Номер 100, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 100, страница 419.

Условие.

100 a) $ \log_{3x} 4 - \log_{3x} 2 = 1; $

б) $ \log_{2x} 9 + \log_{2x} 3 = 3. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $\log_{3x} 4 - \log_{3x} 2 = 1$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $3x$ должно быть положительным и не равняться единице.
Условия ОДЗ:
1. $3x > 0 \implies x > 0$
2. $3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1/3) \cup (1/3; +\infty)$.
Теперь решим уравнение. Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$.
$\log_{3x} (4/2) = 1$
$\log_{3x} 2 = 1$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:
$(3x)^1 = 2$
$3x = 2$
$x = 2/3$
Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. $x = 2/3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1/3$. Следовательно, корень подходит.
Ответ: $2/3$.

б) $\log_{2x} 9 + \log_{2x} 3 = 3$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $2x$ должно быть положительным и не равняться единице.
Условия ОДЗ:
1. $2x > 0 \implies x > 0$
2. $2x \neq 1 \implies x \neq 1/2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1/2) \cup (1/2; +\infty)$.
Теперь решим уравнение. Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\log_{2x} (9 \cdot 3) = 3$
$\log_{2x} 27 = 3$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:
$(2x)^3 = 27$
$8x^3 = 27$
$x^3 = 27/8$
$x^3 = (3/2)^3$
$x = 3/2$
Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. $x = 3/2$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1/2$. Следовательно, корень подходит.
Ответ: $3/2$.