Номер 107, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 107, страница 420.

Условие.

107 a) $\sqrt{3} \sin^2 x + 0.5 \sin (\pi + 2x) = 0;$

б) $\sqrt{3} \cos^2 x - 0.5 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим уравнение $\sqrt{3}\sin^2 x + 0,5 \sin(\pi + 2x) = 0$.

Сначала используем формулу приведения для синуса: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Тогда $\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x)$. Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{3}\sin^2 x - 0,5 \sin(2x) = 0$

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

$\sqrt{3}\sin^2 x - 0,5 \cdot (2\sin x \cos x) = 0$

$\sqrt{3}\sin^2 x - \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sqrt{3}\sin x - \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\sin x = 0$.

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in Z$.

2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sqrt{3}\sin x = \cos x$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sqrt{3}\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\sqrt{3}\tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

б) Решим уравнение $\sqrt{3}\cos^2 x - 0,5 \cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) = 0$.

Сначала используем формулу приведения для косинуса: $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$.

Тогда $\cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) = \sin(2x)$. Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{3}\cos^2 x - 0,5 \sin(2x) = 0$

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

$\sqrt{3}\cos^2 x - 0,5 \cdot (2\sin x \cos x) = 0$

$\sqrt{3}\cos^2 x - \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3}\cos x - \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\cos x = 0$.

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\sin x$ в правую часть:

$\sqrt{3}\cos x = \sin x$

В первом случае мы уже нашли решения, когда $\cos x = 0$. Для этого уравнения, если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Следовательно, в этом случае $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$.