Номер 123, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 123, страница 421.

Условие.

123 | $|x^2 - 8x + 15| = |15 - x^2|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Данное уравнение имеет вид $|A| = |B|$, что равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

Рассмотрим оба случая для уравнения $|x^2 - 8x + 15| = |15 - x^2|$.

Случай 1: $x^2 - 8x + 15 = 15 - x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - 8x + 15 - 15 + x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 8x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим два корня:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Случай 2: $x^2 - 8x + 15 = -(15 - x^2)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 8x + 15 = -15 + x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x + 15 + 15 - x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$-8x + 30 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-8x = -30$

$x = \frac{-30}{-8} = \frac{30}{8}$

Сократим дробь на 2:

$x_3 = \frac{15}{4}$

Объединяя все найденные корни, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $0; 4; \frac{15}{4}$.