Номер 132, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 132, страница 421.

Условие.

132 a) $(\sin x + \cos x - \sqrt{2})\sqrt{-11x - x^2 - 30} = 0;$

б) $(\cos x + \sin x + \sqrt{2})\sqrt{-x^2 - 7x - 12} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим уравнение $(\sin x + \cos x - \sqrt{2})\sqrt{-11x - x^2 - 30} = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом существует (определен). Это означает, что мы должны рассмотреть два случая, предварительно найдя область допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$-11x - x^2 - 30 \ge 0$.

Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный:$x^2 + 11x + 30 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 11x + 30 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а их произведение равно 30. Корнями являются $x_1 = -6$ и $x_2 = -5$.Так как парабола $y = x^2 + 11x + 30$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + 11x + 30 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.Следовательно, ОДЗ: $x \in [-6, -5]$.

Теперь рассмотрим два случая, при которых исходное уравнение обращается в ноль.

Случай 1: Выражение под корнем равно нулю.$\sqrt{-11x - x^2 - 30} = 0$$-11x - x^2 - 30 = 0$$x^2 + 11x + 30 = 0$Корни этого уравнения, как мы уже нашли, $x_1 = -6$ и $x_2 = -5$. Оба корня принадлежат ОДЗ, значит, они являются решениями исходного уравнения.

Случай 2: Первый множитель равен нулю, при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ.$\sin x + \cos x - \sqrt{2} = 0$$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = 1$Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$, можем записать:$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = 1$Применяя формулу синуса суммы $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, получаем:$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие ОДЗ, то есть отрезку $[-6, -5]$. Для этого решим двойное неравенство:$-6 \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -5$Подставим приближенное значение $\pi \approx 3.14$:$-6 \le \frac{3.14}{4} + 2 \cdot 3.14 \cdot k \le -5$$-6 \le 0.785 + 6.28k \le -5$$-6 - 0.785 \le 6.28k \le -5 - 0.785$$-6.785 \le 6.28k \le -5.785$$\frac{-6.785}{6.28} \le k \le \frac{-5.785}{6.28}$$-1.08... \le k \le -0.92...$

Единственное целое число $k$ в этом промежутке - это $k = -1$.Найдем соответствующий корень при $k = -1$:$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$.Этот корень принадлежит ОДЗ (так как $-\frac{7 \cdot 3.14}{4} \approx -5.5$, что лежит в отрезке $[-6, -5]$), следовательно, является решением.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $\{-6; -5; -\frac{7\pi}{4}\}$.

б) Решим уравнение $(\cos x + \sin x + \sqrt{2})\sqrt{-x^2 - 7x - 12} = 0$.

Аналогично пункту а), найдем сначала ОДЗ.$-x^2 - 7x - 12 \ge 0$$x^2 + 7x + 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.Неравенство $x^2 + 7x + 12 \le 0$ выполняется при $x \in [-4, -3]$.ОДЗ: $x \in [-4, -3]$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{-x^2 - 7x - 12} = 0$$-x^2 - 7x - 12 = 0$$x^2 + 7x + 12 = 0$Корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$. Оба корня входят в ОДЗ, поэтому являются решениями.

Случай 2: $\cos x + \sin x + \sqrt{2} = 0$$\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$

Применим метод вспомогательного угла:$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = -\sqrt{2}$$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

Решения этого уравнения:$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Проверим, какие из этих корней принадлежат ОДЗ $x \in [-4, -3]$.$-4 \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le -3$

Подставим $\pi \approx 3.14$:$-4 \le -\frac{3 \cdot 3.14}{4} + 6.28n \le -3$$-4 \le -2.355 + 6.28n \le -3$$-4 + 2.355 \le 6.28n \le -3 + 2.355$$-1.645 \le 6.28n \le -0.645$$\frac{-1.645}{6.28} \le n \le \frac{-0.645}{6.28}$$-0.26... \le n \le -0.10...$

В этом интервале нет целых значений $n$. Это означает, что ни один из корней, полученных во втором случае, не входит в ОДЗ. Следовательно, в этом случае решений нет.

Решениями исходного уравнения являются только корни, найденные в первом случае.

Ответ: $\{-4; -3\}$.