Номер 92, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 92, страница 419.

Условие.

Решите уравнение (92—100):

92 а) $3^{9x+10} = 3^{6x-2}$;

б) $7^{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{7}$;

в) $5^{3x+1} = 25^{x-1}$;

г) $4^{2x} = 16^{2x+5}$;

д) $3^{2x} = 27^{x+6}$;

е) $3^{9x+1} = 9^{3x-1}$;

ж) $4^{-x+1} = 8^x$;

з) $64^{x+1} = 8^{4\sqrt{x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $3^{9x+10} = 3^{6x-2}$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения одинаковы (равны 3), мы можем приравнять их показатели:
$9x + 10 = 6x - 2$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$9x - 6x = -2 - 10$
$3x = -12$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-12}{3}$
$x = -4$
Ответ: -4

б) $7^{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{7}$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
Уравнение примет вид:
$7^{x^2 - 3x + 1} = 7^{-1}$
Приравняем показатели степеней:
$x^2 - 3x + 1 = -1$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$
$x_1 = \frac{3+1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{3-1}{2} = 1$
Ответ: 1; 2

в) $5^{3x+1} = 25^{x-1}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию 5. Так как $25 = 5^2$, получаем:
$5^{3x+1} = (5^2)^{x-1}$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{3x+1} = 5^{2(x-1)}$
$5^{3x+1} = 5^{2x-2}$
Теперь приравниваем показатели:
$3x + 1 = 2x - 2$
$3x - 2x = -2 - 1$
$x = -3$
Ответ: -3

г) $4^{2x} = 16^{2x+5}$
Приведем обе части к основанию 4. Так как $16 = 4^2$, получаем:
$4^{2x} = (4^2)^{2x+5}$
$4^{2x} = 4^{2(2x+5)}$
$4^{2x} = 4^{4x+10}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 4x + 10$
$2x - 4x = 10$
$-2x = 10$
$x = \frac{10}{-2}$
$x = -5$
Ответ: -5

д) $3^{2x} = 27^{x+6}$
Приведем обе части к основанию 3. Так как $27 = 3^3$, получаем:
$3^{2x} = (3^3)^{x+6}$
$3^{2x} = 3^{3(x+6)}$
$3^{2x} = 3^{3x+18}$
Приравниваем показатели:
$2x = 3x + 18$
$2x - 3x = 18$
$-x = 18$
$x = -18$
Ответ: -18

е) $3^{9x+1} = 9^{3x-1}$
Приведем обе части к основанию 3. Так как $9 = 3^2$, получаем:
$3^{9x+1} = (3^2)^{3x-1}$
$3^{9x+1} = 3^{2(3x-1)}$
$3^{9x+1} = 3^{6x-2}$
Приравниваем показатели:
$9x + 1 = 6x - 2$
$9x - 6x = -2 - 1$
$3x = -3$
$x = -1$
Ответ: -1

ж) $4^{-x+1} = 8^x$
Приведем обе части к общему основанию 2. Так как $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$, получаем:
$(2^2)^{-x+1} = (2^3)^x$
$2^{2(-x+1)} = 2^{3x}$
$2^{-2x+2} = 2^{3x}$
Приравниваем показатели степеней:
$-2x + 2 = 3x$
$2 = 3x + 2x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

з) $64^{x+1} = 8^{4\sqrt{x}}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Приведем обе части к основанию 8. Так как $64 = 8^2$, получаем:
$(8^2)^{x+1} = 8^{4\sqrt{x}}$
$8^{2(x+1)} = 8^{4\sqrt{x}}$
$8^{2x+2} = 8^{4\sqrt{x}}$
Приравниваем показатели:
$2x + 2 = 4\sqrt{x}$
Разделим обе части на 2:
$x + 1 = 2\sqrt{x}$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x - 2\sqrt{x} + 1 = 0$
Левая часть является формулой квадрата разности: $(\sqrt{x})^2 - 2\cdot\sqrt{x}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}-1)^2$.
$(\sqrt{x}-1)^2=0$
Отсюда следует:
$\sqrt{x} - 1 = 0$
$\sqrt{x} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 1$
Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).
Ответ: 1