Номер 102, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 102, страница 419.

Условие.

102 a) $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 0$. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

б) $\sin 2x + \sqrt{3} \cos x = 0$. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Сначала решим уравнение $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos x + \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$

$2 \cos x = -\sqrt{2}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Для серии $x = \pi k$ подходят значения:

• при $k=-1, x = -\pi$
• при $k=0, x = 0$
• при $k=1, x = \pi$

Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ подходят значения:

• при $n=0, x = \frac{3\pi}{4}$
• при $n=-1, x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$

Для серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ подходят значения:

• при $n=0, x = -\frac{3\pi}{4}$
• при $n=1, x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$

Объединяя все найденные корни и располагая их в порядке возрастания, получаем: $-\frac{5\pi}{4}, -\pi, -\frac{3\pi}{4}, 0, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; -\pi; -\frac{3\pi}{4}; 0; \frac{3\pi}{4}; \pi; \frac{5\pi}{4}$.

б) Сначала решим уравнение $\sin 2x + \sqrt{3} \cos x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \sin x + \sqrt{3} = 0$

$2 \sin x = -\sqrt{3}$

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$), где $n, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$.

Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ подходят значения:

• при $k=-1, x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$
• при $k=0, x = \frac{\pi}{2}$
• при $k=1, x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$

Для серий решений уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ подходят значения:

• $x = -\frac{\pi}{3}$ (при $n=0$ в серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$)
• $x = -\frac{2\pi}{3}$ (при $n=0$ в серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$)
• $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (при $n=1$)
• $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ (при $n=1$)

Объединяя все найденные корни и располагая их в порядке возрастания, получаем: $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}; \frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}$.