Номер 120, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 120, страница 420.

Условие.

120 а) $|14 - x| = x^2 - 196;$

б) $|16 - x| = x^2 - 256;$

в) $|19 - x| = x^2 - 361;$

г) $|17 - x| = x^2 - 289.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим уравнение $|14 - x| = x^2 - 196$.

Поскольку левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $x^2 - 196 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x^2 \ge 196$, то есть при $|x| \ge 14$, что равносильно $x \in (-\infty; -14] \cup [14; +\infty)$. Это область допустимых значений (ОДЗ).

Для решения уравнения раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Случай, когда $14 - x \ge 0$, то есть $x \le 14$.
В этом случае $|14 - x| = 14 - x$, и уравнение принимает вид:
$14 - x = x^2 - 196$
$x^2 + x - 210 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 = 29^2$
$x_1 = \frac{-1 - 29}{2} = -15$
$x_2 = \frac{-1 + 29}{2} = 14$
Проверим найденные корни. Оба корня удовлетворяют условию случая ($x \le 14$) и ОДЗ ($|x| \ge 14$). Следовательно, оба являются решениями.

2. Случай, когда $14 - x < 0$, то есть $x > 14$.
В этом случае $|14 - x| = -(14 - x) = x - 14$, и уравнение принимает вид:
$x - 14 = x^2 - 196$
$x^2 - x - 182 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729 = 27^2$
$x_3 = \frac{1 - 27}{2} = -13$
$x_4 = \frac{1 + 27}{2} = 14$
Проверим найденные корни. Ни один из них не удовлетворяет условию этого случая ($x > 14$). Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяем решения из первого случая.

Ответ: $-15; 14$.

б) Решим уравнение $|16 - x| = x^2 - 256$.

ОДЗ: $x^2 - 256 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 256$, то есть $|x| \ge 16$.

1. Случай, когда $16 - x \ge 0$, то есть $x \le 16$.
$16 - x = x^2 - 256$
$x^2 + x - 272 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089 = 33^2$
$x_1 = \frac{-1 - 33}{2} = -17$
$x_2 = \frac{-1 + 33}{2} = 16$
Оба корня удовлетворяют условиям $x \le 16$ и $|x| \ge 16$, поэтому оба являются решениями.

2. Случай, когда $16 - x < 0$, то есть $x > 16$.
$-(16 - x) = x^2 - 256$
$x - 16 = x^2 - 256$
$x^2 - x - 240 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961 = 31^2$
$x_3 = \frac{1 - 31}{2} = -15$
$x_4 = \frac{1 + 31}{2} = 16$
Ни один из корней не удовлетворяет условию $x > 16$, значит в этом случае решений нет.

Ответ: $-17; 16$.

в) Решим уравнение $|19 - x| = x^2 - 361$.

ОДЗ: $x^2 - 361 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 361$, то есть $|x| \ge 19$.

1. Случай, когда $19 - x \ge 0$, то есть $x \le 19$.
$19 - x = x^2 - 361$
$x^2 + x - 380 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521 = 39^2$
$x_1 = \frac{-1 - 39}{2} = -20$
$x_2 = \frac{-1 + 39}{2} = 19$
Оба корня удовлетворяют условиям $x \le 19$ и $|x| \ge 19$, поэтому оба являются решениями.

2. Случай, когда $19 - x < 0$, то есть $x > 19$.
$-(19 - x) = x^2 - 361$
$x - 19 = x^2 - 361$
$x^2 - x - 342 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-342) = 1 + 1368 = 1369 = 37^2$
$x_3 = \frac{1 - 37}{2} = -18$
$x_4 = \frac{1 + 37}{2} = 19$
Ни один из корней не удовлетворяет условию $x > 19$, значит в этом случае решений нет.

Ответ: $-20; 19$.

г) Решим уравнение $|17 - x| = x^2 - 289$.

ОДЗ: $x^2 - 289 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 289$, то есть $|x| \ge 17$.

1. Случай, когда $17 - x \ge 0$, то есть $x \le 17$.
$17 - x = x^2 - 289$
$x^2 + x - 306 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$
$x_1 = \frac{-1 - 35}{2} = -18$
$x_2 = \frac{-1 + 35}{2} = 17$
Оба корня удовлетворяют условиям $x \le 17$ и $|x| \ge 17$, поэтому оба являются решениями.

2. Случай, когда $17 - x < 0$, то есть $x > 17$.
$-(17 - x) = x^2 - 289$
$x - 17 = x^2 - 289$
$x^2 - x - 272 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089 = 33^2$
$x_3 = \frac{1 - 33}{2} = -16$
$x_4 = \frac{1 + 33}{2} = 17$
Ни один из корней не удовлетворяет условию $x > 17$, значит в этом случае решений нет.

Ответ: $-18; 17$.