Номер 99, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 99, страница 419.

Условие.

99 a) $18^x - 9^{x+1} - 2^{x+2} + 36 = 0;$

б) $\log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} \sqrt{x} + \log_{\sqrt{x}} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \frac{3}{2} + \log_x (2\sqrt{6}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим показательное уравнение $18^x - 9^{x+1} - 2^{x+2} + 36 = 0$.

Сначала преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней:

• $18^x = (2 \cdot 9)^x = 2^x \cdot 9^x$
• $9^{x+1} = 9^x \cdot 9^1 = 9 \cdot 9^x$
• $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

$2^x \cdot 9^x - 9 \cdot 9^x - 4 \cdot 2^x + 36 = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2^x \cdot 9^x - 9 \cdot 9^x) - (4 \cdot 2^x - 36) = 0$

$9^x(2^x - 9) - 4(2^x - 9) = 0$

Вынесем общий множитель $(2^x - 9)$:

$(9^x - 4)(2^x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два отдельных уравнения:

1) $9^x - 4 = 0$

$9^x = 4$

$(3^2)^x = 2^2$

$3^{2x} = 2^2$

Логарифмируя обе части по основанию 3, получаем:

$2x = \log_3(2^2)$

$2x = 2\log_3 2$

$x = \log_3 2$

2) $2^x - 9 = 0$

$2^x = 9$

Логарифмируя обе части по основанию 2, получаем:

$x = \log_2 9$

$x = \log_2(3^2)$

$x = 2\log_2 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = \log_3 2$; $x = 2\log_2 3$.

б) Решим логарифмическое уравнение $\log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} \sqrt{x} + \log_{\sqrt{x}} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \frac{3}{2} + \log_x (2\sqrt{6})$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице.

• $\sqrt{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
• $\sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1$
• $\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5} > 0$. Проверим: $\sqrt{2}+\sqrt{3} \approx 1.41+1.73=3.14$, а $\sqrt{5} \approx 2.23$. Так как $3.14 > 2.23$, неравенство выполняется.

Итак, ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$.

Для удобства введем обозначения:

$A = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

$B = \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$

Найдем произведение $A$ и $B$:

$AB = ((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}) = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2+2\sqrt{6}+3)-5 = 5+2\sqrt{6}-5 = 2\sqrt{6}$.

Это полезное соотношение, так как выражение $2\sqrt{6}$ присутствует в правой части уравнения.

Перепишем исходное уравнение с новыми обозначениями:

$\log_A \sqrt{x} + \log_{\sqrt{x}} B = \frac{3}{2} + \log_x (AB)$

Преобразуем уравнение, приведя все логарифмы к одному основанию, например, $A$.

$\log_A \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_A x$

$\log_{\sqrt{x}} B = \frac{\log_A B}{\log_A \sqrt{x}} = \frac{\log_A B}{\frac{1}{2}\log_A x} = \frac{2\log_A B}{\log_A x}$

$\log_x (AB) = \frac{\log_A (AB)}{\log_A x} = \frac{\log_A A + \log_A B}{\log_A x} = \frac{1 + \log_A B}{\log_A x}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1}{2}\log_A x + \frac{2\log_A B}{\log_A x} = \frac{3}{2} + \frac{1 + \log_A B}{\log_A x}$

Сделаем замену $y = \log_A x$. Так как $x \ne 1$, то $y \ne 0$.

$\frac{y}{2} + \frac{2\log_A B}{y} = \frac{3}{2} + \frac{1 + \log_A B}{y}$

Умножим обе части уравнения на $2y$, чтобы избавиться от знаменателей:

$y^2 + 4\log_A B = 3y + 2(1 + \log_A B)$

$y^2 - 3y + 4\log_A B - 2 - 2\log_A B = 0$

$y^2 - 3y + (2\log_A B - 2) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2\log_A B - 2)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8\log_A B + 8}}{2}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{17 - 8\log_A B}}{2}$

Поскольку $y = \log_A x$, то $x = A^y$. Таким образом, решения для $x$:

$x_1 = A^{\frac{3 + \sqrt{17 - 8\log_A B}}{2}}$

$x_2 = A^{\frac{3 - \sqrt{17 - 8\log_A B}}{2}}$

где $A = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ и $B = \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$.

Поскольку $\log_A B = \log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ является константой, то найденные выражения для $x$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x = (\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{\frac{3 \pm \sqrt{17 - 8\log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}}{2}}$.