Номер 130, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 130, страница 421.

Условие.

Решите уравнение (130—134):

130 a) $(2x - 7)\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0;$

б) $(2x - 3)\sqrt{4x^2 - 5x - 9} = 0;$

в) $(3x^2 - 8x - 11)\sqrt{3x - 5} = 0;$

г) $(4x^2 + 3x - 22)\sqrt{3x - 15} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(2x - 7)\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 - 5x - 2 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} 2x - 7 = 0 \\ \sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0 \end{array} \right. \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получим $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

При этих значениях $x$ подкоренное выражение равно нулю, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

2. $2x - 7 = 0$, при этом должно выполняться условие $3x^2 - 5x - 2 \ge 0$.

Из $2x - 7 = 0$ находим $x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Проверим, выполняется ли для этого корня условие $3x^2 - 5x - 2 \ge 0$.

Подставим $x = 3.5$: $3(3.5)^2 - 5(3.5) - 2 = 3(12.25) - 17.5 - 2 = 36.75 - 19.5 = 17.25$.

Так как $17.25 > 0$, условие выполняется, следовательно, $x = 3.5$ также является решением.

Ответ: $-\frac{1}{3}; 2; 3.5$.

б) $(2x - 3)\sqrt{4x^2 - 5x - 9} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 5x - 9 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} 2x - 3 = 0 \\ 4x^2 - 5x - 9 = 0 \end{array} \right. \end{cases}$

1. Решим $4x^2 - 5x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни: $x_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.

$x_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25$.

Эти значения являются решениями, так как при них подкоренное выражение равно нулю.

2. Решим $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$.

Проверим, выполняется ли для $x = 1.5$ условие $4x^2 - 5x - 9 \ge 0$.

Подставим $x = 1.5$: $4(1.5)^2 - 5(1.5) - 9 = 4(2.25) - 7.5 - 9 = 9 - 7.5 - 9 = -7.5$.

Так как $-7.5 < 0$, подкоренное выражение отрицательно. Следовательно, $x = 1.5$ является посторонним корнем.

Ответ: $-1; \frac{9}{4}$.

в) $(3x^2 - 8x - 11)\sqrt{3x - 5} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из условия неотрицательности подкоренного выражения: $3x - 5 \ge 0$, откуда $3x \ge 5$, то есть $x \ge \frac{5}{3}$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt{3x - 5} = 0 \implies 3x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{3}$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{5}{3} \ge \frac{5}{3} $).

2. $3x^2 - 8x - 11 = 0$.

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-11) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни: $x_1 = \frac{8 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{8 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$).

Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge \frac{5}{3}$, значит это посторонний корень.

Корень $x_2 = \frac{11}{3}$ удовлетворяет условию $\frac{11}{3} \ge \frac{5}{3}$, так как $11 \ge 5$. Этот корень является решением.

Ответ: $\frac{5}{3}; \frac{11}{3}$.

г) $(4x^2 + 3x - 22)\sqrt{3x - 15} = 0$

ОДЗ: $3x - 15 \ge 0 \implies 3x \ge 15 \implies x \ge 5$.

Рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{3x - 15} = 0 \implies 3x - 15 = 0 \implies x = 5$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 5$), значит, является решением.

2. $4x^2 + 3x - 22 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-22) = 9 + 352 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - 19}{2 \cdot 4} = \frac{-22}{8} = -\frac{11}{4} = -2.75$.

$x_2 = \frac{-3 + 19}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 5$).

Корень $x_1 = -2.75$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2.75 < 5$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $2 < 5$.

Оба корня являются посторонними.

Следовательно, у уравнения только одно решение.

Ответ: $5$.