Номер 108, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 108, страница 420.

Условие.

108 a) Найдите все решения уравнения $\cos 2x = 2 \text{tg}^2 x - \cos^2 x$, удовлетворяющие неравенству $\cos x < \frac{1}{2}$.

б) Найдите все решения уравнения $4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 2 \text{ctg}^2 x$, удовлетворяющие неравенству $\cos x < - \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Найдём все решения уравнения $\cos 2x = 2\tg^2 x - \cos^2 x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса, то есть $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Для преобразования уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и $\tg^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2\cos^2 x - 1 = 2 \cdot \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} - \cos^2 x$

Умножим обе части уравнения на $\cos^2 x$, так как по ОДЗ $\cos^2 x \neq 0$:

$(2\cos^2 x - 1)\cos^2 x = 2(1 - \cos^2 x) - \cos^4 x$

$2\cos^4 x - \cos^2 x = 2 - 2\cos^2 x - \cos^4 x$

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные члены:

$3\cos^4 x + \cos^2 x - 2 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $y = \cos^2 x$. Учитывая, что $0 \le \cos^2 x \le 1$ и $\cos^2 x \neq 0$, получаем $0 < y \le 1$.

$3y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$y_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $y_1 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < y \le 1$.

Выполним обратную замену: $\cos^2 x = \frac{2}{3}$.

Отсюда следует, что $\cos x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ или $\cos x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Теперь отберём корни, удовлетворяющие неравенству $\cos x < \frac{1}{2}$.

Сравним значения. $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{0.66...} > \sqrt{0.25} = 0.5$.

Таким образом, значение $\cos x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ не удовлетворяет неравенству $\cos x < \frac{1}{2}$.

Значение $\cos x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$ отрицательно, следовательно, оно меньше $\frac{1}{2}$.

Значит, нам нужно найти все $x$, для которых $\cos x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Решения этого уравнения имеют вид $x = \pm \arccos\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арккосинуса $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, получаем:

$x = \pm \left(\pi - \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \left(\pi - \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Найдём все решения уравнения $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2\ctg^2 x$.

ОДЗ определяется условием существования котангенса: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Используем формулы: $\sin^2 2x = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x$ и $\ctg^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$.

Подставим их в исходное уравнение:

$4\sin^4 x + 4\sin^2 x \cos^2 x = 2 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$

В левой части вынесем за скобки $4\sin^2 x$:

$4\sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, поэтому уравнение упрощается:

$4\sin^2 x = 2 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$

Умножим обе части на $\sin^2 x$ (по ОДЗ $\sin^2 x \neq 0$):

$4\sin^4 x = 2\cos^2 x$

Разделим на 2 и заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:

$2\sin^4 x = 1 - \sin^2 x$

$2\sin^4 x + \sin^2 x - 1 = 0$

Сделаем замену $z = \sin^2 x$. По ОДЗ $\sin x \neq 0$, поэтому $\sin^2 x > 0$. Таким образом, $0 < z \le 1$.

$2z^2 + z - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни: $z_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $z_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.

Корень $z_2 = -1$ не подходит, так как $z = \sin^2 x$ не может быть отрицательным.

Остаётся корень $z_1 = \frac{1}{2}$, который удовлетворяет условию $0 < z \le 1$.

Выполним обратную замену: $\sin^2 x = \frac{1}{2}$.

Теперь отберём корни, удовлетворяющие неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Из $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ найдём $\cos^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим, какие из этих значений удовлетворяют неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$.

1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это положительное число, оно не может быть меньше отрицательного $-\frac{1}{2}$.

2) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сравним $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$. Неравенство $-0.707 < -0.5$ является верным. Значит, это значение нам подходит.

Нам нужны все $x$, для которых $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, то получаем:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.