Номер 118, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 118, страница 420.

Условие.

118 $ \cos x + \cos 3x = \sqrt{3} \cos 2x $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данного тригонометрического уравнения $\cos x + \cos 3x = \sqrt{3} \cos 2x$ преобразуем левую часть с помощью формулы суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

Применив эту формулу к $\cos 3x + \cos x$, получим:

$\cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 2 \cos \frac{4x}{2} \cos \frac{2x}{2} = 2 \cos(2x) \cos x$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$2 \cos(2x) \cos x = \sqrt{3} \cos 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 \cos(2x) \cos x - \sqrt{3} \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (2 \cos x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1. $\cos 2x = 0$

2. $2 \cos x - \sqrt{3} = 0$

Рассмотрим и решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$\cos 2x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, решения которого находятся по формуле:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решение второго уравнения:

$2 \cos x - \sqrt{3} = 0$

$2 \cos x = \sqrt{3}$

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения находятся по общей формуле:

$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.