Номер 138, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 138, страница 422.

Условие.

138 a) $\sqrt{3x+5} - \frac{1}{\sqrt{3x+5}} = \sqrt{5x-3} - \frac{1}{\sqrt{5x-3}};$

б) $\sqrt{7x+1002} - \sqrt{8x-1000} = \frac{1}{\sqrt{7x+1002}} - \frac{1}{\sqrt{8x-1000}};$

в) $\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+2}} - \frac{\sqrt{2x-0.5}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2x+3}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x-0.5}};$

г) $\sqrt{x^2+3} + \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} = \sqrt{x^2+x+2} + \frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}};$

д) $\sqrt{x^2+1} - \sqrt{2x^2-4x+5} = \frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}};$

е) $\sqrt{x^2+1} - \sqrt{2x^2-9x+21} = \frac{1}{\sqrt{2x^2-9x+21}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt{3x + 5} - \frac{1}{\sqrt{3x + 5}} = \sqrt{5x - 3} - \frac{1}{\sqrt{5x - 3}} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Потребуем, чтобы подкоренные выражения были строго положительны, так как они находятся в знаменателе:

$ 3x + 5 > 0 \Rightarrow x > -\frac{5}{3} $

$ 5x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{5} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \frac{3}{5} $.

Рассмотрим функцию $ f(t) = t - \frac{1}{t} $. Тогда исходное уравнение можно записать в виде $ f(\sqrt{3x + 5}) = f(\sqrt{5x - 3}) $.

Найдем производную функции $ f(t) $: $ f'(t) = 1 + \frac{1}{t^2} $.

В области допустимых значений аргументы функции $ \sqrt{3x+5} $ и $ \sqrt{5x-3} $ положительны. Для любого $ t > 0 $, производная $ f'(t) = 1 + \frac{1}{t^2} > 0 $. Следовательно, функция $ f(t) $ является строго возрастающей на интервале $ (0, \infty) $.

Поскольку функция строго монотонна, равенство $ f(a) = f(b) $ возможно только при $ a = b $. Значит, мы можем приравнять аргументы:

$ \sqrt{3x + 5} = \sqrt{5x - 3} $

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ 3x + 5 = 5x - 3 $

$ 8 = 2x $

$ x = 4 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x > 3/5 $). $ 4 > 3/5 $, следовательно, корень подходит.

Ответ: $ x = 4 $.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{7x + 1002} - \sqrt{8x - 1000} = \frac{1}{\sqrt{7x + 1002}} - \frac{1}{\sqrt{8x - 1000}} $

Найдем ОДЗ:

$ 7x + 1002 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1002}{7} \approx -143.14 $

$ 8x - 1000 > 0 \Rightarrow x > \frac{1000}{8} \Rightarrow x > 125 $

ОДЗ: $ x > 125 $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{7x + 1002} - \frac{1}{\sqrt{7x + 1002}} = \sqrt{8x - 1000} - \frac{1}{\sqrt{8x - 1000}} $

Это уравнение имеет вид $ f(a) = f(b) $, где $ f(t) = t - \frac{1}{t} $, $ a = \sqrt{7x + 1002} $ и $ b = \sqrt{8x - 1000} $. Как показано в предыдущем пункте, функция $ f(t) $ строго возрастает при $ t > 0 $. Следовательно, равенство возможно только при $ a = b $.

$ \sqrt{7x + 1002} = \sqrt{8x - 1000} $

Возведем обе части в квадрат:

$ 7x + 1002 = 8x - 1000 $

$ 2002 = x $

Проверяем корень по ОДЗ ($ x > 125 $). $ 2002 > 125 $, корень подходит.

Ответ: $ x = 2002 $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{2x + 3}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x - 0.5}} $

Найдем ОДЗ:

$ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -1.5 $

$ x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 $

$ 2x - 0.5 > 0 \Rightarrow x > 0.25 $

$ x > 0 $

ОДЗ: $ x > 0.25 $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{2x + 3}} = \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x - 0.5}} $

Пусть $ a = \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} $ и $ b = \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} $. Уравнение примет вид $ a - \frac{1}{a} = b - \frac{1}{b} $. Снова используем функцию $ f(t) = t - \frac{1}{t} $, которая строго возрастает при $ t > 0 $. В ОДЗ $ a > 0 $ и $ b > 0 $, поэтому из $ f(a) = f(b) $ следует $ a = b $.

$ \frac{\sqrt{2x + 3}}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{2x - 0.5}}{\sqrt{x}} $

Возведем в квадрат:

$ \frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{2x - 0.5}{x} $

Воспользуемся свойством пропорции:

$ x(2x + 3) = (x + 2)(2x - 0.5) $

$ 2x^2 + 3x = 2x^2 - 0.5x + 4x - 1 $

$ 2x^2 + 3x = 2x^2 + 3.5x - 1 $

$ 1 = 3.5x - 3x $

$ 1 = 0.5x $

$ x = 2 $

Проверяем корень по ОДЗ ($ x > 0.25 $). $ 2 > 0.25 $, корень подходит.

Ответ: $ x = 2 $.

г)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} = \sqrt{x^2 + x + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 2}} $

Найдем ОДЗ. $ x^2 + 3 > 0 $ для любого $ x \in \mathbb{R} $. Для $ x^2 + x + 2 > 0 $ найдем дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, $ x^2 + x + 2 $ всегда больше нуля. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Рассмотрим функцию $ g(t) = t + \frac{1}{t} $. Уравнение принимает вид $ g(\sqrt{x^2 + 3}) = g(\sqrt{x^2 + x + 2}) $.

Найдем производную: $ g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2-1}{t^2} $. Функция $ g(t) $ убывает при $ t \in (0, 1) $ и возрастает при $ t \in (1, \infty) $, поэтому она не является строго монотонной. Равенство $ g(a) = g(b) $ возможно в двух случаях: $ a = b $ или $ ab = 1 $.

Случай 1: $ \sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{x^2 + x + 2} $

Возведем в квадрат:

$ x^2 + 3 = x^2 + x + 2 $

$ 3 = x + 2 $

$ x = 1 $

Случай 2: $ \sqrt{x^2 + 3} \cdot \sqrt{x^2 + x + 2} = 1 $

Возведем в квадрат: $ (x^2 + 3)(x^2 + x + 2) = 1 $. Оценим левую часть. $ x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 3 \ge 3 $. Минимальное значение выражения $ x^2 + x + 2 $ достигается при $ x = -1/2 $ и равно $ (-1/2)^2 - 1/2 + 2 = 1.75 $. Значит, $ x^2 + x + 2 \ge 1.75 $. Тогда произведение $ (x^2 + 3)(x^2 + x + 2) \ge 3 \cdot 1.75 = 5.25 $. Левая часть всегда больше 1, поэтому в этом случае решений нет.

Единственным решением является $ x = 1 $.

Ответ: $ x = 1 $.

д)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2x^2 - 4x + 5} = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 4x + 5}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $

Найдем ОДЗ. $ x^2+1 > 0 $ для любого $ x $. Дискриминант $ 2x^2-4x+5 $ равен $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 - 40 = -24 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, $ 2x^2-4x+5 > 0 $ для любого $ x $. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{2x^2 - 4x + 5} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 4x + 5}} $

Уравнение имеет вид $ g(a) = g(b) $ с функцией $ g(t) = t + \frac{1}{t} $, где $ a = \sqrt{x^2 + 1} $ и $ b = \sqrt{2x^2 - 4x + 5} $. Как и в пункте г), это приводит к двум случаям.

Случай 1: $ \sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{2x^2 - 4x + 5} $

$ x^2 + 1 = 2x^2 - 4x + 5 $

$ x^2 - 4x + 4 = 0 $

$ (x - 2)^2 = 0 $

$ x = 2 $

Случай 2: $ \sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{2x^2 - 4x + 5} = 1 $

Возведем в квадрат: $ (x^2 + 1)(2x^2 - 4x + 5) = 1 $. Оценим левую часть. $ x^2 + 1 \ge 1 $. Минимальное значение $ 2x^2 - 4x + 5 $ достигается при $ x = -(-4)/(2 \cdot 2) = 1 $ и равно $ 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 3 $. Таким образом, произведение $ (x^2 + 1)(2x^2 - 4x + 5) \ge 1 \cdot 3 = 3 $. Левая часть не может быть равна 1. Решений в этом случае нет.

Единственное решение $ x = 2 $.

Ответ: $ x = 2 $.

е)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2x^2 - 9x + 21} = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 9x + 21}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $

Найдем ОДЗ. $ x^2+1 > 0 $ для любого $ x $. Дискриминант $ 2x^2-9x+21 $ равен $ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 81 - 168 = -87 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, $ 2x^2-9x+21 > 0 $ для любого $ x $. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Сгруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{2x^2 - 9x + 21} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 9x + 21}} $

Аналогично пунктам г) и д), используем функцию $ g(t) = t + \frac{1}{t} $ и рассматриваем два случая.

Случай 1: $ \sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{2x^2 - 9x + 21} $

$ x^2 + 1 = 2x^2 - 9x + 21 $

$ x^2 - 9x + 20 = 0 $

Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 9, произведение равно 20. Корни: $ x_1 = 4 $, $ x_2 = 5 $.

Случай 2: $ \sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{2x^2 - 9x + 21} = 1 $

Возводим в квадрат: $ (x^2 + 1)(2x^2 - 9x + 21) = 1 $. Оценим левую часть. $ x^2 + 1 \ge 1 $. Минимальное значение $ 2x^2 - 9x + 21 $ достигается при $ x = -(-9)/(2 \cdot 2) = 9/4 $ и равно $ 2(9/4)^2 - 9(9/4) + 21 = 81/8 - 162/8 + 168/8 = 87/8 = 10.875 $. Произведение $ (x^2+1)(2x^2-9x+21) \ge 1 \cdot \frac{87}{8} > 1 $. Решений в этом случае нет.

Решениями являются корни из первого случая.

Ответ: $ x = 4; x = 5 $.