Номер 111, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 111, страница 420.

Условие.

111 $\cos x - \cos 2x - \sin 2x = 1$, $x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим данное тригонометрическое уравнение.

Исходное уравнение:$ \cos x - \cos 2x - \sin 2x = 1 $

Используем формулы двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $ и $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Подставим их в уравнение:$ \cos x - (2\cos^2 x - 1) - 2\sin x \cos x = 1 $

Раскроем скобки и упростим выражение:$ \cos x - 2\cos^2 x + 1 - 2\sin x \cos x = 1 $$ \cos x - 2\cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:$ \cos x (1 - 2\cos x - 2\sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1) $ \cos x = 0 $

Общее решение этого уравнения:$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 1 - 2\cos x - 2\sin x = 0 $

$ 2\cos x + 2\sin x = 1 $$ \cos x + \sin x = \frac{1}{2} $

Для решения этого уравнения используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части уравнения на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ \cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Применяя формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $, получаем:$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Общее решение этого уравнения:$ x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.$ x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $ \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right] $.

Для серии корней $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $:С помощью двойного неравенства найдем подходящие значения $ k $:$ -\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le -\frac{\pi}{6} $Делим на $ \pi $:$ -\frac{3}{2} \le \frac{1}{2} + k \le -\frac{1}{6} $Вычитаем $ \frac{1}{2} $:$ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \le k \le -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} $$ -2 \le k \le -\frac{4}{6} $$ -2 \le k \le -\frac{2}{3} $Целые значения $ k $ из этого промежутка: $ k = -2 $ и $ k = -1 $.При $ k = -2 $: $ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} $.При $ k = -1 $: $ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} $.Оба этих корня принадлежат заданному отрезку.

Для серий корней $ x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n $:Обозначим $ \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Так как $ 0 < \frac{\sqrt{2}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4} $, то $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Рассмотрим серию $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha + 2\pi n $.При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha - 2\pi = \alpha - \frac{7\pi}{4} $.Оценим значение $ x $: поскольку $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $, то $ \frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{4} $, что дает $ -\frac{6\pi}{4} < x < -\frac{5\pi}{4} $, или $ -\frac{3\pi}{2} < x < -\frac{5\pi}{4} $.Этот промежуток полностью входит в заданный отрезок $ \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right] $. Значит, корень $ x = -\frac{7\pi}{4} + \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $ подходит.При других целых $ n $ корни не попадут в заданный отрезок.

Рассмотрим серию $ x = \frac{\pi}{4} - \alpha + 2\pi n $.При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} - \alpha $.Оценим значение $ x $: поскольку $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $, то $ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < -\frac{\pi}{4} $, и $ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} $, что дает $ -\frac{\pi}{4} < x < 0 $.Сравним корень $ x $ с правой границей отрезка $ -\frac{\pi}{6} $.Сравним $ \frac{\pi}{4} - \alpha $ и $ -\frac{\pi}{6} $, что эквивалентно сравнению $ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} $ и $ \alpha $.Сравним косинусы этих углов: $ \cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $ и $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} $.Так как $ 2\sqrt{2} > \sqrt{6} \Leftrightarrow \sqrt{8} > \sqrt{6} $, то $ \sqrt{2} > \sqrt{6} - \sqrt{2} $, и $ \frac{\sqrt{2}}{4} > \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.Значит, $ \cos(\alpha) > \cos(\frac{5\pi}{12}) $. Поскольку функция $ \cos t $ убывает на $ [0, \pi] $, то $ \alpha < \frac{5\pi}{12} $.Следовательно, $ x = \frac{\pi}{4} - \alpha > \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6} $.Таким образом, этот корень не принадлежит отрезку $ \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right] $.При других целых $ n $ корни также не попадут в заданный отрезок.

Итого, в заданном отрезке лежат три корня.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{7\pi}{4} + \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.