Номер 133, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 133, страница 421.

Условие.

133 a) $(2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1)\sqrt{\operatorname{tg} x} = 0;$

б) $(2 \cos^2 x - \cos x - 1)\sqrt{\operatorname{ctg} x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(2\sin^2 x - 3\sin x + 1)\sqrt{\tg x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой либо один из множителей равен нулю, и при этом все выражения в уравнении определены.

$ \begin{cases} \tg x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \\ \sqrt{\tg x} = 0 \end{gathered} \right. \end{cases} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\tg x \ge 0$
Это неравенство выполняется в I и III координатных четвертях, а также на границах, где тангенс равен нулю.
$x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим совокупность уравнений с учетом ОДЗ.

Первое уравнение совокупности: $\sqrt{\tg x} = 0$, что равносильно $\tg x = 0$.
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения удовлетворяют условию ОДЗ ($\tg(\pi k) = 0$), следовательно, эта серия корней является решением исходного уравнения.

Второе уравнение совокупности: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$. Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\sin x = 1$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, значение $\tg x$ не определено, так как $\cos x = 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Случай 2: $\sin x = 1/2$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим их на соответствие ОДЗ ($\tg x \ge 0$):
- Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: эти углы находятся в I четверти, где $\tg x > 0$. Эта серия корней подходит.
- Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: эти углы находятся во II четверти, где $\tg x < 0$. Эта серия корней не удовлетворяет ОДЗ.

3. Объединим все найденные решения, удовлетворяющие ОДЗ:
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $(2\cos^2 x - \cos x - 1)\sqrt{\ctg x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \ctg x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \\ \sqrt{\ctg x} = 0 \end{gathered} \right. \end{cases} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\ctg x \ge 0$
Это неравенство выполняется в I и III координатных четвертях, а также на границах, где котангенс равен нулю.
$x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим совокупность уравнений с учетом ОДЗ.

Первое уравнение совокупности: $\sqrt{\ctg x} = 0$, что равносильно $\ctg x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения удовлетворяют условию ОДЗ ($\ctg(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$), следовательно, эта серия корней является решением.

Второе уравнение совокупности: $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - t - 1 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$. Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\cos x = 1$.
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. При $x = 2\pi k$, значение $\ctg x$ не определено, так как $\sin x = 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

Случай 2: $\cos x = -1/2$.
Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разобьем на две серии:
$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (II четверть).
$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (III четверть).
Проверим их на соответствие ОДЗ ($\ctg x \ge 0$):
- Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: эти углы находятся во II четверти, где $\ctg x < 0$. Эта серия корней не удовлетворяет ОДЗ.
- Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: эти углы находятся в III четверти, где $\ctg x > 0$. Эта серия корней подходит.

3. Объединим все найденные решения, удовлетворяющие ОДЗ:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.