Номер 95, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 95, страница 419.

Условие.

95 a) $7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+4} = 5^{x+2} - 5^{x+3};$

б) $2^x - 2^{x+2} + 2^{x-1} = (3^{x+1} - 3^{x+2} + 3^x) \cdot \frac{2}{9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+4} = 5^{x+2} - 5^{x+3}$.

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить левую и правую части уравнения.

Преобразуем левую часть:
$7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+4} = 7 \cdot (3^x \cdot 3^1) - (3^x \cdot 3^4) = 7 \cdot 3 \cdot 3^x - 81 \cdot 3^x = 21 \cdot 3^x - 81 \cdot 3^x$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(21 - 81) = -60 \cdot 3^x$.

Преобразуем правую часть:
$5^{x+2} - 5^{x+3} = (5^x \cdot 5^2) - (5^x \cdot 5^3) = 25 \cdot 5^x - 125 \cdot 5^x$.
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(25 - 125) = -100 \cdot 5^x$.

Теперь приравняем упрощенные части:
$-60 \cdot 3^x = -100 \cdot 5^x$.

Разделим обе части уравнения на $-20$:
$3 \cdot 3^x = 5 \cdot 5^x$.

Сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части, а константы — в правой. Для этого разделим обе части на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ для любого $x$) и на 3:
$\frac{3 \cdot 3^x}{3 \cdot 5^x} = \frac{5}{3}$
$\frac{3^x}{5^x} = \frac{5}{3}$.

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:
$(\frac{3}{5})^x = \frac{5}{3}$.

Заметим, что $\frac{5}{3} = (\frac{3}{5})^{-1}$. Подставим это в уравнение:
$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$.

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

б)

Исходное уравнение: $2^x - 2^{x+2} + 2^{x-1} = (3^{x+1} - 3^{x+2} + 3^x) \cdot \frac{2}{9}$.

Упростим левую и правую части уравнения по отдельности, используя свойство степени $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$.

Левая часть (ЛЧ):
$2^x - 2^{x+2} + 2^{x-1} = 2^x - (2^x \cdot 2^2) + (2^x \cdot 2^{-1}) = 2^x - 4 \cdot 2^x + \frac{1}{2} \cdot 2^x$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(1 - 4 + \frac{1}{2}) = 2^x(-3 + \frac{1}{2}) = 2^x(-\frac{5}{2})$.

Правая часть (ПЧ):
Сначала упростим выражение в скобках:
$3^{x+1} - 3^{x+2} + 3^x = (3^x \cdot 3^1) - (3^x \cdot 3^2) + 3^x = 3 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^x + 1 \cdot 3^x$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 - 9 + 1) = 3^x(-5)$.
Теперь умножим результат на $\frac{2}{9}$:
ПЧ $= 3^x(-5) \cdot \frac{2}{9} = -\frac{10}{9} \cdot 3^x$.

Приравняем упрощенные левую и правую части:
$2^x(-\frac{5}{2}) = 3^x(-\frac{10}{9})$.

Разделим обе части уравнения на $-5$:
$2^x(\frac{1}{2}) = 3^x(\frac{2}{9})$.

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы — в правой. Для этого разделим обе части на $3^x$ (где $3^x > 0$) и умножим на 2:
$\frac{2^x}{3^x} = \frac{2}{9} \cdot 2$
$(\frac{2}{3})^x = \frac{4}{9}$.

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:
$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$.

Получаем уравнение:
$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^2$.

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.