Номер 109, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 109, страница 420.

Условие.

109 Найдите все решения уравнения:

а) $cos x + cos 5x - cos 2x = 0$, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi];$

б) $\frac{\operatorname{ctg} 2x}{\operatorname{ctg} x} + \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} 2x} + 2 = 0$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\cos x + \cos 5x - \cos 2x = 0$, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$;

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\cos 5x + \cos x = 2 \cos\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2 \cos 3x \cos 2x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2 \cos 3x \cos 2x - \cos 2x = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (2 \cos 3x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos 2x = 0$

2) $2 \cos 3x - 1 = 0 \implies \cos 3x = \frac{1}{2}$

Решим каждое уравнение и найдем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$.

Для первого уравнения $\cos 2x = 0$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

Отберем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$:

• При $k=-2: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
• При $k=-1: x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$
• При $k=0: x = \frac{\pi}{4}$
• При $k=1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$

Для второго уравнения $\cos 3x = \frac{1}{2}$:

$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$

Отберем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$ для серии $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$:

• При $n=-1: x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9}$
• При $n=0: x = \frac{\pi}{9}$
• При $n=1: x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$

Отберем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$ для серии $x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$:

• При $n=0: x = -\frac{\pi}{9}$
• При $n=1: x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{9}$
• При $n=-1: x = -\frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{7\pi}{9}$

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ \pm\frac{\pi}{9}, \pm\frac{\pi}{4}, \pm\frac{5\pi}{9}, \pm\frac{3\pi}{4}, \pm\frac{7\pi}{9} $.

б) $\frac{\operatorname{ctg}2x}{\operatorname{ctg}x} + \frac{\operatorname{ctg}x}{\operatorname{ctg}2x} + 2 = 0$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, и сами котангенсы должны быть определены.
1) $\operatorname{ctg}x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
2) $\operatorname{ctg}x$ определен $\implies \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
3) $\operatorname{ctg}2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}$.
4) $\operatorname{ctg}2x$ определен $\implies \sin 2x \neq 0 \implies 2x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}$.
Объединив эти условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi n}{4}$ для любого целого $n$.

Введем замену $y = \frac{\operatorname{ctg}2x}{\operatorname{ctg}x}$. Уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} + 2 = 0$.

Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$, что выполняется согласно ОДЗ):

$y^2 + 2y + 1 = 0$

$(y+1)^2 = 0$

$y = -1$

Выполним обратную замену:

$\frac{\operatorname{ctg}2x}{\operatorname{ctg}x} = -1 \implies \operatorname{ctg}2x = -\operatorname{ctg}x$.

Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $\operatorname{ctg}2x = \frac{\operatorname{ctg}^2x-1}{2\operatorname{ctg}x}$.

$\frac{\operatorname{ctg}^2x-1}{2\operatorname{ctg}x} = -\operatorname{ctg}x$

$\operatorname{ctg}^2x - 1 = -2\operatorname{ctg}^2x$

$3\operatorname{ctg}^2x = 1$

$\operatorname{ctg}^2x = \frac{1}{3}$

$\operatorname{ctg}x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

Получаем две серии решений:

1) $\operatorname{ctg}x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{ctg}x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ, так как $x$ не является кратным $\frac{\pi}{4}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

Из первой серии ($x = \frac{\pi}{3} + \pi n$):

• При $n=0: x = \frac{\pi}{3}$
• При $n=1: x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

Из второй серии ($x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$):

• При $n=0: x = \frac{2\pi}{3}$
• При $n=1: x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}$

Ответ: $ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} $.