении правая часть $x^2$ всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$), поэтому дополнительное условие выполняется всегда. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности (то есть объединению решений) двух уравнений:

1) $2x + 3 = x^2$

2) $2x + 3 = -x^2$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решим первое уравнение: $2x + 3 = x^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Теперь решим второе уравнение: $2x + 3 = -x^2$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + 2x + 3 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни первого уравнения: $3$ и $-1$.

Выполним проверку найденных корней:

При $x=3$: $|2 \cdot 3 + 3| = |6+3| = |9| = 9$. Правая часть: $x^2 = 3^2 = 9$. Равенство $9=9$ верно.

При $x=-1$: $|2 \cdot (-1) + 3| = |-2+3| = |1| = 1$. Правая часть: $x^2 = (-1)^2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Ответ: $-1; 3$.

125 $\frac{|x - 1|}{|x - 2|} = \frac{|x + 1|}{|x + 2|}$.

Исходное уравнение:

$$ \frac{|x - 1|}{|x - 2|} = \frac{|x + 1|}{|x + 2|} $$

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$|x - 2| \neq 0 \implies x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$|x + 2| \neq 0 \implies x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Воспользуемся свойством модуля $\frac{|a|}{|b|} = \left|\frac{a}{b}\right|$, чтобы преобразовать исходное уравнение:

$$ \left|\frac{x - 1}{x - 2}\right| = \left|\frac{x + 1}{x + 2}\right| $$

Равенство модулей $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Подмодульные выражения равны.

$$ \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{x + 1}{x + 2} $$

Применяя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$(x - 1)(x + 2) = (x + 1)(x - 2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - 2x + x - 2$

$x^2 + x - 2 = x^2 - x - 2$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$x + x = -2 + 2$

$2x = 0$

$x = 0$

Этот корень ($x=0$) удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Подмодульные выражения противоположны.

$$ \frac{x - 1}{x - 2} = -\frac{x + 1}{x + 2} $$

Выполним перекрестное умножение:

$(x - 1)(x + 2) = -(x + 1)(x - 2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + x - 2 = -(x^2 - 2x + x - 2)$

$x^2 + x - 2 = -(x^2 - x - 2)$

$x^2 + x - 2 = -x^2 + x + 2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + x - 2 + x^2 - x - 2 = 0$

$2x^2 - 4 = 0$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

Отсюда получаем два корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.

Оба корня ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$) удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны $2$ или $-2$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем все корни исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \sqrt{2}, x_3 = -\sqrt{2}$.

126 a) $ \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| = \sin x - \frac{1}{2} $;

б) $ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = \cos x - \frac{1}{2} $.

а) $|\cos x - \frac{1}{2}| = \sin x - \frac{1}{2}$

Данное уравнение имеет вид $|A| = B$. Оно может иметь решение только в том случае, если правая часть неотрицательна, так как модуль числа всегда неотрицателен. Таким образом, получаем область допустимых значений (ОДЗ):

$\sin x - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \sin x \ge \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется при $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При выполнении этого условия исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\cos x - \frac{1}{2} = \sin x - \frac{1}{2}$

2) $\cos x - \frac{1}{2} = -(\sin x - \frac{1}{2})$

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $\cos x = \sin x$.

Если $\cos x = 0$, то $\sin x$ также должен быть равен 0, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, можно разделить обе части на $\cos x \ne 0$:

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию ОДЗ $\sin x \ge \frac{1}{2}$.

При $n = 2k$ (четное), $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 > 0.5$, эта серия корней подходит.

При $n = 2k + 1$ (нечетное), $x = \frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{1}{2}$, эта серия корней не подходит.

Таким образом, из первого случая получаем решение $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x - \frac{1}{2} = -\sin x + \frac{1}{2}$

$\sin x + \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следуют две серии решений:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ $\sin x \ge \frac{1}{2}$.

Для $x = 2\pi m$: $\sin(2\pi m) = 0$. Так как $0 < \frac{1}{2}$, эти корни не подходят.

Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 1$. Так как $1 \ge \frac{1}{2}$, эти корни подходят.

Из второго случая получаем решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все подходящие решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $|\sin x - \frac{1}{2}| = \cos x - \frac{1}{2}$

Аналогично пункту а), правая часть уравнения должна быть неотрицательной. ОДЗ:

$\cos x - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \cos x \ge \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется при $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При этом условии исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\sin x - \frac{1}{2} = \cos x - \frac{1}{2}$

2) $\sin x - \frac{1}{2} = -(\cos x - \frac{1}{2})$

Решим каждое уравнение.

1) $\sin x = \cos x$.

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $\cos x \ge \frac{1}{2}$.

При $n = 2k$ (четное), $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\cos x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{2}$, эта серия корней подходит.

При $n = 2k + 1$ (нечетное), $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\cos x = \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{1}{2}$, эта серия корней не подходит.

Из первого случая получаем решение $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - \frac{1}{2} = -\cos x + \frac{1}{2}$

$\sin x + \cos x = 1$.

Как мы уже выяснили в пункте а), решениями этого уравнения являются серии $x = 2\pi m$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ $\cos x \ge \frac{1}{2}$.

Для $x = 2\pi m$: $\cos(2\pi m) = 1$. Так как $1 \ge \frac{1}{2}$, эти корни подходят.

Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$: $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Так как $0 < \frac{1}{2}$, эти корни не подходят.

Из второго случая получаем решение $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все подходящие решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

127 a) $\sqrt{|2x+1|} = 1-2|x|$;

б) $\sqrt{|1-3x|} = 1-3|x|$.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{|2x+1|} = 1 - 2|x|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $|2x+1|$ всегда неотрицательно. Правая часть уравнения должна быть также неотрицательной, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.

$1 - 2|x| \ge 0$

$1 \ge 2|x|$

$|x| \le \frac{1}{2}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:

$(\sqrt{|2x+1|})^2 = (1 - 2|x|)^2$

$|2x+1| = 1 - 4|x| + 4|x|^2$

Так как $|x|^2 = x^2$, получаем:

$|2x+1| = 1 - 4|x| + 4x^2$

Рассмотрим два случая, раскрывая модули в пределах ОДЗ.

1. Пусть $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.

В этом интервале $2x+1 \ge 0$, поэтому $|2x+1| = 2x+1$. Также $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$2x+1 = 1 - 4(-x) + 4x^2$

$2x+1 = 1 + 4x + 4x^2$

$4x^2 + 2x = 0$

$2x(2x+1) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=-\frac{1}{2}$.

Корень $x_1=0$ не входит в рассматриваемый интервал $[-\frac{1}{2}, 0)$. Корень $x_2=-\frac{1}{2}$ принадлежит этому интервалу и ОДЗ, значит, является решением.

2. Пусть $x \in [0, \frac{1}{2}]$.

В этом интервале $2x+1 > 0$, поэтому $|2x+1| = 2x+1$. Также $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$2x+1 = 1 - 4x + 4x^2$

$4x^2 - 6x = 0$

$2x(2x - 3) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=\frac{3}{2}$.

Корень $x_1=0$ принадлежит рассматриваемому интервалу $[0, \frac{1}{2}]$ и ОДЗ. Корень $x_2=\frac{3}{2}$ не принадлежит ОДЗ ($ \frac{3}{2} > \frac{1}{2} $). Значит, решением является $x=0$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}, x = 0$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{|1-3x|} = 1 - 3|x|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $|1-3x|$ всегда неотрицательно. Правая часть уравнения должна быть также неотрицательной.

$1 - 3|x| \ge 0$

$1 \ge 3|x|$

$|x| \le \frac{1}{3}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{|1-3x|})^2 = (1 - 3|x|)^2$

$|1-3x| = 1 - 6|x| + 9|x|^2$

Так как $|x|^2 = x^2$, получаем:

$|1-3x| = 1 - 6|x| + 9x^2$

Рассмотрим два случая, раскрывая модули в пределах ОДЗ.

1. Пусть $x \in [-\frac{1}{3}, 0)$.

В этом интервале $1-3x > 0$, поэтому $|1-3x| = 1-3x$. Также $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$1-3x = 1 - 6(-x) + 9x^2$

$1-3x = 1 + 6x + 9x^2$

$9x^2 + 9x = 0$

$9x(x+1) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=-1$.

Ни один из этих корней не принадлежит рассматриваемому интервалу $[-\frac{1}{3}, 0)$. $x_1=0$ не входит в интервал, а $x_2=-1$ не входит в ОДЗ. В этом случае решений нет.

2. Пусть $x \in [0, \frac{1}{3}]$.

В этом интервале $1-3x \ge 0$, поэтому $|1-3x| = 1-3x$. Также $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$1-3x = 1 - 6x + 9x^2$

$9x^2 - 3x = 0$

$3x(3x-1) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{3}$.

Оба корня, $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{3}$, принадлежат рассматриваемому интервалу $[0, \frac{1}{3}]$ и, следовательно, ОДЗ. Оба являются решениями.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $x = 0, x = \frac{1}{3}$.

128 $|\cos\frac{x}{6}\sin\frac{x}{2}| + |\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{2}| = \sin\frac{5\pi}{17}.$

Исходное уравнение:$|\cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2}| + |\sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2}| = \sin\frac{5\pi}{17}$

Обозначим $a = \cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2}$ и $b = \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2}$. Уравнение принимает вид $|a| + |b| = \sin\frac{5\pi}{17}$.Используем свойство модуля: $|a| + |b|$ равно $|a+b|$, если $a$ и $b$ одного знака (т.е. $ab \ge 0$), и $|a-b|$, если $a$ и $b$ разных знаков (т.е. $ab \le 0$).

Найдем $a+b$, $b-a$ и $ab$:$a+b = \cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2} = \sin(\frac{x}{2} + \frac{x}{6}) = \sin(\frac{3x+x}{6}) = \sin(\frac{4x}{6}) = \sin(\frac{2x}{3})$.$b-a = \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2} = \sin(\frac{x}{6} - \frac{x}{2}) = \sin(\frac{x-3x}{6}) = \sin(-\frac{2x}{6}) = -\sin(\frac{x}{3})$.$ab = (\cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2})(\sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2}) = (\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6})(\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = (\frac{1}{2}\sin\frac{x}{3})(\frac{1}{2}\sin x) = \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}\sin x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ab \ge 0$, то есть $\sin\frac{x}{3}\sin x \ge 0$.В этом случае $|a| + |b| = |a+b|$, и уравнение принимает вид:$|\sin(\frac{2x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$.

Случай 2: $ab < 0$, то есть $\sin\frac{x}{3}\sin x < 0$.В этом случае $|a| + |b| = |a-b| = |-(b-a)| = |b-a|$, и уравнение принимает вид:$|-\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$, что равносильно $|\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$.

Проанализируем условие для случая 2.Условие: $\sin\frac{x}{3}\sin x < 0$.Используя формулу тройного угла $\sin x = \sin(3 \cdot \frac{x}{3}) = 3\sin\frac{x}{3} - 4\sin^3\frac{x}{3} = \sin\frac{x}{3}(3 - 4\sin^2\frac{x}{3})$, подставим в условие:$\sin\frac{x}{3} \cdot \sin\frac{x}{3}(3 - 4\sin^2\frac{x}{3}) < 0$$\sin^2\frac{x}{3}(3 - 4\sin^2\frac{x}{3}) < 0$.Из уравнения для случая 2, $|\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17} \neq 0$, поэтому $\sin^2\frac{x}{3} > 0$.Следовательно, условие сводится к $3 - 4\sin^2\frac{x}{3} < 0$, или $\sin^2\frac{x}{3} > \frac{3}{4}$.Из уравнения $|\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$ следует, что $\sin^2\frac{x}{3} = \sin^2\frac{5\pi}{17}$.Неравенство принимает вид: $\sin^2\frac{5\pi}{17} > \frac{3}{4}$, что эквивалентно $|\sin\frac{5\pi}{17}| > \frac{\sqrt{3}}{2}$.Так как $0 < \frac{5\pi}{17} < \frac{\pi}{2}$, то $\sin\frac{5\pi}{17} > 0$. Получаем $\sin\frac{5\pi}{17} > \sin\frac{\pi}{3}$.Поскольку функция $\sin t$ возрастает на $[0, \frac{\pi}{2}]$, это неравенство равносильно $\frac{5\pi}{17} > \frac{\pi}{3}$, или $\frac{5}{17} > \frac{1}{3}$, что приводит к $15 > 17$. Это неверно.Таким образом, условие $\sin\frac{x}{3}\sin x < 0$ не выполняется для решений из случая 2. Следовательно, случай 2 не имеет решений.

Все решения должны удовлетворять условиям случая 1.Уравнение: $|\sin(\frac{2x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$.Условие: $\sin\frac{x}{3}\sin x \ge 0$.Аналогично анализу для случая 2, это условие (при $\sin\frac{x}{3} \ne 0$) эквивалентно $\sin^2\frac{x}{3} \le \frac{3}{4}$.Из уравнения $|\sin(\frac{2x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$ следует $\sin^2(\frac{2x}{3}) = \sin^2\frac{5\pi}{17}$.Используем формулу двойного угла: $\sin^2(\frac{2x}{3}) = (2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3})^2 = 4\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3} = 4\sin^2\frac{x}{3}(1-\sin^2\frac{x}{3})$.Пусть $Y = \sin^2\frac{x}{3}$. Тогда $\sin^2\frac{5\pi}{17} = 4Y(1-Y)$, или $4Y^2 - 4Y + \sin^2\frac{5\pi}{17} = 0$.Решая это квадратное уравнение относительно $Y$, получаем:$Y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16\sin^2\frac{5\pi}{17}}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{1-\sin^2\frac{5\pi}{17}}}{8} = \frac{1 \pm \cos\frac{5\pi}{17}}{2}$.Используя формулы половинного угла, получаем два возможных значения для $Y$:$Y_1 = \frac{1 - \cos\frac{5\pi}{17}}{2} = \sin^2(\frac{5\pi}{34})$$Y_2 = \frac{1 + \cos\frac{5\pi}{17}}{2} = \cos^2(\frac{5\pi}{34})$

Теперь проверим условие $\sin^2\frac{x}{3} \le \frac{3}{4}$ для каждого из этих значений.1) Для $Y_1 = \sin^2(\frac{5\pi}{34})$: $\sin^2(\frac{5\pi}{34}) \le \frac{3}{4} \iff \sin\frac{5\pi}{34} \le \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Это эквивалентно $\frac{5\pi}{34} \le \frac{\pi}{3} \iff \frac{5}{34} \le \frac{1}{3} \iff 15 \le 34$. Это верно.2) Для $Y_2 = \cos^2(\frac{5\pi}{34})$: $\cos^2(\frac{5\pi}{34}) \le \frac{3}{4} \iff \cos\frac{5\pi}{34} \le \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$. Это эквивалентно $\frac{5\pi}{34} \ge \frac{\pi}{6} \iff \frac{5}{34} \ge \frac{1}{6} \iff 30 \ge 34$. Это неверно.

Следовательно, решениями могут быть только те значения $x$, для которых $\sin^2\frac{x}{3} = \sin^2(\frac{5\pi}{34})$.Это уравнение равносильно $|\sin\frac{x}{3}| = \sin\frac{5\pi}{34}$.Отсюда $\frac{x}{3} = k\pi \pm \frac{5\pi}{34}$, где $k \in \mathbb{Z}$.$x = 3k\pi \pm \frac{15\pi}{34}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 3k\pi \pm \frac{15\pi}{34}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$129 |\cos x| - \sqrt{3} \sin\left(\frac{9\pi}{2} + x\right) = 1.$

Решим уравнение $| \cos x | - \sqrt{3} \sin \left(\frac{9\pi}{2} + x\right) = 1$.

Сначала упростим второй член уравнения, используя формулы приведения для $\sin\left(\frac{9\pi}{2} + x\right)$. Аргумент синуса можно представить в виде $\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Так как период функции синус равен $2\pi$, то слагаемое $4\pi$ (два полных оборота) можно отбросить, не изменяя значения функции: $ \sin\left(\frac{9\pi}{2} + x\right) = \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) $.

Далее, по формуле приведения, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$.

Подставив это в исходное уравнение, получим более простое уравнение: $ | \cos x | - \sqrt{3} \cos x = 1 $.

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. В этом случае, по определению модуля, $| \cos x | = \cos x$. Уравнение принимает вид: $ \cos x - \sqrt{3} \cos x = 1 $. Вынесем $\cos x$ за скобки: $ \cos x (1 - \sqrt{3}) = 1 $. Отсюда $\cos x = \frac{1}{1 - \sqrt{3}}$. Чтобы оценить это значение, избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos x = \frac{1(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $1+\sqrt{3} \approx 2.732$, и $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx -1.366$. Значение косинуса не может быть меньше -1. Следовательно, в этом случае решений нет. Кроме того, полученное значение $\cos x$ отрицательно, что противоречит нашему предположению $\cos x \ge 0$.

Случай 2: $\cos x < 0$. В этом случае, по определению модуля, $| \cos x | = -\cos x$. Уравнение принимает вид: $ -\cos x - \sqrt{3} \cos x = 1 $. Вынесем $\cos x$ за скобки: $ \cos x (-1 - \sqrt{3}) = 1 $. Отсюда $\cos x = \frac{1}{-1 - \sqrt{3}} = -\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos x = -\frac{1(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = -\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$. Проверим, удовлетворяет ли это значение условиям. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $-1 < 1-\sqrt{3} < 0$. Тогда $\frac{-1}{2} < \frac{1 - \sqrt{3}}{2} < 0$. Это значение находится в интервале $[-1, 1]$ и удовлетворяет условию $\cos x < 0$. Таким образом, решение существует.

Общее решение уравнения $\cos x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ находится по формуле: $ x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение (130—134):

130 a) $(2x - 7)\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0;$

б) $(2x - 3)\sqrt{4x^2 - 5x - 9} = 0;$

в) $(3x^2 - 8x - 11)\sqrt{3x - 5} = 0;$

г) $(4x^2 + 3x - 22)\sqrt{3x - 15} = 0.$

а) $(2x - 7)\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 - 5x - 2 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} 2x - 7 = 0 \\ \sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0 \end{array} \right. \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получим $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

При этих значениях $x$ подкоренное выражение равно нулю, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

2. $2x - 7 = 0$, при этом должно выполняться условие $3x^2 - 5x - 2 \ge 0$.

Из $2x - 7 = 0$ находим $x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Проверим, выполняется ли для этого корня условие $3x^2 - 5x - 2 \ge 0$.

Подставим $x = 3.5$: $3(3.5)^2 - 5(3.5) - 2 = 3(12.25) - 17.5 - 2 = 36.75 - 19.5 = 17.25$.

Так как $17.25 > 0$, условие выполняется, следовательно, $x = 3.5$ также является решением.

Ответ: $-\frac{1}{3}; 2; 3.5$.

б) $(2x - 3)\sqrt{4x^2 - 5x - 9} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 5x - 9 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} 2x - 3 = 0 \\ 4x^2 - 5x - 9 = 0 \end{array} \right. \end{cases}$

1. Решим $4x^2 - 5x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни: $x_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.

$x_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25$.

Эти значения являются решениями, так как при них подкоренное выражение равно нулю.

2. Решим $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$.

Проверим, выполняется ли для $x = 1.5$ условие $4x^2 - 5x - 9 \ge 0$.

Подставим $x = 1.5$: $4(1.5)^2 - 5(1.5) - 9 = 4(2.25) - 7.5 - 9 = 9 - 7.5 - 9 = -7.5$.

Так как $-7.5 < 0$, подкоренное выражение отрицательно. Следовательно, $x = 1.5$ является посторонним корнем.

Ответ: $-1; \frac{9}{4}$.

в) $(3x^2 - 8x - 11)\sqrt{3x - 5} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из условия неотрицательности подкоренного выражения: $3x - 5 \ge 0$, откуда $3x \ge 5$, то есть $x \ge \frac{5}{3}$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt{3x - 5} = 0 \implies 3x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{3}$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{5}{3} \ge \frac{5}{3} $).

2. $3x^2 - 8x - 11 = 0$.

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-11) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни: $x_1 = \frac{8 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{8 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$).

Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge \frac{5}{3}$, значит это посторонний корень.

Корень $x_2 = \frac{11}{3}$ удовлетворяет условию $\frac{11}{3} \ge \frac{5}{3}$, так как $11 \ge 5$. Этот корень является решением.

Ответ: $\frac{5}{3}; \frac{11}{3}$.

г) $(4x^2 + 3x - 22)\sqrt{3x - 15} = 0$

ОДЗ: $3x - 15 \ge 0 \implies 3x \ge 15 \implies x \ge 5$.

Рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{3x - 15} = 0 \implies 3x - 15 = 0 \implies x = 5$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 5$), значит, является решением.

2. $4x^2 + 3x - 22 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-22) = 9 + 352 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - 19}{2 \cdot 4} = \frac{-22}{8} = -\frac{11}{4} = -2.75$.

$x_2 = \frac{-3 + 19}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 5$).

Корень $x_1 = -2.75$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2.75 < 5$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $2 < 5$.

Оба корня являются посторонними.

Следовательно, у уравнения только одно решение.

Ответ: $5$.

131 a) $(7 \sin x - 4\sqrt{3})(7 \sin x - 5\sqrt{2}) = 0;$

б) $(5 \cos x - 3\sqrt{3})(5 \cos x - 2\sqrt{6}) = 0.$

а) Решим уравнение $(7 \sin x - 4\sqrt{3})(7 \sin x - 5\sqrt{2}) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $7 \sin x - 4\sqrt{3} = 0$

2) $7 \sin x - 5\sqrt{2} = 0$

Рассмотрим первое уравнение:

$7 \sin x = 4\sqrt{3}$

$\sin x = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

Проверим, удовлетворяет ли полученное значение условию $|\sin x| \le 1$. Для этого сравним $(\frac{4\sqrt{3}}{7})^2$ с $1$.

$(\frac{4\sqrt{3}}{7})^2 = \frac{16 \cdot 3}{49} = \frac{48}{49}$.

Так как $\frac{48}{49} < 1$, то значение $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ находится в пределах от -1 до 1. Следовательно, уравнение имеет решения:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второе уравнение:

$7 \sin x = 5\sqrt{2}$

$\sin x = \frac{5\sqrt{2}}{7}$

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $|\sin x| \le 1$.

$(\frac{5\sqrt{2}}{7})^2 = \frac{25 \cdot 2}{49} = \frac{50}{49}$.

Так как $\frac{50}{49} > 1$, то значение $\frac{5\sqrt{2}}{7}$ не входит в область значений функции синус. Следовательно, второе уравнение решений не имеет.

Объединяя результаты, получаем, что решения исходного уравнения — это решения только первого уравнения.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $(5\cos x - 3\sqrt{3})(5\cos x - 2\sqrt{6}) = 0$.

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $5\cos x - 3\sqrt{3} = 0$

2) $5\cos x - 2\sqrt{6} = 0$

Рассмотрим первое уравнение:

$5\cos x = 3\sqrt{3}$

$\cos x = \frac{3\sqrt{3}}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли полученное значение условию $|\cos x| \le 1$.

$(\frac{3\sqrt{3}}{5})^2 = \frac{9 \cdot 3}{25} = \frac{27}{25}$.

Так как $\frac{27}{25} > 1$, то значение $\frac{3\sqrt{3}}{5}$ не входит в область значений функции косинус. Следовательно, первое уравнение решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение:

$5\cos x = 2\sqrt{6}$

$\cos x = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $|\cos x| \le 1$.

$(\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25}$.

Так как $\frac{24}{25} < 1$, то значение $\frac{2\sqrt{6}}{5}$ находится в пределах от -1 до 1. Следовательно, уравнение имеет решения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя результаты, получаем, что решения исходного уравнения — это решения только второго уравнения.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

132 a) $(\sin x + \cos x - \sqrt{2})\sqrt{-11x - x^2 - 30} = 0;$

б) $(\cos x + \sin x + \sqrt{2})\sqrt{-x^2 - 7x - 12} = 0.$

a) Решим уравнение $(\sin x + \cos x - \sqrt{2})\sqrt{-11x - x^2 - 30} = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом существует (определен). Это означает, что мы должны рассмотреть два случая, предварительно найдя область допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$-11x - x^2 - 30 \ge 0$.

Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный:$x^2 + 11x + 30 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 11x + 30 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а их произведение равно 30. Корнями являются $x_1 = -6$ и $x_2 = -5$.Так как парабола $y = x^2 + 11x + 30$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + 11x + 30 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.Следовательно, ОДЗ: $x \in [-6, -5]$.

Теперь рассмотрим два случая, при которых исходное уравнение обращается в ноль.

Случай 1: Выражение под корнем равно нулю.$\sqrt{-11x - x^2 - 30} = 0$$-11x - x^2 - 30 = 0$$x^2 + 11x + 30 = 0$Корни этого уравнения, как мы уже нашли, $x_1 = -6$ и $x_2 = -5$. Оба корня принадлежат ОДЗ, значит, они являются решениями исходного уравнения.

Случай 2: Первый множитель равен нулю, при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ.$\sin x + \cos x - \sqrt{2} = 0$$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = 1$Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$, можем записать:$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = 1$Применяя формулу синуса суммы $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, получаем:$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие ОДЗ, то есть отрезку $[-6, -5]$. Для этого решим двойное неравенство:$-6 \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -5$Подставим приближенное значение $\pi \approx 3.14$:$-6 \le \frac{3.14}{4} + 2 \cdot 3.14 \cdot k \le -5$$-6 \le 0.785 + 6.28k \le -5$$-6 - 0.785 \le 6.28k \le -5 - 0.785$$-6.785 \le 6.28k \le -5.785$$\frac{-6.785}{6.28} \le k \le \frac{-5.785}{6.28}$$-1.08... \le k \le -0.92...$

Единственное целое число $k$ в этом промежутке - это $k = -1$.Найдем соответствующий корень при $k = -1$:$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$.Этот корень принадлежит ОДЗ (так как $-\frac{7 \cdot 3.14}{4} \approx -5.5$, что лежит в отрезке $[-6, -5]$), следовательно, является решением.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $\{-6; -5; -\frac{7\pi}{4}\}$.

б) Решим уравнение $(\cos x + \sin x + \sqrt{2})\sqrt{-x^2 - 7x - 12} = 0$.

Аналогично пункту а), найдем сначала ОДЗ.$-x^2 - 7x - 12 \ge 0$$x^2 + 7x + 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.Неравенство $x^2 + 7x + 12 \le 0$ выполняется при $x \in [-4, -3]$.ОДЗ: $x \in [-4, -3]$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{-x^2 - 7x - 12} = 0$$-x^2 - 7x - 12 = 0$$x^2 + 7x + 12 = 0$Корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$. Оба корня входят в ОДЗ, поэтому являются решениями.

Случай 2: $\cos x + \sin x + \sqrt{2} = 0$$\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$

Применим метод вспомогательного угла:$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = -\sqrt{2}$$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

Решения этого уравнения:$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Проверим, какие из этих корней принадлежат ОДЗ $x \in [-4, -3]$.$-4 \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le -3$

Подставим $\pi \approx 3.14$:$-4 \le -\frac{3 \cdot 3.14}{4} + 6.28n \le -3$$-4 \le -2.355 + 6.28n \le -3$$-4 + 2.355 \le 6.28n \le -3 + 2.355$$-1.645 \le 6.28n \le -0.645$$\frac{-1.645}{6.28} \le n \le \frac{-0.645}{6.28}$$-0.26... \le n \le -0.10...$

В этом интервале нет целых значений $n$. Это означает, что ни один из корней, полученных во втором случае, не входит в ОДЗ. Следовательно, в этом случае решений нет.

Решениями исходного уравнения являются только корни, найденные в первом случае.

Ответ: $\{-4; -3\}$.

133 a) $(2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1)\sqrt{\operatorname{tg} x} = 0;$

б) $(2 \cos^2 x - \cos x - 1)\sqrt{\operatorname{ctg} x} = 0.$

а) $(2\sin^2 x - 3\sin x + 1)\sqrt{\tg x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой либо один из множителей равен нулю, и при этом все выражения в уравнении определены.

$ \begin{cases} \tg x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \\ \sqrt{\tg x} = 0 \end{gathered} \right. \end{cases} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\tg x \ge 0$
Это неравенство выполняется в I и III координатных четвертях, а также на границах, где тангенс равен нулю.
$x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим совокупность уравнений с учетом ОДЗ.

Первое уравнение совокупности: $\sqrt{\tg x} = 0$, что равносильно $\tg x = 0$.
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения удовлетворяют условию ОДЗ ($\tg(\pi k) = 0$), следовательно, эта серия корней является решением исходного уравнения.

Второе уравнение совокупности: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$. Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\sin x = 1$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, значение $\tg x$ не определено, так как $\cos x = 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Случай 2: $\sin x = 1/2$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим их на соответствие ОДЗ ($\tg x \ge 0$):
- Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: эти углы находятся в I четверти, где $\tg x > 0$. Эта серия корней подходит.
- Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: эти углы находятся во II четверти, где $\tg x < 0$. Эта серия корней не удовлетворяет ОДЗ.

3. Объединим все найденные решения, удовлетворяющие ОДЗ:
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $(2\cos^2 x - \cos x - 1)\sqrt{\ctg x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \ctg x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \\ \sqrt{\ctg x} = 0 \end{gathered} \right. \end{cases} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\ctg x \ge 0$
Это неравенство выполняется в I и III координатных четвертях, а также на границах, где котангенс равен нулю.
$x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим совокупность уравнений с учетом ОДЗ.

Первое уравнение совокупности: $\sqrt{\ctg x} = 0$, что равносильно $\ctg x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения удовлетворяют условию ОДЗ ($\ctg(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$), следовательно, эта серия корней является решением.

Второе уравнение совокупности: $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - t - 1 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$. Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\cos x = 1$.
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. При $x = 2\pi k$, значение $\ctg x$ не определено, так как $\sin x = 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Случай 2: $\cos x = -1/2$.
Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разобьем на две серии:
$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (II четверть).
$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (III четверть).
Проверим их на соответствие ОДЗ ($\ctg x \ge 0$):
- Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: эти углы находятся во II четверти, где $\ctg x < 0$. Эта серия корней не удовлетворяет ОДЗ.
- Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: эти углы находятся в III четверти, где $\ctg x > 0$. Эта серия корней подходит.

3. Объединим все найденные решения, удовлетворяющие ОДЗ:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

134 $\sqrt{4x - x^2} - 3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x}) = 0.$

Запишем исходное уравнение в виде:

$\sqrt{4x - x^2} = 3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x})$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Она определяется системой неравенств.

1. Выражение под корнем в левой части должно быть неотрицательным:

$4x - x^2 \ge 0$

$x(4 - x) \ge 0$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [0, 4]$.

2. Выражение под корнем в правой части также должно быть неотрицательным:

$1 + \cos 2x \ge 0$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, получаем $1 + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.

3. Так как левая часть уравнения, $\sqrt{4x - x^2}$, по определению арифметического квадратного корня, неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x}) \ge 0$

$\sqrt{2} \cos x - \sqrt{1 + \cos 2x} \ge 0$

Подставим сюда преобразованное подкоренное выражение $\sqrt{1 + \cos 2x} = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$:

$\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2}|\cos x| \ge 0$

$\cos x - |\cos x| \ge 0$

Рассмотрим два случая:

- Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и неравенство принимает вид $\cos x - \cos x \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно.

- Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и неравенство принимает вид $\cos x - (-\cos x) \ge 0$, то есть $2\cos x \ge 0$, или $\cos x \ge 0$. Это противоречит предположению $\cos x < 0$.

Следовательно, это условие равносильно неравенству $\cos x \ge 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ:

$\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

Условие $\cos x \ge 0$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём пересечение этих промежутков с отрезком $[0, 4]$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $\pi/2 \approx 1.57$ и $3\pi/2 \approx 4.71$.

При $k=0$ имеем отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Его пересечение с $[0, 4]$ дает отрезок $[0, \pi/2]$.

При $k=1$ имеем отрезок $[3\pi/2, 5\pi/2]$, который не имеет общих точек с отрезком $[0, 4]$.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [0, \pi/2]$.

Теперь решим уравнение на найденной ОДЗ. На отрезке $[0, \pi/2]$ выполняется условие $\cos x \ge 0$, а значит, правая часть уравнения обращается в ноль:

$3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2}|\cos x|) = 3(\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2}\cos x) = 0$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$\sqrt{4x - x^2} = 0$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$4x - x^2 = 0$

$x(4 - x) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ $x \in [0, \pi/2]$.

- Корень $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[0, \pi/2]$. Следовательно, $x=0$ является решением исходного уравнения.

- Корень $x_2 = 4$ не принадлежит отрезку $[0, \pi/2]$, так как $4 > \pi/2 \approx 1.57$. Следовательно, $x=4$ не является решением.

Единственным решением уравнения является $x=0$.

Ответ: $0$

Решите уравнение (135–158):

135 a) $\frac{\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 - x}}{\sqrt{21 + x} - \sqrt{21 - x}} = \frac{21}{x};$

б) $2\sqrt[4]{\frac{40x + 1}{x - 1}} - 3\sqrt[4]{\frac{x - 1}{40x + 1}} = 5.$

a)

Исходное уравнение: $$ \frac{\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x}}{\sqrt{21+x} - \sqrt{21-x}} = \frac{21}{x} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$21 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -21$
$21 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 21$
Получаем $x \in [-21, 21]$.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\sqrt{21+x} - \sqrt{21-x} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{21+x} \ne \sqrt{21-x} \Rightarrow 21+x \ne 21-x \Rightarrow 2x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$.
$x \ne 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-21, 0) \cup (0, 21]$.

Умножим числитель и знаменатель левой части на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x})$: $$ \frac{(\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x})^2}{(\sqrt{21+x} - \sqrt{21-x})(\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x})} = \frac{21}{x} $$ Применим формулы квадрата суммы и разности квадратов: $$ \frac{(21+x) + 2\sqrt{(21+x)(21-x)} + (21-x)}{(21+x) - (21-x)} = \frac{21}{x} $$ $$ \frac{42 + 2\sqrt{21^2 - x^2}}{2x} = \frac{21}{x} $$ $$ \frac{2(21 + \sqrt{441 - x^2})}{2x} = \frac{21}{x} $$ $$ \frac{21 + \sqrt{441 - x^2}}{x} = \frac{21}{x} $$ Поскольку $x \ne 0$ согласно ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на $x$: $$ 21 + \sqrt{441 - x^2} = 21 $$ $$ \sqrt{441 - x^2} = 0 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ 441 - x^2 = 0 $$ $$ x^2 = 441 $$ $$ x = \pm\sqrt{441} $$ $$ x = \pm 21 $$ Оба корня, $x = 21$ и $x = -21$, принадлежат ОДЗ. Выполним проверку.
При $x=21$: левая часть $\frac{\sqrt{21+21}+\sqrt{21-21}}{\sqrt{21+21}-\sqrt{21-21}} = \frac{\sqrt{42}+0}{\sqrt{42}-0} = 1$. Правая часть $\frac{21}{21}=1$. Равенство $1=1$ верное.
При $x=-21$: левая часть $\frac{\sqrt{21-21}+\sqrt{21-(-21)}}{\sqrt{21-21}-\sqrt{21-(-21)}} = \frac{0+\sqrt{42}}{0-\sqrt{42}} = -1$. Правая часть $\frac{21}{-21}=-1$. Равенство $-1=-1$ верное.
Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $x = \pm 21$.

б)

Исходное уравнение: $$ 2\sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}} - 3\sqrt[4]{\frac{x-1}{40x+1}} = 5 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:
$\frac{40x+1}{x-1} > 0$.
Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
1) $40x+1 > 0$ и $x-1 > 0 \Rightarrow x > -1/40$ и $x > 1 \Rightarrow x > 1$.
2) $40x+1 < 0$ и $x-1 < 0 \Rightarrow x < -1/40$ и $x < 1 \Rightarrow x < -1/40$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1/40) \cup (1, \infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}}$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{x-1}{40x+1}} = \frac{1}{y}$.
Так как корень четвертой степени из положительного числа является положительным числом, то $y > 0$.
Подставим замену в уравнение: $$ 2y - \frac{3}{y} = 5 $$ Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$): $$ 2y^2 - 3 = 5y $$ $$ 2y^2 - 5y - 3 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $y$:
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$y_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Поскольку $y > 0$, корень $y_1 = -1/2$ является посторонним. Остается $y = 3$.

Выполним обратную замену: $$ \sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}} = 3 $$ Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $$ \frac{40x+1}{x-1} = 3^4 $$ $$ \frac{40x+1}{x-1} = 81 $$ $$ 40x+1 = 81(x-1) $$ $$ 40x+1 = 81x - 81 $$ $$ 81+1 = 81x - 40x $$ $$ 82 = 41x $$ $$ x = \frac{82}{41} $$ $$ x = 2 $$ Проверим, входит ли корень в ОДЗ. $x=2$ принадлежит интервалу $(1, \infty)$, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $x=2$.