Номер 112, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 112, страница 420.

Условие.

112 $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения тригонометрического уравнения $\cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)$ преобразуем его правую часть.

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Заметим, что коэффициенты $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в правую часть уравнения, чтобы получить: $\cos(3x) = \cos(\frac{\pi}{6})\cos(x) - \sin(\frac{\pi}{6})\sin(x)$.

Правая часть этого выражения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$. Применив эту формулу, где $a = \frac{\pi}{6}$ и $b = x$, мы можем упростить уравнение до следующего вида: $\cos(3x) = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Уравнение вида $\cos(A) = \cos(B)$ имеет общее решение $A = \pm B + 2\pi k$, где $k$ является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$). Это приводит к рассмотрению двух случаев.

1) Рассмотрим случай со знаком "плюс":
$3x = x + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$3x - x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Рассмотрим случай со знаком "минус":
$3x = -(x + \frac{\pi}{6}) + 2\pi k$
$3x = -x - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$3x + x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$4x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем полный набор корней уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.