Номер 125, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 125, страница 421.

Условие.

125 $\frac{|x - 1|}{|x - 2|} = \frac{|x + 1|}{|x + 2|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение:

$$ \frac{|x - 1|}{|x - 2|} = \frac{|x + 1|}{|x + 2|} $$

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$|x - 2| \neq 0 \implies x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$|x + 2| \neq 0 \implies x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Воспользуемся свойством модуля $\frac{|a|}{|b|} = \left|\frac{a}{b}\right|$, чтобы преобразовать исходное уравнение:

$$ \left|\frac{x - 1}{x - 2}\right| = \left|\frac{x + 1}{x + 2}\right| $$

Равенство модулей $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Подмодульные выражения равны.

$$ \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{x + 1}{x + 2} $$

Применяя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$(x - 1)(x + 2) = (x + 1)(x - 2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - 2x + x - 2$

$x^2 + x - 2 = x^2 - x - 2$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$x + x = -2 + 2$

$2x = 0$

$x = 0$

Этот корень ($x=0$) удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Подмодульные выражения противоположны.

$$ \frac{x - 1}{x - 2} = -\frac{x + 1}{x + 2} $$

Выполним перекрестное умножение:

$(x - 1)(x + 2) = -(x + 1)(x - 2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + x - 2 = -(x^2 - 2x + x - 2)$

$x^2 + x - 2 = -(x^2 - x - 2)$

$x^2 + x - 2 = -x^2 + x + 2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + x - 2 + x^2 - x - 2 = 0$

$2x^2 - 4 = 0$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

Отсюда получаем два корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.

Оба корня ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$) удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны $2$ или $-2$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем все корни исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \sqrt{2}, x_3 = -\sqrt{2}$.