Номер 115, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 115, страница 420.

Условие.

115 $ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) - \sin x = \frac{1}{2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение:

$$ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \sin x = \frac{1}{2} $$

Для решения раскроем косинус разности в левой части уравнения, используя формулу $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

$$ \cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin x = \frac{1}{2} $$

Подставим известные значения тригонометрических функций $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$$ \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) - \sin x = \frac{1}{2} $$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$ \cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) - 2\sin x = 1 $$

Теперь воспользуемся формулами двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $ и $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, чтобы выразить все функции через аргумент $x$:

$$ (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{3}(2\sin x \cos x) - 2\sin x = 1 $$

Упростим полученное выражение. Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$$ -2\sin^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 2\sin x = 0 $$

Разделим всё уравнение на $-2$ для дальнейшего упрощения:

$$ \sin^2 x - \sqrt{3}\sin x \cos x + \sin x = 0 $$

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$$ \sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x + 1) = 0 $$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $ \sin x = 0 $
Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:$$ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

2) $ \sin x - \sqrt{3}\cos x + 1 = 0 $
Перепишем уравнение в виде $ a\cos x + b\sin x = c $:$$ \sqrt{3}\cos x - \sin x = 1 $$Решим это уравнение методом введения вспомогательного угла. Для этого разделим обе части на $ R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2 $:$$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2} $$Заметим, что коэффициенты являются значениями косинуса и синуса угла $ \frac{\pi}{6} $, то есть $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $. Подставим их в уравнение:$$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos x - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin x = \frac{1}{2} $$Применив формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $, получим:$$ \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $$Общее решение этого уравнения имеет вид:$$ x + \frac{\pi}{6} = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$$$ x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти $x$:
а) $ x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi $
б) $ x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi $

Объединив все найденные серии решений из пунктов 1 и 2, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ k\pi; \quad \frac{\pi}{6} + 2n\pi; \quad -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, $ где $k, n \in \mathbb{Z} $.